2023年辽宁省营口市大石桥二中中考数学三模试卷（附答案）

绝密★启用前

2023年辽宁省营口市大石桥二中中考数学三模试卷

学校:姓名：班级：考号：—

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.-2023的绝对值是（）

A∙一2023B.表C∙-5⅛D.2023

2.一个圆柱和正三棱柱组成的几何体如图水平放置，其主视图是（）/ɔ

3.下列计算正确的是（

538

A.Λ∕^~5+√r^2=y∕~7B.7m—4m=3C.α∙α=aD.(ɪɑ`

4.如图，直线α√∕b,Zl=60°,/2=40。，则43=()

A.40°D.80°

5.为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如

表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（）

时间/小时78910

人数79113

A.9,8.5B.9,8C.10,9D.11,8.5

6.如图，AB为。。的弦，C,D为0。上的两点，OCI4B,垂足

为E,乙4DC=22.5。.若OC=2,则AB的长为（）

A.2

B.2∖∏.

C.3

D.20

7.估计2门的值应在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

8.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=g（x>0）的图象与边

长是6的正方形04BC的两边AB,BC分别相交于M,N两点，AoMN的

面积为10,若动点P在久轴上、则k的值是（）

A.24B.12C.8D.6

9.已知乙4。B为一锐角，如图，按下列步骤作图：

①在04边上取一点D,以。为圆心，OD长为半径画须，交

OB于点C,连接CD.

②以。为圆心，。。长为半径画的，交OB于点E,连接DE,

此时有4CDE=30。.则4A0B的度数为（）

A.20oB.30oC.40°D.50°

10.如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是

2和4的Rt∆GEF的一边GF重合.正方形4BC。以每秒1个单位长

度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运

动.设正方形的运动时间为t秒，正方形ZBCD与RtAGEF重叠部

分面积为S,则S关于t的函数图象为（）

第∏卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.因式分解：X2+4y2—4xy=.

12.据旅游研究院最新数据显示，2022年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入

210500000000元，将210500000000用科学记数法表示为一.

13.不透明袋子中装有9个球，其中有3个红球、4个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他

差别.从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是.

14.新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱.2020年某款新能源汽车销售量为15万

辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长

率是多少？可设年平均增长率为X,根据题意可列方程.

15.如图所示，NMAN=90。，点C在边AM上，AC=4,B为M

边AN上一动点，连接BC,AGBC和AABC关于BC所在直线对

称，D、E分别为AC、BC的中点，连接。E并延长交GB所在直CR∙、\

线于点F,连接£；应当4GEF为直角三角形时，力B的长为.ɔ

16.如图，AABC和AADE都是等腰直角三角形，4BAC=NEME=90。，点。是BC边上的动

点（不与点B、C重合），DE与ZC交于点尸，连结CE.下列结论：①BD=CE；②WaC=/.CED；

③若8D=2CD,则祭=/④在AABC内存在唯一一点P,使得R4+PB+PC的值最小，若

点。在AP的延长线上,且AP的长为2,则CE=2+其中含所有正确结论的选项是.

三、解答题（本大题共9小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题8.0分）

先化简，再求值：--p4^h4÷（ɪ-—α-1）>其中α=-（tαn45t5）T+√12-4sin60J

18.（本小题12.0分）

我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，

可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色

收集桶.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到

哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不

完整的统计

用过的餐巾纸投放情况统计图

⑴此次调查一共随机采访了名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度

数为度；

（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；

（4）李老师计划从A,B,C,。四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请

用树状图法或列表法求出恰好抽中4,8两人的概率.

19.（本小题10.0分）

如图，点。是等边△4BC的边BC上一点，连接4。，以4。为边作等边A40E,DE与AC交于点

F.

(1)求证：4ABD'DCF；

(2)若AB=6,CD=2BD,求CF的长.

20.（本小题10.0分）

如图，实验学校前方有一斜坡4B长60米，坡度i=l：y∕~3,BCLAC,现计划在斜坡中点。处

挖去部分坡体，修建一个平行于水平线C4的平台DE和一条新的斜坡BE.

