2022年江苏省扬州市头桥中学高二数学理期末试卷含解析

2022年江苏省扬州市头桥中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是(

)A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E参考答案：C考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题；综合法．分析：由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项解答：解：A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确；故选C．点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强2.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】用空间向量求直线与平面的夹角．【分析】建立空间直角坐标系，求出平面AA1C1C的一个法向量是，和，计算cos＜，＞即可求解sinα，【解答】解：如图，建立坐标系，易求点D（，，1），平面AA1C1C的一个法向量是=（1，0，0），所以cos＜，＞==，即sinα=．故选D．【点评】本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，考查计算能力，是基础题．3.不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.过顶点在原点，焦点在y轴正半轴的抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，过点A、B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点C、D，|AF|=2|BF|，且?=72，则该抛物线方程为（）A．x2=8y B．x2=10y C．x2=9y D．x2=5y参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线方程为x2=2py，利用|AF|=2|BF|，求出A，B的坐标，利用?=72，求出p，即可求出抛物线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线方程为x2=2py，则因为|AF|=2|BF|，所以x1=﹣2x2，y1﹣=2（﹣y2），所以y2=，y1=p，x1=p，x2=﹣p，因为?=72，所以（p，0）?（p，p）=72，所以p=4，所以抛物线方程为x2=8y．故选：A．5.若直线l：ax－y＋a＝0被圆C：x2＋(y－1)2＝4所截得的弦长为2，则a＝A.3

B.2

C.1

D.0参考答案：D6.从点向圆f引切线，则一条切线长的最小值为（

）

A．

B．5

C．

D．参考答案：A略7.已知全集，集合，，那么集合等于（

）A． B．C． D．参考答案：D8.已知定点F1（﹣2，0）与F2（2，0），动点M满足|MF1|﹣|MF2|=4，则点M的轨迹方程是（）A． B．C．y=0（|x|≥2） D．y=0（x≥2）参考答案：D【考点】轨迹方程．【分析】设出M的坐标，利用两点间的距离公式和题设等式建立方程，平方后化简整理求得y=0，同时|MF1|＞|MF2|，可推断出动点M的轨迹，是一条射线，起点是（2，0），方向同x轴正方向．【解答】解：假设M（x，y），根据|MF1|﹣|MF2|=2，可以得到：﹣=2，两边平方，化简可以得到y=0，又因为|F1F2|=2，且|MF1|＞|MF2|，所以：动点M的轨迹，是一条射线，起点是（2，0），方向同x轴正方向．故选D【点评】本题主要考查了轨迹方程．考查了学生分析问题和解决问题的能力．9.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与

()A．反向平行

B．同向平行C．互相垂直

D．既不平行也不垂直参考答案：A10.已知球O的半径为R，体积为V，则“R＞”是“V＞36π”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用球的体积计算公式与不等式的性质、充要条件的性质即可判断出结论．【解答】解：∵R＞，∴＞=＞36π．∴“R＞”是“V＞36π”的充分不必要条件．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.极坐标方程的直角坐标方程是

。

参考答案：略12.函数y=8x2-lnx的单调递增区间是____▲____.参考答案：略13.从0，1，2，3中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是_________（用数字回答）．参考答案：10考虑三位数“没0”和“有0”两种情况：没0：2必填个位，种填法；有0：0填个位，种填法；0填十位，2必填个位，种填法；所以偶数的个数一共有种填法.14.（5分）（2015?福州校级模拟）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有种（用数字作答）．A BC D参考答案：27【分析】根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格根据分类计数原理可得．【解答】解：若A方格填3，则排法有2×32=18种，若A方格填2，则排法有1×32=9种，根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种．故答案为：27．【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．15.以下属于基本算法语句的是

。①

INPUT语句；②PRINT语句；③IF-THEN语句；④DO语句；⑤END语句；⑥WHILE语句；⑦ENDIF语句。参考答案：

①，②，③，④，⑥

解析：基本算法语句的种类16.用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的值为_____________________参考答案：—5717.平行于直线2x﹣y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是

．参考答案：2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0【考点】I7：两条直线平行的判定；J7：圆的切线方程．【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，1求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x﹣y+b=0，平行于直线2x﹣y+1=0且与圆x2+y2=5相切，所以，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0故答案为：2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设直线3x＋y＋＝0与圆x2＋y2＋x－2y＝0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求的值.

参考答案：解：由3x＋y＋m＝0得：y＝-3x-m代入圆方程得：设P、Q两点坐标为P(x1，y1)、Q(x2，y2)则x1+x2＝x1×x2＝∵OP⊥OQ∴即x1×x2+y1×y2＝0∴x1×x2+(-3x1-m)(-3x2-m)＝0整理得：10x1×x2+3m(x1+x2)+m2=0

∴解得：m=0或m=

又△＝(6m+7)2-40(m2+2m)=-4m2+4m+49

当m=0时，△＞0；当m=时，△＞0；∴m=0或m=

19.设点A为半径是1的圆O上一定点，在圆周上等可能地任取一点B．（1）求弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率；（2）求弦AB的长超过圆半径的概率．参考答案：解：（1）设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如右图所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故．

……6分答：弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率为．（2）设“弦AB的长超过圆的半径”为事件N，以圆的半径OA为边长作出两正三角形AOC和AOD，如图所示，则AC=AD=圆的半径OA，所以满足题意的点B只能落在优弧CD上，又，故劣弧CD的长为，即优弧CD的长为所以．答：弦AB的长超过圆的半径的概率是．

……12分20.在△ABC中，已知A（，0），B(,0)，CD⊥AB于D,△ABC的垂心是H,且,(1)求点H的轨迹方程E；（2）若过定点F（2,0）的直线交曲线E于不同的两点M,N（点M在F,N之间）且满足,求的取值范围。参考答案：

略21.设函数f（x）=2lnx﹣x2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点．【分析】求函数f（x）的导数，解f′（x）＞0便得增区间．要使关于x的方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根，也就是让函数f（x）+x2﹣x﹣2﹣a在[1，3]内有两个零点，令g（x）=f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=2lnx﹣x﹣2﹣a，下面要做的就是考查g（x）在区间[1，3]内最值情况，若有最大值，则限制最大值大于0，然后两个端点值都小于0，若有最小值，情况恰好相反．【解答】解：（1）f′（x）=，∵x＞0，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1]．（2）将f（x）代人方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0得2lnx﹣x﹣2﹣a=0，令g（x）=2lnx﹣x﹣2﹣a则g′（x）=；∴x∈[1，2）时，g′（x）＞0；x∈（2，3]时，g′（x）＜0；∴g（2）是g（x）的极大值，也是g（x）在[1，3]上的最大值；∵关于x的方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根；∴函数g（x）在区间[1，3]内有两个零点；则有：g（2）＞0，g（1）＜0，g（3）＜0，所以有：解得：2ln3﹣5＜a＜2ln2﹣4，所以a的取值范围是（2ln3﹣5，2ln2﹣4）．22.已知圆，圆，动圆与圆内切并且与圆外切，圆心的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）已知曲线与轴交于两点，过动点的直线与交于(不垂直轴)，过作直线交于点且交轴于点，若构成以为顶点的等腰三角形，证明：直线，的斜率之积为定值.参考答案：【命题意图】本小题主要考查曲线与方程、椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系等