2023年北京重点校初二（下）期中数学试卷汇编：勾股定理的逆定理

第1页/共1页2023北京重点校初二（下）期中数学汇编勾股定理的逆定理一、单选题1．（2023春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）老师布置了任务：过直线上一点C作的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（

）方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分别以D，C为圆心，以和为半径画圆弧，两弧相交于点E．③作直线，即为所求的垂线．

方案Ⅱ：取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点．①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．③将延长，在延长线上截取线段，得到点S．④作直线，即为所求直线．

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行2．（2023春·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（

）A．2，，3 B．2，3，4 C．1，，2 D．4，6，84．（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（

）A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，6，75．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（

）A．5，12，13 B．1，2，3 C．4，4，4 D．4，5，66．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，7．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（

）A．1，1， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，108．（2023春·北京西城·八年级北京四中校考期中）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（

）A．2，3，4 B．，3，5 C．6，8，10 D．5，12，129．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（

）．A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，， D．1，2，310．（2023春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（

）A．2，3，4 B．，2 C．6，8，10 D．1，11．（2023春·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A． B．2 C． D．312．（2023春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（

）A．1，2，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．1，1，13．（2023春·北京燕山·八年级统考期中）下列三边的长不能成为直角三角形三边的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，12，13二、解答题14．（2023春·北京燕山·八年级统考期中）如图，四边形中，，，，，且，求四边形的面积．

15．（2023春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）如图，在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，设每个小正方形的边长为1．以格点为顶点分别按下列要求画图．(1)在图1中，画一个直角，使它的斜边长为；(2)在图2中，画一个等腰，使它的底边长为，腰长为5；(3)在图3中，画一个等腰直角的，使它斜边长为．16．（2023春·北京大兴·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，，．求的度数．17．（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格内画出图形．(1)在图1中，以顶点为格点，画一个面积为8的正方形；(2)在图2中，以格点为顶点，画一个三角形，使三角形三边长分别为，，4；请你判断这个三角形______直角三角形（填“是”或者“不是”）．(3)在图3中，以格点为顶点，画一个以为边且面积为10的等腰三角形．18．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）如图是一块地，已知AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．19．（2023春·北京西城·八年级北京四中校考期中）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．(1)求△ABC的面积；(2)判断△ABC的形状；(3)求AB边上的高．20．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．21．（2023春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E.(1)求证：△ABC为直角三角形．(2)求AE的长．

参考答案1．C【分析】方案Ⅰ：连接，根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可证明；方案Ⅱ：根据，得出，，求出，即，得出，【详解】解：方案Ⅰ：连接，如图所示：

