宁夏石嘴山市重点中学2023届高三年级上册期末考试数学（理）试题（解析版）

石嘴山三中2023届高三年级期末考试数学理科试卷

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案)

)

1.设集合4={刈尤2-妙+3<。},集合5={x|-1<X<2},则4B=(

A.{x|-l<x<l}B.{x|l<x<2}

C.{x|-l<x<3}D.{x[2<x<3}

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式化简集合A,利用交集定义计算即可得解.

【详解】A={x|f_4x+3<0}={x[l<x<3},B={x|-l<x<2},

所以AB={x\\<x<2}.

故选:B.

2.已知z-(l+i)=4,则z的虚部为()

A.-2B.2C.-2iD.2i

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的四则运算运算求解.

【详解】因为z-(l+i)=4,所以z=「=2-2i,所以z的虚部为一2.

故选:A.

3.设a=b=(|)；c=ln],则a,b,c的大小关系是()

b

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解

【详解】人耻曾喧6,b>a>0,

2

c=In—<ln1=0,:.b>a>c

3

故选：B

【点睛】与指数函数与对数函数有关的比较大小问题，可利用指数函数和对数函数的单调性，比较大小.

4.中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专

业人才就成了决胜的关键.为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进

行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，

则下列说法中不一定正确的是（）

80前,

芯片、软件行业从业者年龄分布

90冗从事软件.芯片行业奉他的分布

A.芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%

B.芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%

C.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多

D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多

【答案】C

【解析】

【分析】根据图表信息，整合数据，逐项判断即可得解.

【详解】对于选项A,芯片、软件行业从业者中“90后”占总人数的55%,故选项A正确；

对于选项B,芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的（37%+13%）x55%=27.5%,故

选项B正确；

对于选项C,芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”占总人数的37%x55%=20.35%,“80后”占总人数

的40%,但从事技术的“80后”占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，故选项C错误；

对于选项D,芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”占总人数的14%x55%=7.7%、“80前”占总人数的

5%,故选项D正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了统计图的应用，考查了数据整合的能力，属于基础题.

5.与双曲线土-二=1有共同渐近线,且过点卜3,26）的双曲线方程是（

916

22

4xyB,工-匕=1

~9494

94

【答案】A

【解析】

【分析】设所求双曲线方程为三-乙=2（270），将点卜3,2百卜弋入求解即可.

916

2222

【详解】设与双曲线土一2L=1有共同渐近线的双曲线方程为---2L=2（2w0）,

916916

..•所求双曲线过点（一3,26），

22

（-3,2力）代入土一上=2（2w0），

916

...与双曲线三-匕=1有共同渐近线，且过点的双曲线方程是三-汇=上,

9169164

故选：A.

6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积

为3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）

【答案】B

【解析】

【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升

列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式

即可求出第5节的容积.

【详解】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：%,%，…，的，且为等差数列,

根据题意得：4+%+/+々4=3,%+/+。9=4,

即4%+6d=3①，3弓+21d=4②，(2)x4-Q)x3得：66d=7,解得d=k，

66

把d==7代入①得：％=1工3，

6622

137”67

则nila=-----1-----(5—I)=—.

5226666

故选：B.

【点睛】本题考查学生掌握等差数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式化简求值，属于中档题.

YOOSY

7.函数/(%)=浮空的图像大致如下()

X+1

V.一,，山/.

I-

AI\I»

_说_兀2TTx-2TC/一兀、兀/2兀x

-1-

y

1-

c.［，八八、］»

-2n72/O27rx—2兀、—兀O、兀/2兀x

-1-\/-1-\/

【答案】A

【解析】

【分析】先通过奇偶性排除C、D选项，再计算了(不)的值判断A、B选项即可.

xcosx-xcos(-x)

【详解】因/(%)+/(-%)=一好+1'(-x)2+l—'

所以/(x)为奇函数，

由奇函数的图像性质可知C、D选项不正确；

，一、一♦.(—1)___L1.

