第2章 自动控制系统分析基础

第2章自动控制系统分析基础2.1控制系统的数学模型2.2传递函数2.1控制系统的数学模型分析控制系统，首先要对它的输入变量和输出变量之间的运动关系进行数学描述，也就是要建立系统的运动数学模型。在动态过程中，反映各变量之间关系的数学表达式是一组微分方程，称为动态数学模型；当变量的各阶导数为零时，这时描述各变量之间关系的数学表达式称为静态数学模型。控制系统或元件的数学模型可以用分析或实验方法来建立。采用分析法时，应从元件或系统的物理规律出发，建立数学模型。例如，建立电气网络的数学模型是基于基尔霍夫定律；建立机械系统的数学模型则是基于牛顿定律。采用实验法时，应对实际系统或元件加入一定形式的输入信号，用求取系统或元件输出响应的方法建立数学模型。数学模型为线性微分方程式的控制系统称为线性系统。当线性微分方程式的系数是常数时，相应的控制系统称为线性定常系统。如果系统中存在非线性特性，则需要用非线性方程来描述，这种系统称为非线性系统。凡是能用微分方程式描述的系统，都是连续系统。如果系统中包含有数字计算机或数字元件，则要用差分方程描述系统，这种系统称为离散系统。

根据系统分析、设计所用的方法不同，或所要解决的问题不同，描述同一系统的数学模型亦有所不同。在经典控制理论中，连续控制系统数学模型的形式有微分方程、传递函数和频率特性函数，另外还有方框图和信号流图。在现代控制理论中，主要采用状态空间表达式作为系统数学模型。本章以线性连续系统为重点，讨论控制系统数学模型的建立和主要研究方法。2.1.1系统微分方程的建立在各种数学模型中，微分方程是最基本的一种数学模型。建立线性系统微分方程的一般步骤如下：(1)确定实际系统的输入量和输出量，再按信号传递顺序，定出各元件或环节的输入量和输出量。(2)按信号传递顺序，根据有关的物理(或化学)基本定律，写出各元件或环节的微分方程式，有时还要考虑元件之间的相互影响，即所谓的负载效应。(3)消去中间变量后，即得到描述系统输入输出之间运动关系的微分方程式。(4)标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。下面举例说明建立微分方程的步骤和方法。图2―1RC无源网络【例2―1】试列写图2―1所示RC无源网络的动态微分方程。给定ur为输入量，uc为输出量。解根据电路理论中的基尔霍夫定律，可写出式中,i为流经电阻R及电容C的电流。消去中间变量i，得到可见，RC无源网络的动态数学模型是一个一阶常系数线性微分方程。令RC＝T，则又可以写成如下形式:【例2―2】设有一弹簧―质量―阻尼器动力系统，如图2―2所示。当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块(质量为m)的位移y(t)之间的微分方程。解在外力F(t)作用下，如果弹簧恢复力和阻尼器阻力与F(t)不能平衡，则质量块将有加速度，并进而使速度和位移发生变化。根据牛顿第二运动定律应有式中,F1(t)为阻尼器阻力，F2(t)为弹簧恢复力。