⑴若修建的斜坡BE的坡角（即4BEF）不大于45。，则平台DE最长是多少米？

(2)学校教学楼GH距离坡脚A点27米远(即AG=27米)，小明在。点测得教学楼顶部H的仰角(

即4HDM为30。，点8、C、力、G、H在同一个平面上，点C、4、G在同一条直线上，且HG1CG,

问：教学楼GH高为多少米？(结果精确到0.1米，参考数据C≈1.732)

21.(本小题10.0分)

如图，一次函数y=αx+b的图象和反比例函数y=1的图象交于4(∣,2),B(-l,n)两点.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)过点B作BC〃y轴且BC=AB,连接4C,求ZkABC的面积.

22.(本小题12.0分)

如图，AB是。。的直径，弦AC=BC,E是。B的中点，连接CE并延长到点F,使EF=CE,

连接力户交O。于点D，连接BD,BF.

(1)求证：直线BF是。。的切线；

(2)若AF长为5/1，求BD的长.

23.（本小题12.0分）

某商店十月份销售一种成本价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天的销售量y（件

）是售价尤（元件）的一次函数，其售价，销售量的二组对应值如下表：

售价%（元件）5565

销售量y（件/天）9070

（1）求销售量y与售价X之间的函数关系式；

（2）十月份销售该商品时，售价定为多少元，每天才能获取最大利润？最大销售利润是多少？

（3）十一月份由于原材科上涨等因素，该商品成本价提高了a元/件（0<ɑ≤15）,商品的每天

销售量与销售价的关系不变,若商品的销售价不低于成本价,且物价部门规定售价不得超过80

元/件，商店十一月份销售该商品的过程中，获得的销售最大利润能否为882元？说明理由.

24.（本小题14.0分）

已知，在AABC中，AB=BC,NABC=90。，点。在射线CB上，连接ZM,将线段ZM绕点D逆

时针旋转90。后得到DE,过点E作EM工BC交直线BC于点M,连接4E,CE.

（1）如图①，若点。在线段CB上（且不与点C、点B重合）时，

求证：

（T）MC=BD;

②ZTICE=90°

（2）延长力。与直线CE相交于点N,

①当点。在线段CB上（且不与点C、点8重合）时，如图②所示，若4。平分N84C,CD=√^ME,

且4B=2+2√^N,求线段NE的长；

②当点。在射线CB上（且不与点C、点B重合）时，若盖=5时，直接写出鬻舞•

25.(本小题14.0分)

抛物线y=。/+/)%+式。力0)与4轴交于4,B两点(点A在点在点B左侧)，与y轴交于点

C(0,-l),顶点为点D.

(1)如图，若点。坐标为(1,一§,

①求抛物线的解析式；

②点P为线段4B上一点，过P作PH〃y轴分别与抛物线，直线y=gx+l交于G,"两点，抛

物线上是否存在点Q,使得四边形CGQH为平行四边形，若存在，请求出点H的坐标，若不存

在，请说明理由；

(2)已知，点M的坐标为(2,0),点N的坐标为(一2,0),若顶点。恰好在直线y=-X-2上，抛

物线经过四个象限，且与线段MN有且只有一个公共点，直接写出b的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：I-2023∣=2023,

故选：D.

一个数在数轴上对应的点到原点的距离即为这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝

对值是它的相反数，O的绝对值是0,据此即可求得答案.

本题考查绝对值的定义及绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

2.【答案】B

【解析】解：这个组合体的主视图如下：

故选：B.

根据简单组合体的三视图的定义画出其主视图即可.

本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的前提.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的加减运算法则以及同底数幕的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出

答案.

此题主要考查了二次根式的加减运算以及同底数基的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关

运算法则是解题关键.

【解答】

解：4、，石和C不是同类二次根式无法合并，故此选项错误；

B、7m-4m=3m,故此选项错误;

C、a3-di■=a8,正确；

D、(∣α3)2=iɑ6,故此选项错误；

故选：C.

4.【答案】D

【解析】解:•・•a∕∕b,

ΛZl÷Z4=180°.

.∙.z4=180o-60o=120o.

•・.z4=z.3÷Z.2,

：•z3=z4—Z.2

=120°-40°

=80°.

故选：D.

利用平行线的性质，先求出44的度数，再利用三角形外角与内角的关系求出43.

本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理.掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解

决本题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：抽查学生的人数为：7+9+11+3=30（人），

这30名学生的睡眠时间出现次数最多的是9小时，共出现11次，因此众数是9小时，

将这30名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为等=8,因此中位数

是8小时，

故选：B.