—>——>-1

因为1+1,£2，

71+

兀

所以B选项不正确.

故选：A.

8.若/、机是两条不重合的直线，机垂直于平面&,则“///c”是“/_1m”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用线面垂直性质定理去判断“Illa”与“I±m”逻辑关系即可解决.

【详解】若/、机是两条不重合的直线，掰垂直于平面e,

则由〃/a,可以得到/，加，即“///£”是“/，机”的充分条件；

由/_1_机，可得///tz或/ua,即“///c"不是"/_1_机”的必要条件.

故“///«”是“/，机”充分不必要条件

故选：A

9.已知｛4｝为等比数列，S“为其前”项和，若邑=3。］,武=。3,则S4=（）

A.7B.8C.15D.31

【答案】C

【解析】

【分析】设等比数列｛4｝的公比为4,根据已知条件求出4、4的值，再利用等比数列的求和公式可求得

S4的值.

【详解】设等比数列｛0“｝的公比为q,则52=%+。2=3%,则。2=2。1，所以，q=?=2,

因为a；=&3，即（2qy=4q,。尸0,解得q=l,

因此，S4/。一=

41-q1-2

故选：c.

10.已知抛物线炉=4y，过焦点尸的直线/交抛物线于A,5两点（点A在第一象限），若直线/的倾斜

|AF|

角为30，则岛等于（）

\BF\

c53

A.3B.-C.2D.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】设出直线/,联立直线方程与抛物线方程，即可解得以，力，则根据抛物线性质通过

P

即可求

\BF~J

力+万

【详解】设4(国,%)，3(%,%)，抛物线夕=2,焦点为网0,1),则直线/为y-l=tan30°-x,即

X=A/3（J-1）,

将直线方程代入抛物线方程消X整理得3y2-10y+3=0,解得％=3,%=|，

P

AF士「3,

根据抛物线性质可得,

11

BF%+人p-+1

223

故选：A.

II.已知函数/(工)=25皿5+0)10〉0,附<5］的图象过点3(0,"),且在(。泊上单调，把

k乙)<L/_LN

了(%)的图象向右平移乃个单位之后与原来的图象重合，当药,々€(7,《-)且石彳超时，

/(石)=/(%2)，则/(%+%2)=

A.-73B.73C.-ID.I

【答案】B

【解析】

【分析】

(JT(27r4〃*、

代入3点求出。，根据平移关系和在正,行一上单调，确定。，从而得到了(%);找到区间内

/(%)的对称轴，由对称性可得的值，进而代入求得结果.

【详解】/(%)=25111(。％+0)过点8(0,6):.2sln(p=上,即sin°=走

71

又|同＜（："=%.../（x）=2sinCDXH--

3

又了(%)的图象向右平移不个单位后与原图象重合

/.2sin(D[x-7r)+—=2sinl69%+yI:.①兀=2k7i,keZ:.a)=2k,keZ

571兀_7C<T

0<69<3:.a)=2

/(x)=2sin^2x+yj

jrjrKTCTC

令2%H—=kjiH—，keZ,解得％=----1----，keZ

32212

当左=2时，兀=*为/(九)的一条对称轴

_13"13乃

，当玉,％G%彳々且/(%)=/(%2)时，再+%=2x]2=

:./(%1+x2)=2sin12x^^+]]=2sin^^=G

本题正确选项：B

【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数

解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.

12.定义在尺上的偶函数〃尤)满足“2—力=/(2+力，且当xe[0,2]时,

2"-1,0<%<1

/(%)=兀，若关于尤的方程加In|x|=/(九)至少有8个实数解，则实数相的取值范围

2sin—^-l,l<x<2

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件可得出函数/(X)是以4为周期的周期函数，作出y=/(x),y=7〃lnx的图象，根据函

数为偶函数，原问题可转化为当xNO时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.