图2―2弹簧―质量―阻尼器动力系统由弹簧、阻尼器的特性可写出式中,f为阻尼系数，k为弹簧系数。消去中间变量F1(t)和F2(t)，并将方程式标准化，则得到令,则上式可写为如下形式：式中，T称为时间常数，ζ称为阻尼比，K称为放大系数(或称增益)。这就是描述弹簧―质量―阻尼器动力系统的标准微分方程，其诸系数的归化在研究系统性能指标时更具有一般意义。对于线性定常系统来说，其微分方程一般可以写成如下形式：式中,c(t)为系统输出量，r(t)为系统输入量，a0，a1，…，an及b0，b1，…，bm均为由系统结构参数决定的实常数。2.1.2非线性微分方程的线性化线性系统有两个非常重要的性质：(1)可叠加性。即同一个线性系统对若干个输入共同作用时所引起的输出响应，等于各个输入单独作用于系统时的输出响应的叠加。(2)齐次性。即线性系统的输入若变化K倍，则输出响应也变化K倍。因此，对于线性系统可以应用叠加定理，如图2―3所示，这样会给系统分析带来极大的方便。当有几个输入量同时作用于同一个系统时，可以作为单输入单输出系统来处理，分别求出系统在各输入量单独作用时的输出量，然后再叠加，就可以求出总的输出量。但是，实际上所有元件和系统都不同程度地具有非线性特性，求解非线性系统的微分方程也是相当困难的。另外，由于非线性特性有各种不同的类型，所以也没有解析求解的通用方法，因而就提出了线性化问题。如果在工作点附近一个较小的范围内，能够用线性来代替原有的非线性，使原有非线性微分方程式近似为线性微分方程式，这将给理论分析和工程实践都带来很大方便。图2―3线性系统的叠加定理在工作中，控制系统各个变量偏离其平衡工作点的值一般都比较小，因此，对于具有非本质非线性特性的系统，可以采用小偏差线性化的方法求取近似的线性微分方程以代替原来的非线性微分方程。具有间断点、折断点或非单值关系的非线性特性，如饱和特性、死区特性、间隙(滞环)特性、摩擦特性和继电特性等，称为严重非线性特性或本质非线性特性。具有本质非线性特性的系统，只能用非线性理论去处理。非线性微分方程的小偏差线性化，是将一个非线性函数y(t)=f(x)在工作点(x0，y0)处展开成泰勒级数，然后略去二次以上的高次项，得到线性函数，用来代替原来的非线性函数。设非线性函数y=f(x)的平衡工作点是(x0，y0)，将它在平衡工作点邻域展开成泰勒级数表达式为忽略二阶以上的高次项，得式中，y0=f(x0)，K＝f′(x0)，Δx＝x-x0，Δy＝y-y0。上述方程式反映了输入量的增量Δx与输出量的增量Δy之间的关系，称为增量方程。因为控制系统总是在工作点附近进行调节控制，因此人们关心的是稳态值附近的情况，即增量的情况，所以系统的数学模型可用增量形式表示。由于输入输出都是用增量形式表示的，因此Δ符号可以省略，所以原非线性方程式就简化为在非线性方程平衡工作点附近的一个近似线性表达式了。图2―4小偏差线性化的几何意义小偏差线性化的几何含义可用图2―4来说明。由图可见，K＝f′(x0)＝Δy/Δx就是工作点P(x0，y0)处的切线的斜率。而方程(2―1)就是y=f(x)

在点P(x0,y0)处的切线方程。所以，线性化就是在平衡工作点处用线性特性来近似原来的非线性特性。另外还可知，当y=f(x)在平衡工作点处的曲率越小，变量偏离平衡值越小，线性化的精度也就越高。2.1.3微分方程的解

建立了系统的微分方程后，下面进一步分析系统的控制过程。最直接的方法是求解微分

方程，然后逐点绘出输出变量的响应曲线。用拉普拉斯变换(简称拉氏变换)的方法求解线性微分方程，可以把经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又有现成的拉氏变换表可供查找，这样可使方程求解问题大为简化，因而它是一种较为简便的工程数学方法。拉氏变换在有关教科书中已详细论述，本书中不做详细讨论，只是列举了一些结论性内容，以便读者查阅和应用。1.拉氏变换的定义如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域是t＞0，那么拉氏变换就是如下运算式：(2―2)式中的s为复数。一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：(1)在t＜0时，f(t)＝0；(2)在t≥0时的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；在实际工程中，上述条件通常是满足的。式(2―2)中，F(s)称为象函数，f(t)称为原函数。为了表述方便，通常把式(2―2)记作