根据中位数、众数的意义求解即可.

本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的

关键.

6.【答案】B

【解析】解:如图，连接04

•••∆ADC=22.5°

.∙.∆A0C=22.5oX2=45°,

OC1AB,

AC=BC»

ʌ∆A0C=4BOC=45°,

.∙.∆A0B=90°,

在RtZM。B中，OA=OB=OC=2,

AB=√22+22=2y∏.

故选：B.

连接。4,根据圆周角定理及垂径定理可得/40B=90。，进而利用勾股定理即可得48长.

本题主要考查圆周角定理和垂径定理，解题关键是熟练应用圆周角定理和垂径定理.

7.【答案】C

【解析】解：∙∙∙2>Γ-5=V20,

4<√20<5,

2门在4和5之间，

故选：C.

根据4<√-20<5即可得解.

此题考查了估算无理数的大小，正确估算出4<√τθ<5是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：•••正方形04BC的边长为6,

∙∙∙A点坐标为(6,0),C点坐标为(0,6),B点坐标为(6,6),

M.N在反比例函数y=的图象上，

∙∙∙M点坐标为(6,，).N点坐标为6),

•'∙SAAOM=]X6X[=∙p

1kk必

SAMNB=2X(6—石)X(6—Z)=无一1+18，

C1.618

sLOCN=2x6zxk=~kf

VS>MON=10，

36-2×ɪ--fc+18)=10>

解得：©=24,&=-24(舍).

故选：A.

由正方形OABC的边长是6,得到M点坐标为(6,》、N点坐标为(36),根据三角形的面积列方程即

可.

本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，根据题意找到面积之间的关系是解题

的关键.

9.【答案】C

【解析】解：由题意OO=DE=OC,

.∙∙Z.D0E=/-DE0,/.ODC=/.OCD,

设NZ)OE=乙DEQ=X,!J∣∣JzOPC=/.0CD=x+30。，

.∙.X+2(%+30°)=180°,

.∙.X=40°,

ʌ∆AOB=40°,

故选：C.

由题意DO=DE=0C,推出4D0E=LDEO,乙ODC=4OCD,设4D0E=乙DEo=X,则NoDC=

NoCD=X+30。，利用三角形内角和定理，构建方程求解.

本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题

意，学会利用参数构建方程解决问题.

10.【答案】B

【解析】解：当0≤t≤2时，如图,

BG=3BE=2—t,

•・・PB//GF,

.,∙ΔEBP~>EGF,

PBEBπtlPS2-t

FGEG,42

・・・PB=4-23

11

.∙.S=∣(PB+FG)∙GB=ʌ(4-2t+4)∙t=-t2+4t；

当2<t≤4时，S=/G-GE=4；

当4Vt≤6时,如图，

GA=t-4,AE=6—3

•・•PA//GF,

EAP^ΔEGF,

tPA_EA∏∏Pi4_6→

∙∙FG~EG9'4-2'

・・・PA=2(6-t),

11

・・・S=1P4.4E=2X2X(6—t)(6-t)

=("6)2,

综上所述，当0≤t≤2时，S关于，的函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2<t≤4时，S关

于t的函数图象为平行于X轴的一条线段；当4<tW6时，s关于t的函数图象为开口向上的抛物线

的一部分.

故选：B.

分类讨论：当0≤t≤2时，BG=t,BE=2-t,运用△EBPfEGF的相似比可表示PB=4-2t,

S为梯形PBGF的面积，则$=；(4-21+4)Μ=一12+43其图象为开口向下的抛物线的一部分;

当2<t≤4时，S=^FG-GE=4,其图象为平行于X轴的一条线段；

当4<t≤6时，GA=t-4,AE=6-t,运用△EAPs/kEGF的相似比可得到PA=2(6-t),所

以S为三角形PAE的面积，贝IjS=«-6)2,其图象为开口向上的抛物线的一部分.

本题考查了动点问题的函数图象：先根据儿何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然

后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围.

11.【答案】(X-2y)2

【解析】解：原式=X2—4xy+4y2=(x—2y)2,

故答案为：Q-2y)2.

直接利用完全平方公式进行分解即可.

此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.

12.【答案】2.105XIO11

【解析】解：210500000000=2.105XIO11.

故答案为:2.105×IO11.

