第2章 内积空间1

第二章内积空间主要内容一、欧氏空间与酉空间二、内积空间的度量三、正交变换四、正交子空间与正交投影五、最小二乘问题第一节欧氏空间与酉空间在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运算，而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积正是适应这种要求而引入的。内积空间是3维向量空间的自然推广，故称实内积空间为欧氏空间，称复内积空间为酉空间。

定义在实线性空间V中，若任意两个向量

按某种法则有实数与之对应，记作并满足公理，(2)(3)(4)时等式成立.当且仅当则称实数为向量的内积.定义了内积的实线性空间叫做欧氏空间。一、欧氏空间例1在向量空间Rn，设可以验证满足内积的定义，称之为Rn中的标准内积。例2在向量空间Rn，设定义定义可以验证也是Rn中的内积。说明（1）同一线性空间可定义不同的内积，从而形成不同的欧氏空间。（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。P26例2.1.2A-内积例4

在实线性空间中，对于任意两个n阶矩阵A，B，定义例3

在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，定义利用定积分的性质，可以验证是内积，C[a,b]是欧氏空间，但其维数无限。则是内积，向量空间是欧氏空间。内积的性质对于欧氏空间的向量设为n维欧氏空间V的基，令矩阵A也常常称为度量矩阵（或Gram矩阵），因为许多与向量度量有关的量可以用A来描述。二、度量矩阵及性质则(1)矩阵A为实对称正定矩阵；定理1

设A为n维欧氏空间V的基的度量矩阵，则即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵的双线性函数来计算。（证明详见P26）定理2

设与为n维欧氏空间V的基，它们则的度量矩阵为A和B，C是到的过渡注：即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。（证明详见P27）矩阵，例5设欧氏空间中的内积为（1）求基1，x,x2的度量矩阵；（2）求与的内积。解：设基1，x，x2的度量矩阵为则（2）求与的内积。方法一：利用定义，直接计算方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两个向量的内积。在基1，x，x2的坐标分别为则三、酉空间

定义在复线性空间V中，若任意两个向量

按某种法则有复数与之对应，记作并满足公理，时等式成立当且仅当则称复数为向量的内积。定义了内积的复线性空间叫做酉空间。对于酉空间的向量酉空间内积的性质例7在向量空间Cn，设定义则Cn成为酉空间。说明：在有些教材上酉空间的定义与本教材有所不同，主要是定义中的（3），可采用：这样，在例（7）中的内积为：(3)则(1)矩阵A为Hermite正定矩阵；定理3

设A为n维酉空间V的基的度量矩阵，则定理4设与为n维酉空间V的基，它们矩阵，则的度量矩阵为A和B，C是到的过渡即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。练习P381;2;3第二节内积空间的度量主要内容：一、向量长度及性质二、向量的正交性三、标准正交基与与施密特正交化方法定义向量长度（模或范数）为当时，称为单位向量.称为的规范化单位向量.一、向量长度及性质设V是酉（欧氏）空间，定义的距离为1、向量长度的定义：2、向量长度的性质时等式成立；当且仅当因此Chauchy不等式成立.

引理（Cauchy不等式）设V是酉（欧氏）空间，证明:由于对任意数t，成立即利用一元二次不等式的性质得即即两个向量线性相关时成立.

向量的长度满足(在欧氏空间中证明)说明：等号仅当这就是著名的Schwarz不等式。结合不同的欧氏空间，可得Cauchy不等式的具体实例，如（1）（2）两端开平方即得：

设是内积空间的任意两个向量，则证明由内积的性质及Cauchy不等式得(在欧氏空间中）推论1（三角不等式）正因为Cauchy不等式成立，因此可定义两个向量的夹角.

若则称向量是正交向量。设是欧氏空间的任意两个非0向量，定义的夹角为二、向量的正交性1、向量的夹角若则称向量是正交向量。设是酉空间的任意两个非0向量，定义的夹角为（2）酉（欧氏空间）中的勾股定理：故证明由于是正交的，即设是欧氏空间的任意两个正交向量，则有说明（1）零向量与任意向量都正交；成立例3

欧氏空间的三角函数组是正交的事实上，可以验证对于上述不同的三角函数则称是正交向量组。酉空间中非零向量组如果两两正交，说明：勾股定理可以推广到正交向量组上去，即：若是正交向量组，则有2、正交向量组定理故

两两正交的非零向量组线性无关.证明设是两两正交的非零向量组是一组数，使线性无关.

从而则又说明：在n维内积空间中，两两正交的非零向量不能超过n个.