根据作图可知，，，∵，∴，∴，∴为直角三角形，∴，∴，∴方案Ⅰ可行；方案Ⅱ：根据作图可知，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴方案Ⅱ可行；综上分析可知，Ⅰ、Ⅱ都可行，故C正确．故选：C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，等腰三角形性质，三角形内角和，垂线定义，解题的关键是理解题意，掌握作图过程．2．C【分析】根据三角形内角和定理可判断A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断C、D是否是直角三角形．【详解】解：A中，而根据三角形内角和定理，∴，故A、B是直角三角形；C中设，∵，，，故C不是直角三角形；D中符合勾股定理逆定理，故D是直角三角形．故选C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．3．A【分析】根据勾股定理的逆定理逐一分析判断即可．【详解】解：A．，∴能作为直角三角形三边长度，故A符合题意；B．∵，∴不能作为直角三角形三边长度，故B不符合题意；C．∵，∴不能作为直角三角形三边长度，故C不符合题意；D．∵，∴不能作为直角三角形三边长度，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，的三边分别为如果那么是直角三角形，掌握“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解本题的关键．4．C【分析】根据两小边的平方和与最长边的平方是否相等即可判定．【详解】解：A．，∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；B．，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；C．，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，，故此选项符合题意；D．∴以5，6，7为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．5．A【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得．【详解】解：A、，则此项可以构成直角三角形，符合题意；B、，则此项不能构成三角形，不符合题意；C、，则此项不可以构成直角三角形，不符合题意；D、，则此项不可以构成直角三角形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．6．C【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的性质即可求出答案．【详解】A、∵，，∴，∴是直角三角形，故能确定，不符合题意；B、∵，，∴，∴是直角三角形，故能确定，不符合题意；C、设，，，，∵，∴不是直角三角形，故不能判断，符合题意；D、∵，∴是直角三角形，故能确定，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属于基础题型．7．C【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】解：A、，1，1，能组成直角三角形，不符合题意；B、，1，，2能组成直角三角形，不符合题意；C、，4，5，6不能组成直角三角形，符合题意；D、，6，8，10能组成直角三角形，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键知道两条较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．8．C【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】解：A．，以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．，以，3，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．，以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；D．，以5，12，12为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．9．C【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A.，故无法构成直角三角形，不符合题意；B.，故无法构成直角三角形，不符合题意；C.，故可以构成直角三角形，符合题意．D.，故无法构成直角三角形，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．10．C【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、由于22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；B、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；C、由于，能构成直角三角形，故本选项正确；D、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意．故选择：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．11．B【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2＝BC2，得∠BAC＝90°，再根据S△ABC，代入计算即可．【详解】解：由勾股定理得：AB，AC，BC，∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴S△ABC，∴，∴AD＝2，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．12．B【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．【详解】解：A、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B、12+（）2=22，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；故选B．【点睛】此题考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2=c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．13．B【详解】选项A，32+42=52，A选项是直角三角形；选项B，42+52≠62，B选项不是直角三角形；选项C，62+82=102，C选项是直角三角形；选项D，52+122=132，D选项是直角三角形．故选：B．14．【分析】如图所示，连接，先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，由此根据四边形的面积进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接，

∵，，，∴根据勾股定理得又∵，，∴，，∴∴是直角三角形，即．∴四边形的面积．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．15．(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析【分析】（1）根据网格特点以及即可画出图形；（2）根据网格特点以及和即可画出图形；（3）根据网格特点以及和即可画出图形．【详解】（1）解：如图，，，则直角即为所求作；（2）解：如图，，，故等腰即为所求作；（3）解：如图，，，且，故等腰直角即为所求作．【点睛】本题考查作图-应用与设计，涉及直角三角形、等腰三角形、勾股定理及其逆定理等知识，会利用网格特点和勾股定理构造无理数的线段长是解答的关键．16．【分析】连接，由，，得到，则，，，则，得到，即可得到的度数．【详解】解：如图，连接，∵，，∴，；∵，，∴，∴，∴【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键．17．(1)见解析(2)见解析；不是(3)见解析【分析】（1）根据面积为8的正方形的边长画出正方形即可；（2）根据，画出三角形，根据勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形即可；（3）根据三角形的面积为10，为底边作等腰三角形即可．【详解】（1）解：∵正方形的面积为8，∴正方形的边长为，则面积为8的正方形，如图所示：（2）解：为所求作的三角形，如图所示：，，，∵，∴这个三角形不是直角三角形；故答案为：不是．（3）解：为所求作的等腰三角形，如图所示：，，∴，．【点睛】本题主要考查了在网格中作正方形，三角形和等腰三角形，勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握网格的特点．18．【分析】连接，根据勾股定理求得的长，根据勾股定理的逆定理可得，根据，即可求解．【详解】解：连接，∵∴，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．19．(1)△ABC的面积为5(2)△ABC是直角三角形(3)AB边上的高为2【分析】（1）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论；（3）由三角形的面积即可得出结果．【详解】（1）解：△ABC的面积；（2）解：由勾股定理得：AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=32+42=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；（3）解：∵AC==2，BC=，△ABC是直角三角形，∴AB边上的高==2．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定