科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中1≤∣α∣<10,n为整数.确定H的值时，要看把原

数变成ɑ时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等

于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，H是负整数.

此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中1≤∣α∣<10,

n为整数，表示时关键要正确确定ɑ的值以及n的值.

13.【答案】I

【解析】解：由题意，可得从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是

故答案为：

用蓝色球的个数除以球的总个数即可得出答案.

本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件4可能出现的结果数÷所

有可能出现的结果数.

14.【答案】15(1+x)2=21.6

【解析】解：依题意得：15(1+X)2=21.6.

故答案为：15(1+x)2=21.6.

利用2022年某款新能源汽车的销售量=2020年某款新能源汽车的销售量X(1+年平均增长率y,

即可得出关于X的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

15.【答案】4，号或4

【解析】解：当AGEF为直角三角形时，存在两种情况:

①当NGEF=90。时，如图1,

∙.∙∆GfiC⅛ΔABC关于BC所在直线对称，

.∙.GC=AC=4,∆ACB=乙GCB,

•••点D,E分别为AC,BC的中点，

•••OE是AABC的中位线，图1

.∙.DE//AB,

ʌΛCDE=∆MAN=90°,

ʌZ.CDE-Z.GEF,

■■.AC//GE,

∙∙Z.ACB=乙GEC,

乙GCB=/.GEC,

ʌGC=GE=4>

在Rt∆GCB中，

∙∙∙E是斜边BC的中点，

BC=2GE—8,

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2,

.∙.AB=√82-42=4ΛΓ3:

②当NGFE=90。时，如图2,

•••∆ADF=A=乙DFB=90°,

.∙.∆ABF=90°,

∙∙∙∆GBC与AABC关于BC所在直线对称，

.∙.Z.ABC=乙CBG=45°,

图2B

.∙.△力BC是等腰直角三角形，

.∙.AB=AC=4；

综上所述，AB的长为或4；

故答案为：4∙∖∕^2或4.

当AGEF为直角三角形时，存在两种情况：

①当/GEF=90。时，如图1,根据对称的性质和等角对等边可得：GC=GE=4,根据直角三角

形斜边中线的性质得：BC=2GE=8,最后利用勾股定理可得AB的长；

②当NGFE=90。时，如图2,证明△4BC是等腰直角三角形，可得48=4C=4.

本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角

形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题.

16.【答案】①②③

【解析】解:如图1中,

图1

•••∆BAC=/.DAE=90°,

ʌ乙BAD=Z.CAE,

-AB=AC,AD=AEf

y

・•・△BAD≡ΔCAE(SAS)9

ʌBD=EC,Z-ADB=∆AECf故①正确，

V∆ADB+Z.ADC=180°,

Z-AEC+Z-ADC=180°,

ΛZ-DAE+∆DCE=180°,

・•・Z.DAE=乙DCE=90°,

取。E的中点。，连接04OA1OC,则OA=OD=OE=OC,

・・.4,D,C,E四点共圆，

.∙.ΛDAC=/.CED,故②正确，

设CD=τn,贝IJBD=CE=2m.DE=Hm，04=?m，

过点C作夕1DF于点/,

VtanZCDF=g=g=2,

2<5

∙*∙CJ=---m，

•・・AOJLDE,CJ1DE,

AoIlC),

-g=⅛=⅛=l故③正确∙

如图2中，将ABPC绕点B顺时针旋转60。得到ABNM,连接PN,

：,BP=BN,PC=NM9∆PBN=60°,

・・.△BPN是等边三角形,

・•・BP=PN,

・•・PAPBPC=AP-VPN+MN,

二当点4,点P,点N,点M共线时，PA+P8+PC值最小，止匕时乙4PB=乙4PC=48PC=120。,

PB=PC,ADLBCf

・•・乙BPD=乙CPD=60°,

设PD=3则8。=AD=Ct,

ʌ2+t=√-3t,

ʌt=V-3+1，

ΛCE=BD=√^3t=3+q，故④错误.

故答案为：①②③.