F(s)=L［f(t)］

如果已知象函数F(s)，可用下式求出原函数:式中,c为实数，并且大于F(s)任意奇点的实数部分。此式称为拉氏变换的反变换。同样，为了表述方便，可以记作

f(t)＝L-1

［F(s)］

为了工程应用方便，常把F(s)和f(t)的对应关系编成表格，即一般所说的拉氏变换表。附录中列出了最常用的几种拉氏变换关系。2.常用的拉氏变换法则(不作证明)1)线性性质拉氏变换也遵从线性函数的叠加定理。也就是说，若f1(t)和f2(t)的拉氏变换分别是F1(s)和F2(s)，a为常数，则有

L［af1(t)+f2(t)］=aF1(s)+F2(s)2)微分定理原函数的导数的拉氏变换为式中,f(0)为f(t)在t＝0时的值。同样，可得f(t)各阶导数的拉氏变换为:如果上列各式中所有的初始值都为零，则各阶导数的拉氏变换为:3)积分定理原函数f(t)积分的拉氏变换为当初始值为零时4)初值定理如果原函数f(t)的拉氏变换为F(s)，并且

存在，则时间函数f(t)的初始值为

5)终值定理如果原函数f(t)的拉氏变换为F(s)，并且sF(s)在s平面的右半平面和虚轴上是解析的，则时间函数f(t)的稳态值可由下式求得：这一定理对于求暂态过程的稳态值是很有用的。但是，当sF(s)的极点的实部为正或等于零时，不能应用终值定理。这一点必须注意。从初值定理和终值定理可知，t→0与s→∞对应，而t→∞与s→0对应，事实上这正是反映了时域与频域(或与复数域)的一种反比关系。6)卷积定理如果时间函数f1(t)和f2(t)都满足条件：当t＜0时，f1(t)＝f2(t)＝0，则f1(t)和f2(t)

的卷积为由于卷积符合交换律，卷积也可写成如果f1(t)和f2(t)是可以进行拉氏变换的，

F1(s)＝L［f1(t)］，F2(s)＝L［f2(t)］，那么f1(t)*f2(t)

的拉氏变换为这称为卷积定理。根据卷积符合交换律得因此即拉氏变换满足乘法交换律。3.应用拉氏变换法解微分方程应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用经典方法求微分方程的全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换法就可省去这一步，因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么只要简单地用复变量s来代替微分方程中的d/dt，用s2代替d2/dt2……就可以十分方便地得到微分方程的拉氏变换式。应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下：(1)对线性微分方程进行拉氏变换，使时域的微分方程变换为复数域s的代数变换方程；方程中的初始值应取系统t=0-时的对应值。(2)求解代数变换方程，得到输出变量在复数域s的象函数表达式。(3)将s域的输出象函数表达式展成部分分式。(4)对部分分式进行拉氏反变换(可查拉氏变换表)，即得微分方程在时域的全解。【例2―3】已知图2―1所示的RC无源网络动态微分方程式为求输入为单位阶跃电压时的拉氏变换和时域的解。设电容C上的初始电压为u0＝uc(0)。解对网络微分方程式进行拉氏变换，得变换方程

TsUc(s)-Tuc(0)＋Uc(s)＝Ur(s)

输入单位阶跃电压为ur＝1(t)，将其拉氏变换式Ur(s)＝1/s代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式为将输出的象函数Uc(s)展成部分分式：(2―3)对等式两边进行拉氏反变换，得

uc(t)=1-e

-t/T

+u0e

-t/T

(2―4)此式表示了RC网络在输入为单位阶跃电压时输出电压uc(t)的变化过程。比较方程(2―3)和(2―4)可见，方程右端的第一项取决于外加的输入作用ur＝1(t)，表示了网络输出响应uc(t)的稳态分量；第二项表示uc(t)的瞬态分量，该分量将随着时间的增长而衰减至零；第三项是与初始值有关的瞬态分量，当初始值u0＝0时，则第三项为零，于是就有

uc(t)=1-e

-t/T

RC网络的阶跃响应uc(t)及其各组成部分的曲线如图2―5所示。图2―5RC网络的阶跃响应曲线2.2传

递

函

数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件和输入信号作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算；微分方程的阶次越高，这种计算越繁杂。因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。当然，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种时域数学模型将会遇到更大的困难，必须借助计算机才能完成大量的运算。在经典控制理论中一直广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，并不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。所以传递函数是—个极其重要的基本概念。2.2.1传递函数的概念及定义在例2―3中，曾用拉氏变换法对RC网络的微分方程进行了求解。如果假定初始值u0＝0，