【详解】因为"2—x)=/(2+x),且为偶函数

所以〃x-2)=/(x+2),即/(x)=/(x+4),

所以函数人元)是以4为周期的周期函数，

作出y=/(x)，y=/nlnx在同一坐标系的图象，如图,

因为方程相ln|x|=/(x)至少有8个实数解，

所以y=/(x),y=minix|图象至少有8个交点,

根据y=/(x),y=〃zln|x|的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，

由图可知，当机>0时，只需〃21n5<1,即0<加三」一，

In5

当机<0时，只需加In6之一1,即———<m<0,

In6

当机=0时，由图可知显然成立，

综上可知，———<m<-^—.

In6In5

故选：B

【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利

用数形结合的方法求解.

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知|a|=||=2百，a-b=3，则a与方的夹角是.

7T

【答案】-

3

【解析】

【分析】根据平面向量的模和数量积计算，即可直接得出结果.

【详解】cos（a,b）="）=厂'厂=1,

|。|皿|A/3X2A/32

TT

因为〈名。〉£。兀],所以

JT

a与b的夹角是:.

TT

故答案为：一.

3

14.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、

徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同

的音序的种数为.（用数字作答）.

【答案】24

【解析】

【分析】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，再结合定序问题倍缩法求解即.

【详解】解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有A；,然后与宫、商、角进行全排有A：,考虑到顺序问

题,

A2A4

则可排成不同的音序的种数为^^=24.

A；

故答案为：24.

3（a兀）

15.已知二£（0,»）,cosa,贝|cos2[,+]）=.

【答案】—##0.1

10

【解析】

【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幕公式、诱导公式进行求解即可.

【详解】解：由<2；w（0,不）,cosa=——,得sina=A/1—cos2a=Jl-[

1+cosa+—

所以I21-sina±5_±-

22210

故答案为：

10

16.已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球。的球面上，SA，平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,

ABAC=60，则球。的体积是.

【答案】浮

【分析】先由余弦定理求得5c=6,再由正弦定理求得r=1,从而求得氏2=产+(9]=2,由此即

可求得球。的体积.

【详解】根据余弦定理得BC-=AC2+AB2-2AB-ACcosABAC=3，故BC=0，

根据正弦定理得2r=———=2,故r=1,其中厂为三角形ABC外接圆半径，

sinN54c

设R为三棱锥S—ABC外接球的半径，则尺2=r2+[?]=2,故R=0，

则球的表面积S=—R3=当亘.

33

故答案为：犯互

3

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.在一ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知向量机=(cosA,cos3),

n=(a,2c—b),旦mlIn.

Cl)求角A的大小；

(2)若a=4,b=,求，LBC面积.

【答案】(1)|(2)|石

【解析】

【分析】

(1)由已知利用平面向量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的

正弦函数公式化简，根据sinC不为0,求出cosA的值，即可求出A的度数；

(2)由与A的值，利用正弦定理列出关系式，求出3值进而得C角，再由三角形ABC面积公式即

可求值.

【详解】解：(1)由心〃”得，Qc-ZOcosA-acosBn。，

由正弦定理可得，(2sinC-sin3)cosA-sinAcosB=0,

可得：2sinCcosA-sin(A+B)=0,即：2sinCcosA-sinC=0,

由sinC/0，可得：cosA--,

2

又Ae(0㈤，

Jr

可得：A=-.

3

ab4a,1

(2)由已知及正弦定理得——=——即-----—可得sinB=—

sinAsinBs^n工sin82

I

TCTC

a>b.•.4>5即8=—故C=—

62

AABC的面积S=sinC=‘x4x

2243"-8'3.

【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定

理及公式是解本题的关键，属于基本题.

18.如图的多面体是由一个直四棱柱被平面AEFG所截后得到的，其中AB=2AD=2,ZBAD=60°,

ZBAE=ZGAD=45°.