①正确.证明△BAD三△C4E(SAS),可得结论；

②正确.证明力，D,C,E四点共圆，利用圆周角定理证明；

③正确.设CD=m,则Bn=CE=2m,DE=√^^5m.OA=ɪm.过点C作C/1DF于点/,求出

AO,CJ,可得结论；

④错误.将ABPC绕点8顺时针旋转60。得到ABNM,连接PN,当点A,点P,点N,点M共线时，

PA+PB+PC值最小，止匕时NaPB=Z∙APC=4BPC=I20。，PB=PC,AD1BC,设PC=3

则BO=AD=√-3t.构建方程求出3可得结论.

本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三

角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中

的压轴题.

2

17.【答案】解：^-4α+4ɪ3_q_

az-aJ

_(Q-2)2.3—(α+l)(α-1)

α(α-l)*a-1

_(α-2)2a-1

-a(a-l)3-a2+l

_(α-2)2a-1

Q(Q-1)(2+α)(2-α)

=2-a

α(2+α)

2—a

=∑H^2,

f—Q2一(—1)

当α=-(tan450)-1+√^TΣ-4sin60o=-1+2y∕~3-4x一=—1时，原式=二，「2=

、'22X(—1)+(—1)

一3.

【解析】先化筒括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将α的值代入化简后的式子计算即可.

本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数基，熟练掌握运算法则是解答本题

的关键.

18.【答案】(1)200,198

(2)绿色部分的人数为200-(16+44+110)=30(人),

补全图形如下：

(3)估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数360OX部=288(人)；

(4)列表如下：

ABCD

A(BM)(CM)(ZM)

B(4B)(&B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(4。)(B,D)CD)

由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中4B两人的有2种结果，

所以恰好抽中4,B两人的概率为

【解析】解：(1)此次调查一共随机采访学生44÷22%=200(名)，

在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360。198°,

故答案为：200,198；

(2)见答案

(3)见答案

(4)见答案

(1)由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用360。乘以投放灰色垃圾桶的人数所占

比例；

(2)根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；

(3)用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；

(4)列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中4B两人的结果数，再根据概率公式求解即可.

此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为：概率=所

求情况数与总情况数之比.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

19.【答案】（I）证明：ABC是等边三角形，

・•・乙B=乙C=60°；

又上ADC=∆ADE+Z.FDC=zB+Z.DAB,乙B=Z.ADE↑

Z-FDC=Z-DAB；

ABDSbDCF.

（2）解：VAB=6,CD=2BD,

.∙.BD=2,CD—4,

vʌABDSbDCF,

AB__BD∏∏6_ɪ

∙t∙DC-CF9u4-CF,

解得：CF=小

【解析】（1）根据等边三角形的性质可得角度之间的相等关系，再根据有两个角相等的两个三角形

相似，即可求证；

（2）由A4BOSAOCF得出蔡=岑，计算即可得出CF

本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等

的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例.

20.【答案】解：（IA•修建的斜坡BE的坡角（即NBEF）不大于45。，

.∙.当4BEF=45。时，EF最短,此时Z）E最长,

•••斜坡4B的坡度i=1：C,BC1AC,

BC1_<3

♦%F=亍’

在RC△ABC中，tanzBAC=箓=

.•・乙BAC=30°,

由题意得：DFJLBC,DF∕∕AC9

・•・乙BDF=∆BAC=30°,

•・,点。是48的中点，

：.BD=AD=TaB=30（米），

1______

:・BF=-BD=15（米），DF=y∏>BF=15「（米），

在RtABFE中，9/=-^=15（米），

.∙.DE=DF-EF=15ΛΛ^3-15≈11.0（米），

若修建的斜坡BE的坡角（即ZBEF）不大于45。，则平台DE最长约为11.0米;

由题意得：DP=MG,DM=PG,

在RtZkADP中，4。=30米，皿IC=30。，

ʌDP=^AD=15（米），AP=CDP=15√^（米），

.∙.DP=MG=15米，

VAG=27米，

.∙.DM=PG=AP+AG=（15<3+27）米，

在RtZiHDM中，NHDM=30。，

.∙.HM=DM-tan30o=（15√^^3+27）X?=（15+9万）米，

.∙.HG=HM+MG=15+9√^3+15≈45.6（米），

教学楼GH高约为45.6米.