对其微分方程

进行拉氏变换，则有(Ts+1)Uc(s)=Ur(s)

网络输出的拉氏变换式为令则输出的拉氏变换式可写成

Uc(s)＝G(s)Ur(s)

(2―5)

可见，如果Ur(s)给定，则输出Uc(s)的特性完全由G(s)决定。因此，G(s)反映了系统(网络)自身的动态本质。这很显然，因为G(s)是由微分方程经过拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数t域变换(映射)到复数s域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照G(s)与原微分方程的形式，也可看出二者的联系。我们称G(s)为传递函数，并将其视为另一种数学模型。这是一个复变量函数，是以s为变量的代数方程。对任意元部件或系统，传递函数的具体形式各不相同，但都可看作是在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。图2―6传递函数方框图表示式(2―5)所表达的输入、输出与传递函数三者之间的关系，可以用图2―6所示的方框图形象地表示，输入经G(s)传递到输出。对具体的系统或元部件，只要将其传递函数的表达式写入方框图的方框中，即为该系统或该元部件的传递函数方框图，又称结构图。如上述网络，只需在方框中写入1/(RCs+1)，即表示了RC网络的结构图。根据上述说明，可以对传递函数作如下定义：所谓传递函数，就是线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。已知以c(t)为输出量，r(t)为输入量的线性定常系统的微分方程一般表达式为

(2―6)式中a0，a1，…，an及b0，b1，…，bm均为由系统结构参数决定的实常数。设初始条件为零，对式(2―6)两边进行拉氏变换，得(ans

n+an-1sn-1

+…+a1s+a0)C(s)

=(bms

m+bm-1sm-1

+…+b1s+b0)R(s)

则系统的传递函数为

(2―7)即为系统放大系数。从微分方程看，s＝0相当于所有导数项为零，方程变为静态方程，b0/a0恰好为输出、

输入的静态比值。若令ｓ＝0，则有传递函数是在初始条件为零(称零初始条件)时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义：一是指输入作用是在t＝0以后才作用于系统，因此，系统的输入量及其各阶导数在t＝0-时的值均为零；二是指输入作用加于系统之前，系统是“相对静止”的，因此，系统输出量及其各阶导数在t＝0-时的值也为零。实际的工程控制系统多属此类情况，这时，传递函数一般都可以完全表征线性定常系统的动态性能。根据传递函数的定义，只要求出了系统运动的微分方程表达式，由式(2―7)就可以直接写出系统的传递函数。例如，图2―2所示的弹簧―质量―阻尼器动力系统的微分方程如下:

则其传递函数为必须指出，用传递函数来描述系统动态特性，具有一定的局限性。首先，对于非零初始条件，传递函数便不能完全描述系统的动态特性。因为传递函数只反映零初始条件下输入作用对系统输出的影响，对于非零初始条件的系统，只有同时考虑由非零初始条件对系统输出的影响，才能对系统动态特性有完全的了解。其次，传递函数只是通过系统的输入变量与输出变量之间的关系来描述系统，亦即为系统动态特性的外部描述，而对系统内部其他变量的情况却不完全知道，甚至完全不知道。现代控制理论采用状态空间法描述系统，就可以克服传递函数的这一缺点。尽管如此，传递函数作为经典控制理论的基础，仍是十分重要的数学模型。2.2.2传递函数的基本性质从线性定常系统传递函数的定义式(2―7)可知，传递函数具有以下性质：(1)传递函数是复变量s的有理真分式，而且所有系数均为实数，通常分子多项式的次数m低于(或等于)分母多项式的次数n，即m≤n。这是因为系统一般都具有惯性，且能量又有限的缘故。(2)传递函数只取决于系统和元件的结构与参量，与外作用形式无关。(3)可以将式(2―7)的分子、分母分别进行因式分解，改写成如下所谓的“典型环节”的形式：数学上的每一个因子都对应着物理上的一个环节，我们称之为典型环节。其中：

