贵州省六盘水市2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测试题数学

六盘水市20232024学年度第一学期期末质量监测高二年级数学试题卷（考试时长：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卷交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．4．若，则的最小值为（）A．2B．3C．4D．55．已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题，英国人口学家马尔萨斯发现“人口的自然增长率在一定时间内是一个常数，人口的变化率和当前人口数量成正比”，并给出了马尔萨斯人口模型，其中为年的人口数，为年的人口数，为常数．已知某地区2000年的人口数为100万，，用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数（单位：万）约为（参考数据：）A．200B．300C．400D．5007．已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，且三棱锥的体积最大值为，则该球的表面积为（）A．B．C．D．8．已知，则正数的大小关系为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．命题“”的否定为“”B．若直线与平行，则C．若向量，则在上的投影向量为D．已知5位同学的数学成绩为：，则这组数据的第60百分位数为9610．已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．B．在区间上有3个零点C．直线是图象的一条对称轴D．若对任意的恒成立，则11．连续投掷一个质地均匀的正方体骰子两次，并记录每次骰子朝上的点数．记事件“第一次朝上的点数为奇数”，事件“两次朝上的点数之和不能被2整除”，则下列结论正确的是（）A．B．事件与事件互斥C．D．事件与事件相互独立12．下列物体中，能被整体放入底面直径和高均为1（单位：）的圆柱容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为的球体B．底面直径为，高为的圆柱体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面边长为，侧棱长为的正三棱锥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量．若，则__________．14．已知，则__________．15．已知等比数列的前项和为，数列的前项和为．若，则__________．16．已知双曲线的焦点为，若双曲线的渐近线上存在点，满足，则双曲线的离心率的取值范围为__________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）记为等差数列的前项和，已知．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18．（本小题满分12分）在中，角的对边分别是，且．（1）求；（2）若的角平分线交于点，且，求的周长．19．（本小题满分12分）．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点．（1）证明：直线平面；（2）若，且，求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）六盘水红心猕猴桃因富含维生素及等多种矿物质和18种氮基酸，被誉为“维之王”．某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质，从该基地随机摘下100个猕猴桃进行测重，其重量分布在区间内（单位：克），根据样本数据作出频率分布直方图如下图所示．（1）用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间的猕猴桃中抽取5个，再从这5个猕猴桃中随机抽取2个，求这2个猕猴桃重量均不小于90克的概率；（2）已知该基地大约还有6000个猕猴桃，该收购商准备收购这批猕猴桃，提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以20元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以10元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以30元每千克收购；请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率）21．（本小题满分12分）已知函数．（1）若是偶函数，求实数的值；（2）当时，，若关于的方程在区间上恰有1个实数解，求的取值范围．22．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为．为椭圆上任意一点，且的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点（均异于），求直线与交点的轨迹方程．六盘水市20232024学年度第一学期期末质量监测高二年级数学参考答案一、选择题123456789101112DADBABCDABCABACDAD二、填空题13．；14．1；15．；16．；三、解答题17．解：（1）依题意可得，在等差数列中，则公差所以（2）由（1）可得，又因为，所以故18．解．（1）在中，，由正弦定理可化简得所以可化简得又在中，，得，即由，得（2）由（1）得，又的角平分线交于点，且可得即即①又在中，得②联立①②解得所以的周长为19．（1）证明：如图，连接交于点，连接．底面四边形为菱形，为的中点在中，为的中点，为的中点又平面平面平面（2）解．如图在直四棱柱中，底面四边形为菱形，，过作底面的垂线，建系如图设菱形的边长为2，又设平面的法向量为，则，解得同理解得平面的法向量为设二面角的平面角为，由图可得为锐角，则所以二面角的余弦值为20．解．（1）由频率分布直方图可得，落在的猕猴桃数量之比为，用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间，的猕猴桃中抽取5个，则在中抽2个，并编号为，在中抽3个，并编号为现从这5个猕猴桃中随机抽取2个，得到样本空间设事件“抽取的2个猕猴桃重量均不小于90克”则所以即这2个猕猴桃重量均不小于90克的概率（2）根据频率分布直方图可得，选择方案一获得收入为选择方案二获得利润为因为，所以选择方案二（注：因为方案二按重量来分类需花费人力、物力、财力等因素，所以学生考虑到方案一在按重量分类上可以节省人力、物力、财力等因素，所以选方案一，最后一步决策上这1分也给．）21．（1）依题意可得，函数为偶函数，则有又所以即解得（2）当时，由易知在上为增函数，且又因为，所以因为在区间上恰有1个实数解，即在区间上恰有1个实数解，令在区间上恰有1个实数解，等价于在区间上恰有1个实数解，即在区间上恰有1个实数解，结合图形易知在单调递减，在单调递增．在区间上的值域为因为在区间上恰有1个实数解，所以或解得或所以或22．（1）依题意可设椭