积分变换与场论

工程数学积分变换(第四版)引言:

所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的变换.Fourier变换Laplace变换第一章傅里叶变换1.1傅里叶积分1.2傅里叶变换1.3傅里叶变换的性质1.4卷积与相关函数1.5傅里叶变换的应用傅里叶生平1、1768年生于法国2、1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”3、拉格朗日反对发表4、1822年首次发表在“热的分析理论”一书中5、1829年狄里赫利第一个给出收敛条件2、非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示

傅里叶的两个最主要的贡献1、周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和1.1傅里叶积分1.1傅里叶积分傅里叶分析的工程意义②各种频率的正弦信号的产生、传输、分离和变换容易工程实现。③正弦量只需三要素即可描述，LTI系统的输入和输出的差别只有两要素，即系统的作用只改变信号的振幅和相位。①是LTI系统的特征函数，响应易求且简单。1、傅里叶分析的基本信号单元1.1傅里叶积分2、适用于广泛的信号

由虚指数或正弦信号的线性组合可以组成工程中各种信号，使得对任意信号作用下的LTI系统进行频域分析成为一件容易的事情。利于滤波、压缩处理。1.1傅里叶积分3、频域分析的优势①任意信号分解成不同频率虚指数（正弦）信号的线性组合，分析LTI系统对这些不同频率单元信号作用的响应特性的过程就是频域分析。②频率分析可以方便求解系统响应。例如相量法。③频域分析的结果具有明显的物理意义，例如抽样定理和无失真传输概念都是频域分析的结果。④可直接在频域内设计可实现的系统，例如滤波器的设计。在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Hz).

一、周期函数的傅里叶级数t最常用的一种周期函数是三角函数

fT(t)=Asin(wt+j)

其中w=2p/T而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数

sinwt和coswt的线性组合

Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近狄利赫利条件1.1傅里叶积分研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利赫利(Dirichlet)条件,即在区间[-T/2,T/2]上1,连续或只有有限个第一类间断点2,只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.第一类间断点和第二类间断点的区别:第二类间断点第一类间断点是在区间(t0，t0+T)(T=2π/ω)上的完备正交函数集。完备正交函数集（1）三角函数集{1，cos(nωt)，sin(nω

t)，n=1,2,…}将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似。1.1傅里叶积分（2）虚指数函数集{ejnωt，n=0，±1，±2，…}将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似。ejnωt＝cos(nωt）+jsin(nωt）e-jnωt＝cos(nωt）-jsin(nωt）是在区间(t0，t0+T)(T=2π/ω)上的完备正交函数集。因为1、傅里叶级数的三角形式设周期信号f(t)，其周期为T，角频率ω=2

/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数

系数an,bn称为傅里叶系数

可见，an

是n的偶函数，bn是n的奇函数。式中，A0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，A0/2为直流分量；

A1cos(ωt+

1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；

A2cos(2ωt+

2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nωt+

n)称为n次谐波。可见An是n的偶函数，

n是n的奇函数。an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,…将上式同频率项合并，可写为2、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。如令wn=nw(n=0,1,2,...)给定fT(t),cn的计算如下:3、三角形式与指数形式的比较三角形式便于电路计算，便于对称性分析③可推出傅里叶变换②代表频谱①表达最简练n=0,±1,±2，…指数形式的优势Ann=0,1,2，…cnn=0,±1,±2，…4、周期函数的频谱及特点傅里叶系数周期信号的傅里叶级数幅度关系n次正弦谐波分量的振幅cnn次指数谐波分量的模相位关系正弦谐波初相指数谐波辐角（1）信号频谱的概念

从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An~ω和

n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|cn|~ω和

n~ω的关系，称为双边谱。若cn为实数，也可直接画cn

。指数形式的频谱图三角函数形式的频谱图例（2）周期信号频谱的特点举例：有一幅度为1，脉冲宽度为

的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）,n=0,±1，±2，…cn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4τ画图。零点为所以，m为整数。特点：(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。(3)主要能量在第一过零点内。主频带宽度为：谱线的结构与波形参数的关系：(a)T一定，

变小，此时ω（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：

1/ω=（2

/

）/(2

/T)=T/

增多。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。

(b)

一定，T增大，间隔ω减小，频谱变密。幅度减小。

二、傅里叶积分

对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T

时转化而来的。

作周期为T的函数fT(t)，使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t)，在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上，则T越大，fT(t)与f(t)相等的范围也越大，这就说明当T

时，周期函数fT(t)便可转化为f(t)，即有Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t){O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w由周期函数傅里叶级数的指数形式可知如图当T→+∞时，有△ωn→0，所以此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式，简称傅氏积分公式。上式为傅里叶积分公式的复指数形式傅氏积分定理

若f(t)在(-,+)上满足条件:1.f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;2.f(t)在无限区间(-,+)