K

比例环节(或称放大系数、系统增益)1/s

积分环节1/(Ts＋1)

惯性环节或非周期环节1/(T2s2＋2ζTs＋1)

振荡环节

s

微分环节τs＋1

一阶微分环节τ2s2＋2ζτs＋1

二阶微分环节当多项式的各项系数为实数时，分解得到的各个因子只能具有零、实数和共轭复数这三种形式。所以，我们所研究的自动控制系统，都可以看成由这7种典型环节组合而成。各个因子的T、τ与时间量纲相对应，式(2―8)称为时间常数形式。(4)传递函数都有一定的零、极点分布图与之对应。将式(2―8)改写成如下零、极点形式：(2―9)图2―7零、极点分布图式(2―9)中的各个因子的zi、pj分别与式(2―8)中的τi、Ti互为倒数，常数K*称为传递函数的根轨迹增益。系统增益K与K*之间的关系为(5)传递函数的拉氏反变换，即为系统的脉冲响应。所谓脉冲响应，是指系统在单位脉冲函数δ(t)输入下的输出响应。因为单位脉冲的拉氏变换式R(s)＝1，所以

g(t)＝L-1

［C(s)］＝L-1

［G(s)R(s)］＝L-1

［G(s)］

显然，系统的脉冲响应g(t)与系统传递函数G(s)有单值对应关系，故可以用来描述系统的动态特性。

(6)若令s＝jω(即s＝σ＋jω，其中σ＝0)，这是传递函数的一种特殊形式，G(s)|s＝jω＝G(jω)，

称为频率特性。G(jω)是用频率法研究系统动态特性的基础。频率特性也是描述系统动态特性的又一种数学模型，而且频率特性有鲜明的物理意义，这些将在后面讲述频率法时进一步加以介绍。2.2.3结构图等效变换及系统的传递函数求传递函数时，需要对微分方程组(或变换方程组)进行消元，最后仅剩下输入、输出两个变量，因此中间变量的传递过程得不到反映。若采用结构图，它就能形象地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。下面将会看到，利用结构图也便于求取传递函数。所以，结构图在控制理论中应用十分广泛。首先通过例子介绍如何绘制系统的结构图，然后讨论利用结构图求系统传递函数的一般方法。1.结构图的建立建立系统结构图的步骤如下：(1)建立控制系统各元部件的微分方程。(2)对各元部件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元部件的结构图。(3)按系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图连接起来，便得到系统的结构图。

【例2―4】已知随动系统如图1―5所示，要求画出系统的结构图。解在图1―6的系统原理图中，各环节的作用和信号传递很清楚，依次列写出各元部件的微分方程:比较元件

θe＝θr-θc

电位计

ue＝K1θe

放大器

ua＝K2ue

电动机减速器把该微分方程组进行拉氏交换，可得如下拉氏变换方程组：

θe(s)＝θr(s)-θc(s)

Ue(s)＝K1θe(s)