用与上式两端做内积得：例1在R4中求与都正交的单位向量.解：设所求向量为则即此方程组的基础解系为单位化得为所求的向量三、标准正交基与与施密特正交化方法称为标准正交基。在n维内积空间中，若基满足例R3的标准正交基1、标准正交基及性质则有：性质：设为n维酉（欧氏空间）的标准正交基，向量设对于任意（3）若也是V的标准正交基，C是到的过渡矩阵，则容易证明：一组基为标准正交基的充分必要条件是它的度量矩阵为单位矩阵。见P31定理2.3.2例2

求在基下的坐标.解设在基底下坐标为2、施密特正交化方法(Schmidt)

则是正交向量组.并且与等价.设是内积空间V中的一个线性无关向量组。令例3解先正交化把的基化成标准正交基.单位化得一组标准正交基自学P30例2.2.2练习P395;7补充线性变换

在许多数学问题和实际问题中起着重要作用的是线性空间到线性空间的映射，并且这些映射有一个共同点，即保持加法与数乘两种运算，我们称这样的映射为线性映射．本章讨论线性空间到线性空间的线性映射，着重讨论线性空间到自身的线性映射—线性变换，并建立它们和矩阵之间的联系

．第三节

正交变换与酉变换

在内积空间中有一种特殊的线性变换，它保持向量的内积不变，这种变换称为酉（正交）变换．2.3.1正交矩阵与正交变换仅证明列向量组为正交单位向量组设则例

在里,把每一向量逆时针旋转一个角

的的一个正交变换.线性变换是

例对于每一向量,令

关于x0y面的镜面反射与它对应.是的一个正交变换.2.4.2酉矩阵与酉变换定义设是一个单位向量，令则称H是一个Householder矩阵或Householder变换.性质设H是一个Householder矩阵，则Householder变换是酉变换.（1）H是Hermite矩阵，；（2）H是酉矩阵，；（3）H是对合矩阵，；（4）H是自逆矩阵（5）diag(I,H)也是一个Householder矩阵;（6）若则detH=-1.定义2：是欧氏空间V中的两个子空间，如果对恒有则称子空间为正交的,记作对给定向量定义1：则称向量与子空间正交，记作两两正交的子空间的和必是直和．第四节正交投影例1设则分析：根据子空间正交的定义，即证：证明（1）则存在使则因此即在（1）中以AH代替A即得（2）。定义3设W是欧氏空间V的子空间，记定理1

设W是欧氏空间V的一个有限维子空间，那么因而V的每一个向量ξ可以唯一写成这里设令证明当W={0}时，定理显然成立，这时设由于W的维数有限，因而可以取到W的一个规范正交基那么而由于是W的基，所以ζ与W正交，这就证明了即剩下来只要证明这个和是直和。这是显然的，那么从而定理被证明。因为如果练习见P33例2.4.1注：分解是唯一的，即，若存在V的子空间U满足U与W垂直，且V=U+W，则U就是W的正交补.定义4：设W是欧氏空间V的有限维非平凡子空间，为V到W的正交投影变换。注：可以证明，正交投影变换是线性变换。(证明见P34定理2.4.2)几何解释P34图2.4.1证明由于

所以定理2设W是欧氏空间V的一个有限维子空间，是V的任意向量，是在W上的正交投影，那么对于W中任意向量，都有由勾股定理正交投影的求法*（选讲）P34定理2.4.4证明见P35定理设P是n阶方阵，则P是正交投影矩阵的充分必要条件是P是幂等的Hermite矩阵，即P2=P,PH=P.(P36)正交投影矩阵的求法：设为W的基，令则特别地，当W的基为标准正交基时，即从而（详见P35）正交投影矩阵中正交投影变换在自然基下的表示矩阵称为正交投影矩阵.解将x1,x2正交化、单位化得例2设x1=(0,1,1)T，x2=(1,2,0)T,W=L(x1,x2)，求从R3到W的正交投影矩阵P，并求y=(1,2,3)T在W上的投影。练习P399;10第五节最小二乘问题1、问题的提出实系数线性方程组（1）即任意都可能使（2）不等于零．可能无解，设法找实数组使（2）最小,

这样的为方程组（1）的最小二乘解，此问题叫最小二乘法问题.2、最小二乘法的表示设（3）用距离的概念，（2）就是由（3）,

设则中其它向量的距离都短.中向量使到它的距离比到等价于找子空间要找使（2）最小，设这等价于这样（4）等价于必有或这就是最小二乘解所满足的代数方程.由定理2.4.3可知即（4）例试求下列已知数据点之最小平方拋物线

解

令最小平方拋物线方程式为y=a+bx+cx2，将已知点依序代入上式，可得(1,7),(2,2),(3,1),(4,3)求最小平方解，其系数矩阵A及常数向量y分为计算可得最小平方解y=15.25–10.05x+1.75x2最小平方拋物线为因此，a=15.25,b=-10.05,c=1.75xyo(3,1)(4,3)(2,2)(1,7)2.1

线性变换的概念

显然，线性映射就是保持线性运算的映射，他不要求是双射，而线性变换是线性空间到自身的线性映射．

2.1.1线性变换的定义2.1.2线性变换的性质