高考数学理北师大版一轮复习测评8-5-3数列建模问题

核心素养测评四十三数列建模问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象,展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心,在阅兵活动的训练工作中,不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备,还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析,有效保证了阅兵活动的顺利进行,假如训练过程中第一天产生的数据量为a,其后每天产生的数据量都是前一天的q(q>1)倍,那么训练n天产生的总数据量为()A.aqn1 B.aqnC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.训练过程中第一天产生的数据量为a,其后每天产生的数据量都是前一天的q(q>1)倍,那么训练n天产生的总数据量为:Sn=a+aq+aq2+…+aqn1=QUOTE.2.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为 ()A.10 B.9 C.8 D.7【解析】选C.设该女子第一天织布x尺,则QUOTE=5,解得x=QUOTE,所以前n天织布的尺数为QUOTE(2n1),由QUOTE(2n1)≥30,得2n≥187,解得n的最小值为8.3.我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为:第一步:构造数列1,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…,QUOTE.①第二步:将数列①的各项乘以QUOTE,得到一个新数列a1,a2,a3,…,an.则a1a2+a2a3+a3a4+…+an1an= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由题意知所得新数列为1×QUOTE,QUOTE×QUOTE,QUOTE×QUOTE,…,QUOTE×QUOTE,所以a1a2+a2a3+a3a4+…+an1an=QUOTEQUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTEQUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTEQUOTE=QUOTE=QUOTE.4.中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言.”题意是:把996斤绵分给8个儿子做盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多分17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是 导学号()A.174斤 B.184斤C.191斤 D.201斤【解析】选B.设8个儿子从大至小分得的绵构成的数列是{an},设大儿子分到的绵是x斤,依题意知8个儿子分到的绵构成以a1=x为首项,d=17为公差的等差数列,记其前n项和为Sn,则有Sn=8x+QUOTE×17=996,即8x+476=996,解得x=65.故第8个儿子分到的绵a8=65+7×17=65+119=184(斤).二、填空题(每小题5分,共20分)5.如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,…,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形,且其最大的正方形的边长为QUOTE,则其最小正方形的边长为________________.

【解析】由题意,得正方形的边长构成以QUOTE为首项,以QUOTE为公比的等比数列,现已知共得到1023个正方形,则有1+2+…+2n1=1023,所以n=10,所以最小正方形的边长为QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________________秒,该病毒占据内存8GB.(1GB=210MB)

【解析】由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an},且a1=2,q=2,所以an=2n,则2n=8×210=213,所以n=13.即病毒共复制了13次,所以所需时间为13×3=39(秒).答案:397.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒________________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.

【解析】设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an,则an=QUOTE,由题意知QUOTE<10%,所以n≥4.答案:48.定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”的个数为________________. 导学号

【解析】由题意可得a1=0,a8=1,a2,a3,…,a7中有3个0,3个1,且满足对任意k≤8,都有a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101,共14个.答案:14三、解答题(每小题10分,共20分)9.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元.该企业2018年年底分红后的资金为1000万元.(1)求该企业2022年年底分红后的资金.(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元.【解析】设an为(2018+n)年年底分红后的资金,其中n∈N*,则a1=2×1000500=1500,a2=2×1500500=2500,…,an=2an1500(n≥2).所以an500=2(an1500)(n≥2),即数列{an500}是首项为a1500=1000,公比为2的等比数列.所以an500=1000×2n1,所以an=1000×2n1+500.(1)a4=1000×241+500=8500,所以该企业2022年年底分红后的资金为8500万元.(2)由an>32500,即2n1>32,得n>6,所以该企业从2025年开始年底分红后的资金超过32500万元.10.科学研究证实,二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响,环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A市2018年的碳排放总量为400万吨,通过技术改造和倡导低碳生活等措施,此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m万吨(m>0). 导学号(1)求A市2020年的碳排放总量(用含m的式子表示).(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围.【解析】设2019年的碳排放总量为a1,2020年的碳排放总量为a2,(1)由已知a1=400×0.9+m,a2=0.9×(400×0.9+m)+m=400×0.92+0.9m+m=324+1.9m.(2)a3=0.9×(400×0.92+0.9m+m)+m=400×0.93+0.92m+0.9m+m,…,an=400×0.9n+0.9n1m+0.9n2m+…+0.9m+m=400×0.9n+mQUOTE=400×0.9n+10m(10.9n)=(40010m)·0.9n+10m.