Ua(s)＝K2Ue(s)s(Tms+1)θ(s)＝KmUa(s)各元部件的结构图如图2―8所示。然后将各方框图按信号传递顺序连接起来，可得到图2―9所示的随动系统的结构图。由上述讨论可知，系统结构图实质上是系统原理方框图和数学方程二者的结合。与第1章的系统原理图比较，在结构图上，用记有传递函数的方框取代原理方框图中的元件名称，也就是用传递函数取代了各元部件的具体物理结构。可见，结构图对系统特性进行了全面描述，既描述系统各组成元部件之间信号的传递关系，也表示了系统各变量之间的运算关系。图2―8随动系统各元部件结构图图2―9随动系统的结构图2.结构图的等效变换及梅森公式结构图是从具体系统中抽象出来的数学图形，主要是为了研究系统的运动特性，而不是研究它的具体结构。因此，从尽可能简便地获得系统传递函数这一点出发，我们完全可以对它进行任何需要的变换，当然，这种变换应该是“等效”的。所谓”等效”，就是不论结构图图形如何变化，变化前后有关变量之间的传递函数应保持不变。在实际系统中，任何复杂系统的结构图，都不外乎是由串联、并联和反馈三种基本结构交织组成的。等效变换主要是通过变换加法点和引出点的位置来实现。有时还可以变换方框的位置。下面从结构图的基本结构出发，依据等效原理推导出结构图变换的一般法则。1)串联传递函数分别为G1(s)与G2(s)的元件串联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的乘积。假定有两个传递函数分别为G1(s)和G2(s)的元件串联在一起，如图2―10(a)所示。现欲将两者合并，用一个传递函数G(s)代替，并保持R(s)与C(s)的关系不变，如图2―10(b)所示。图2―10串联结构的等效变换由图2―10(a)可写出

U(s)＝G1(s)R(s)C(s)＝G2(s)U(s)

消去中间变量U(s)，则有

C(s)＝G1(s)G2(s)R(s)

(2―10)

由图2―10(b)，并结合式(2―10)可得

G(s)＝G1(s)G2(s)2)并联传递函数分别为G1(s)与G2(s)的元件并联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的代数和，即

G(s)＝G1(s)±G2(s)

并联连接及其等效结构图如图2―11所示。图2―11并联结构的等效变换由图2―11(a)可写出

C1(s)＝G1(s)R(s)和C2(s)＝G2(s)R(s)C(s)＝C1(s)±C2(s)

消去中间变量C1(s)和C2(s)，得

C(s)＝［G1(s)±G2(s)］R(s)

则有

G(s)＝G1(s)±G2(s)

同样，可将上述结论推广到n个传递函数的并联，其等效传递函数为n个传递函数的代数和。3)反馈连接图2―12(a)为反馈连接的一般形式，其等效变换如图2―12(b)所示。图2―12反馈连接的等效变换由图2―12(a)可写出

C(s)＝G(s)E(s)

E(s)＝R(s)±B(s)

B(s)＝H(s)C(s)

消去中间变量E(s)、B(s)，得

式中分母上的“+”号，对应于负反馈连接；“-”号对应于正反馈连接。若令

(2―11)则称Φ(s)为闭环传递函数。若反馈通道的传递函数H(s)＝1，则系统称为单位反馈系统，此时闭环传递函为对于一般简单系统的结构图，利用上述等效变换法则就可方便地求得系统的总传递函数。例如，以图2―9所示的随动系统的结构图为例。利用传递函数串联的法则，然后利用反馈法则，进一步求得网络总传递函数为结构图简化后如图2―13(a)、(b)所示。图中K=K1K2Km/i。图2―13图2―9的等效变换4)求和点的移动(1)求和点之间的移动。求和点是指信号比较点。图2―14为相邻两个求和点前后移动的等效变换。因为总输出C是R、X1、X2三个信号的代数和，故更换相邻两个求和点的位置，不会影响总的输出与输入之间的关系。变换前总输出信号为

C＝R±X1±X2

变换后总输出信号为

C＝R±X2±X1图2―14相邻求和点的移动(2)求和点顺向(或逆向)移动。求和点的顺向(或逆向)移动主要是指求和点与方框之间交换位置。图2―15为求和点逆信号方向移动的等效结构图。原结构图2―15(a)的信号关系为

C(s)=G(s)R(s)±X(s)