(1)求证：平面BOG,平面ADG；

(2)求直线GB与平面AEFG所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

⑵①

2

【解析】

【分析】（1）在氏山中，由余弦定理可得3。=追，由勾股定理超2=">2+。32,可证明

BD±AD,再由GDL平面A3CD,可得BDLGD,由线线垂直证明线面垂直，从而可证面面垂直;

（2）建立空间直角坐标系，计算平面但G的法向量，利用线面角的向量公式，即得解.

【小问1详解】

证明：在，54。中，因为AB=2A£>=2,ZBAD=60°,

所以由余弦定理得，BD2=AD-+AB2-2AB-ADcos60°=3，

所以

所以AB?=4£>2+£>32，即5£>_LAZ），

在直四棱柱中，GDJ_平面A3CD,BDu平面A3CD，

所以6Z）J_GE>,

因为ADu平面ADG,GDu平面ADG,ADoGD=D,

所以5£）上平面ADG.

因为BDu平面瓦右，

所以平面BDG±平面ADG.

【小问2详解】

因为DA，DB,ZJG两两相互垂直，

所以以。为坐标原点，分别以ZM,DB,DF为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由NE4E=NG4D=45。，得BE=BA=2,DA^DG=1,

所以有A（l,0,0）,8（0,60）,£（0,73,2）,G（0,0,l）,

AE=（-1,如,2）,AG=（-1,0,1）,GB=（0,6,-l）,

设加=(x,y,z)为平面A£FG的一个法向量，

,m-AE-0\-x+^3y+2z=0

则〈，即〈,

m-AG=0[-x+z=0

令x=5解得加=(6,—1,也)，

因为G3=(0,点—1),加=("—1,句，

设直线GB与平面的G所成角为6,且Oe]。,/

..„,/.\]|GB'm|2y/3y/212V7

所ce以sin0=cos(GB^m)|=-----------=-----尸=----,从而cos0=-------，

\/\GB\\m\2xV777

所以tan，=^g=^.

cos。2

所以直线GB与平面但G所成角的正切值为苴.

2

19.某校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a,b,c成等差数列，成绩落在

区间[60,70)内的人数为400.

(2)估计中位数(精确到0.1)和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；

(3)若用频率估计概率，设从这1000人中抽取的6人，得分在区间[90,100]内的学生人数为X,求X的

数学期望.

【答案】（1）a=0.04,b=0.03,c=0.02

(2)中位数约为71.7,平均数73.

(3)0.3

【解析】

【分析】(1)首先由［60,70)的人数求出。的值，再根据等差数列的性质及频率分布直方图中所有小矩形的

面积之和为1得到方程，解之即可；

(2)设中位数为x,xe［70,80),即可得到方程，再根据平均数公式计算即可；

(3)先列出X的所有可能值，再根据二项分布的期望公式即可求解.

【小问1详解】

依题意可得：a=400+1000+10=0.04,

又a,b,c成等差数列，所以2b=a+c且(0.005+a+b+c+0.005)xl0=l,

解得：c=0.02,b=0.03

所以a=0.04,b=0.03,c=0.02.

【小问2详解】

因为(0.005+0.04)x10=0.45<0.5,设中位数为1,

贝iJxe［70,80),所以(0.005+0.04)x10+(x—70)x0.03=0.5,

解得：x«71.7,即中位数约为71.7,

平均数为(55x0.005+65x0.04+75x0.03+85x0.02+95x0.005)x10=73.

【小问3详解】

由题意可知：得分在区间［90,100］内概率为0.005x10=，，

根据条件可知：X的所有可能值为0」,2,3,4,5,6,且X(6,\)，

所以E(X)=叩=6义，=0.3.

22

20.如图，点A是椭圆C:=+二=l(a〉6〉0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线

ab

交椭圆于点8,尸在y轴上，且3尸〃龙轴，AB-AP=9-

y

PB

O

A

（1）若点尸的坐标为（0,1）,求椭圆C的标准方程;

（2）若点尸的坐标为（0,f）,求f的取值范围.