【解析】⑴根据已知可得当NBEF=45。时，EF最短，此时DE最长，再根据已知可知在Rt△ABC

中，tan∆BAC=ʃ.从而可得ZBAC=30。，然后根据题意可得：DF1BC,DF//AC,从而可得

∆BDF=∆BAC=30°,再根据线段中点的定义可得BD=AD=30米，最后在RtADBF中，利用

含30度角的直角三角形的性质可得BF=15米，DF=I5/百米，再在RtABFE中，利用锐角三角

函数的定义求出E尸的长，从而利用线段的和差关系求出DE的长，即可解答；

（2）过点。作DP_LCG,垂足为P,根据题意可得：DP=MG,DM=PG,然后在RtA4DP中，利

用含30度角的直角三角形的性质可得DP=I5米，AP=I5√~5米，从而求出MG和PG的长，再在

RtAHDM中,利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可

解答.

本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

21.【答案】解：⑴∙∙∙y=舶图象过＜|,2),

3

∙∙∙k=-×2=3,

3

7=婷

∙.∙y=［的图象过B(-l,n),

ʌn=—3,

・•・β(-‰-3),

•・,y=QX+b图象过4,B两点,

∙∕∣α+b=2,

I—α+6=-3

解得仁:

ʌy=2x-1；

(2)过A作AN1BC交于N,

∙.∙4(∣,2),B(-l,-3),且BC〃y轴，

•1.AN=∣.BN-5,

在Rt△4BN中，AB=√AN2+BN2=∣√-5.

.∙.BC=τ4β=∣√-5

-

c1nz,λAr25√5

ΛS>ABC~2BC，AN=--—•

【解析】(1)将点4(|,2)代入反比例函数求出解析式，代入B点坐标求出n,代入一次函数即可得

到答案；

(2)过4作4VJ.BC交于N,求出4点坐标，即可得到4B,结合三角形面积公式求解即可得到答案；

本题考查反比例函数与一次函数结合问题，勾股定理，解题的关键是根据交点求出两个函数解析

式.

22.【答案】(I)证明：如图，连接。C.

・・・点E是。8的中点，

：•BE=OE,

在ABEF和AOEC中，

BE=OE

乙BEF=∆0ECy

EF=EC

••心BEF三AOEe(SAS),

・∙・Z-FBE=Z-COEi

又∙∙∙4C=BC,。为直径AB的中点,

・・・Z-COE=90°,

・•・乙FBE=90°,

而OB是圆的半径,

∙∙∙BF是。。的切线；

(2)解：如图，由(1)知：BF=OC,Z-FBD÷∆ABD=90°,

・•・tan∆BAF=ɪ,

,・・是直径，

・•・∆BDA=Z.BDF=90°,

・•・Z,BAF+∆ABD=90°,

：・乙DBF=∆BAF1

・•・tan∆DBF=ɪ,

设FO=X,贝IJBO=2x,AD=4x,

ʌAF=5%=5Λ∕^~2,

∙*∙X—J2，

.・.BD=2∖Γ~2∙

【解析】(1)连接OC.根据全等三角形的判定与性质可得4F8E=乙COE,再由圆周角定理及切线的

判定方法可得结论；

(2)由圆周角定理及三角函数可得tan/DBF=义，设Fo=x,则B。=2x,AD=4x,从而可得答

案.

此题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键.

23.【答案】(1)的：设关系式为y=kx=b,

把(55,90)(65,70)代入得：

f90=55k+bAnzaffc=-2

(70=65fc+h,解倚Ib=200'

答:售量y与售价X之间的函数关系式为y=-2x+200.

(2)解：设总利润为W元，

W=y(x-50)=-2x2+300x-10000,

当X=一绊=75时，VlZ最大，此时W=-2×752+300×75-10000=1250,

-4

答：售价定为75元，每天才能获取最大利润.最大销售利润是1250元.

(3)设总利润为W元，

W=(x-50-α)(-2x+200)=-2x2+(300+2α)x-10000-200a,

••・对称轴为直线X=一型竽

-4

,**—2<0>

.•・抛物线开口向下，

当竺罗>80时，即10<a≤15时，W随X的增大而增大，

X<80,

•••当％=80时，”最大，此时W=882.

即一2X802+(300+2a)×80-10000-200a=882,

解得a=7.95<10(舍)，

当竺岁≤80,即0<a≤10时，

...当X="岁时，MZ最大，此时HZ=882,

将X=塔±≤代入勿=-2χ2+(300+2a)x-10000-20Oa中，

解得的=8,a2=92(舍)，

综上，当a=8时，可或得最大利润为882元.