等效变换后图2―15(b)的信号关系为两者完全等效。图2―15求和点逆向移动的等效变换5)引出点的移动(1)引出点之间的移动。若干个引出点相邻，表明将同一个信号输送到不同的地方去。因此，引出点之间相互交换位置，不会改变引出信号的性质，如图2―16所示。图2―16相邻引出点的移动图2―17引出点逆向移动的等效变换(2)引出点顺向(或逆向)移动。引出点的顺向(或逆向)移动主要是指引出点与方框之间交换位置。图2―17给出了引出点逆信号方向移动的等效变换。显然，变换前后二者信号关系完全一致。但是当引出点与求和点之间进行等效交换时，变换后的结构图反而变得更加复杂。所以一般不推荐这种变换。关于求和点顺向移动和引出点顺向移动的等效变换，读者可自行推证。【例2―5】简化图2―18(a)所示系统结构图，并列写系统闭环传递函数Φ(s)＝C(s)/R(s)。

解这是—个多回路系统结构图，且回路有交叉。为了从内回路到外回路逐步简化，首先消除交叉回路。可以采用如下方法简化方框图：①将求和点A、B逆向移动，将引出点C顺向移动，将图简化为图2―18(b)。②在图2―18(b)中对前向通路中G1(s)、G2(s)、G3(s)和G4(s)进行串联变换，进而只剩一个主反馈回路，简化为图2―18(c)。③最后变换为一个方框，如图2―18(d)所示，得系统闭环传递函数为第①步的变换也可采用其他移动的办法，读者可自行试做。图2―18多回路系统结构图的等效变换图2―18多回路系统结构图的等效变换图2―18多回路系统结构图的等效变换图2―18多回路系统结构图的等效变换由上可见，简化结构图及求闭环传递函数的一般步骤可归纳如下：(1)若结构图有交叉连接，则可利用移动规则，首先将交叉回路消除，然后将其简化成无交叉的结构图。可以根据以下原则检查结构图移动前后的等效性：①前向通道传递函数乘积不变：G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)；②各回路传递函数乘积不变，可分别检验如下：回路Ⅰ：G2(s)G3(s)H2(s)

回路Ⅱ：G3(s)G4(s)H3(s)

回路Ⅲ：G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)(2)按照串联、并联、反馈变换的顺序进行化简。(3)对多回路结构图进行化简，直至变换成一个单回路结构图或一个方框图。最后写出系统闭环传递函数。6)梅森(S.J.Mason)公式应用梅森公式，可以不用简化结构图，而直接写出系统传递函数。这里只给出公式，并举例说明其应用。在介绍梅森公式之前，首先定义两个术语。前向通路及前向通路传递函数信号从输入端到输出端传递时，通过每个方框只有一次的通路，称为前向通路。前向通路上所有传递函数的乘积，称为前向通路传递函数。回路及回路传递函数信号传递的起点就是其终点，而且每个方框只通过一次的闭合通路，称为回路。回路上所有传递函数的乘积(并且包含代表回路反馈极性的正、负号)，称为回路传递函数。梅森公式的表达形式为(2―12)式中Δ称为特征式，且

Δ＝1－∑Li＋∑LiLj－∑LiLjLk＋…

∑Li——所有不同回路的回路传递函数之和；∑LiLj——所有两两互不接触回路，其回路传递函数乘积之和；∑LiLjLk——所有三个互不接触回路，其回路传递函数乘积之和；……

Pi——第i条前向通路传递函数；

Δi——在Δ中，将与第i条前向通路相接触的回路有关项去掉后，所剩余的部分称为Δ的余子式。下面举例说明Pi、Δ和Δi的求法及梅森公式的应用。【例2―6】用梅森公式求图2―19所示系统的闭环传递函数。从图2―19可见，系统共有四个回路L1、L2、L3和L4。故有∑Li＝L1+L2+L3+L4＝－G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)H1(s)－G2(s)G3(s)H2(s)＋G4(s)G5(s)H3(s)－G3(s)G4(s)H4(s)图2―19例2―6的系统结构图在以上四个回路中，只有L2与L3为互不接触回路。因此∑LiLj＝L2L3＝－G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)H2(s)H3(s)

而∑LiLjLk=0……故可得特征方程式为

Δ＝

1－∑Li+∑LiLj

＝

1－(L1＋L2＋L3＋L4)＋L2L3

＝

1＋G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)H1(s)