22

【答案】（1）—।—二1；

124

⑵°4

【解析】

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质进行求解即可;

（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质、椭圆标准方程中关系进行求解即可.

【小问1详解】

22

由大”=1=>A（0,—8）,因为过点A且斜率为1的直线交椭圆于点8,所以直线A3的方程为

ab

y^x-b,因为尸的坐标为（0,1）,轴，

所以3（1+反1）,因而AB=（1+Z?,1+Z＞）,AP=（O,l+Z?）,

____22

由AB-AP=9=（l+b）2=9=〃=2力=—2（舍去），即・

又因为3（3,1）在该椭圆上，所以有‘+；=1=＞片=12,

所以该椭圆的标准方程为土+匕=1；

124

【小问2详解】

由（1）可知：A（0,-/?）,点尸的坐标为（0,力，显然/〉0,

所以3仅+0,AB=（t+b,t+b）,AP=（O,t+b）,

由AB•丽=9=＞。+人）2=9=＞/+匕=3=＞人=3—/,即8（3,。，代入椭圆标准方程中，得

不+jg/9_3(r-3)2

a'(。一"?-3-2?

3-1-------

(3一)一

因为/>〃，所以有3(3—12

3-2?')2

所以f的取值范围为

【点睛】关键点睛：运用代入法，结合椭圆标准方程中的关系是解题的关键.

21.己知函数“尤)=e*(无?+以+]).

(1)若a=0,求/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若/(x)在(-1,1)上恰有一个极小值点，求实数。的取值范围；

(3)若对于任意cosx+1)恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)y=x+l

(2)(-2,0)

⑶[0,+oo)

【解析】

【分析】(1)求导，根据导数的几何意义可得切线斜率及方程；

(2)求导，可得函数单调区间与极值点，再根据极值点范围可得参数范围；

(3)由不等式恒成立可知a>XCOSX-X恒成立，g(X)=XCOSX-X,即a>g(%)max，求函数才(刈的最

值即可.

【小问1详解】

当。=0时，/(x)=ev(x2+1),-(无)=6*(/+2x+l),

所以/'(0)=1,/(0)=1,

所以切线方程为y=x+L

【小问2详解】

由/(尤)—ex(x2+av+1),得f'(x)=ex[x2+(a+2)x+a+1].

令/'(x)=0,得x2=-1

①若西气，则。之0，尸（幻20在（T，D上恒成立，

因此，“X）在（-LD上单调递增，无极值，不符合题意.

②若西〉.，则。<0,/'（X）与人无）的情况如下：

(f-1)-1-a-1(—a—1,+00)

f（X）+0—0+

极大

/（X）■极小值/

值

因此，“X）在（―8,—1）,上单调递增，在（—L—a—1）上单调递减.

若/（x）在（-1,1）上有且只有一个极小值点，则需_1<_1<1,

所以一2<a<0.

综上，。的取值范围是（-2,0）.

【小问3详解】

因为e*>0，

所以f（x）=ex（x2+ax+V）>ex（x2cosx+1）,即%2+ax>x2cosx.

又因x>0,

所以f+改>fcos%,gp«>xcosx-x.

令g（%）-xcosx-x,所以g'（^）=cosx-xsinx-l=（cosx-l）-xsinx.

JT

因为尤£（0,耳］,所以cosx—1<0,

又％sin%>0,所以g'（x）v0,

JT

所以g（x）为（0,5］上减函数，所以g（x）<g（0）=0,所以a20

综上，实数。的取值范围为［0,+8）.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导

数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联

系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极

值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.

请考生在第20-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分

【选修4-4坐标系与参数方程】

x=l+tcosa

22.在平面直角坐标系九0y中，已知直线/的参数方程为<।.（/为参数，。为常数且