【解析】(1)利用待定系数法求一次函数关系式；

(2)先求出W与X的函数关系式，再依据函数增减性和自变量的取值范围确定何时利润最大；

(3)根据题意求出W与X的新的函数关系式，求出对称轴，观察函数增减性，代会函数中解方程即

可.

本题考查了二次函数在实际生活中的应用，掌握总利润等于总收入减去成本，然后利用二次函数

求最值是本题的关键.要注意根据题意分类讨论.

24.【答案】(1)证明：①•：∆ADE=90°,

ʌ∆ADB+乙MDE=90。，

•••Z.ABD=90°,

•••乙ADB+∆BAD=90°,

・•・乙BAD=Z-MDE,

在AABD和ADME中，

ZB=Z-M=90o

乙BAD=∆MDE,

AD=DE

・•・ZMBD三ZkDMEQMS),

：,AB=DM,

VAB-BC，

・•・BC=DM,

ʌMC=BD;

(2)∙.∙∆BAC=/.DAF,

∙*∙Z-BAC-Z-CAD=Z-DAF-Z.CAD,

即：4BAD=乙CAE,

,.AC_AF_r-y

tAB~AD~，

*'•△ABDSAACE,

・・・乙ACE=乙B=90°；

(2)解：①设AC与Z)E交于点F,

图②

ABD=ΔDMEf

∙∙AB=DM,BD=EM,

YAB=BC,

・・.BC=DM,

ʌMC=BD=EM,

・•・Z.MCE=乙MEC=45°,

：.EC=y∣~2ME,

■：CD=C∙ME,

ʌCD=CE,

ʌZ-CDE=乙CED,

∙.∙乙MCE=∆CDE÷∆CED,

・・・∆CDE=乙CED=22.5o,

vZ-ADE=90o,

・•・乙408=67.5o,

vZ.B=90o,

・・.∆BAD=22.50,

在4B上取一点T,使得ZT=07,

・・・乙TAD=∆TDA=22.5°,

・・・Z,BTD=∆TAD+∆TDA=45°,

V乙B=90°,

・•・Z-BDT=乙BTD=45°,

:∙BD=BT,

设8。=BT=m9则DT=AT=√"7m,

・•・m+y∕~2τn=2+2√-2,

：•m=2,

:∙BD=2,

.∙.AD=√BD2+AB2=J22+(2+2√^)2=√16+8y∕~2'

∙.∙4。平分4B4C,

・••Z-BAD=∆DAFf

VZ-B=Z-ADF=90°,

∙*∙ΔABD〜AADFf

ABAD

Λ——=——,

AOAF

2÷2>Γ2√16+8√^

√16+8/7AF

・・・AF=4λΓ2,

o

•・•乙DEN=∆DAF=22.5,DE=AD,乙EDN=Z.ADF=90°,

・•.△EDNwaADF(AS/),

EN=AF=

②当点。在线段BC上时，

・・

一CE=_一3•

NE7

CE3

Λ----=

CN4

由上得，∆MDE=∆BAD=∆CAEf

.tan∆MDE_tan∆CAE_CECN_CE_3

tan∆NACtan∆NACAC*ACCN4

如图，当点。在CB的延长线上时，

同钟口「组tanzMDf_tan∆CAE_CECN_CE_3

可星J侍：~ian∑NAC=tan∑ΛMC=~AC'Tc=CW=10

tan∆MDE

综上所述,

tan∆NAC

【解析】(1)①证明480三ZkOME,进而得出结论；

②证明AABDs△力CE,进而得出结论；

(2)①设AC与DE交于点尸，证明NBaD=22.5°,在4B上取一点7,使得AT=DT,证明8。=BT,

设BD=BT=m,则。T=AT=√^7τ∏.可得m+>J~2m=2+24，推出In=2,再证明△ABD-L

ADF,利用相似三角形的性质求出4尸，再证明EN=AF可得结论；

②证明NMDE=4CAE,进而在Rt△4CN和Rt△/!CE中，表示出tan4CAN和tan4CAE,进而求得

结果.

本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形性质，锐角函数定义，全等三角形判定和性质,

相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是转化线段和角.

25.【答案】解：(1)①设抛物线解析式y=a(x—∕ι)2+∕c,

・抛物线过C(O,