辽宁省沈阳市2022-2023学年高一年级上册期末数学试题（含解析）

2023年沈阳市高中一年级教学质量监测

数学

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.设集合'={0」，2,3,4},则AB=（）

A.{1}B.{0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合间的交集运算求解.

【详解】由题意可得：AB={0,l}.

故选：B.

2.设XGR,则“炉<1”是“2工<1”的C

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】分别解不等式f<1和丁<1，根据小范围推大范围，分析判断即可.

详解】若/<1，解得即解集;

若2、<1=2°，注意到>=2"在定义域内单调递增，解得x<0；

故"―1<X<1”是“x<0”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3.已知a=（2,l）,6=（x,l）,且a+b与2a-b平行，贝也等于（）

A.10B.-10C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】先求出向量a+b与2a-6的坐标，然后利用向量共线坐标公式计算即可.

【详解】因为〃=（2,1）,b=（尤,1）,所以a+6=（2+尤,2）,2a—6=（4—x,l）,

若a+b与2a-b平行，则（2+x）xl=2x（4—x）,得尤=2.

故选：C.

4.从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（）

1111

A.-B.-C.—D.-

6432

【答案】D

【解析】

【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.

【详解】有三件正品（用1,2,3表示）和一件次品（用0表示）的产品中任取两件的样本空间

Q=｛（0,1）,（0,2）,（0,3）,（1,2）,（1,3）,（2,3）｝,恰有一件次品A=｛（0,1）,（0,2）,（0,3）｝,

由古典概型得P（A）=%=2=5，

故选：D.

5.已知函数y=/（x+l）的定义域为[1,2],则函数y=/（2x—l）的定义域为（）

~1-|「3

A.—,1B.—,2C.[-1,1]D.[3,5]

【答案】B

【解析】

【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.

【详解】•函数y=/（x+l）的定义域为[L2],即1WXW2,可得2WX+1W3,

.♦.函数丁=/（"的定义域为[2,3],

3

令2<2x—1<3,解得一

2

-3-

故函数y=/（2x—1）的定义域为-,2.

故选：B.

6.设P是二ABC所在平面内的一点，BC+2BA=3BP>贝I（）

A.2PA+PC=0B.PA+2PC=0C.2PA-PC=0D.PA-2PC=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的减法运算求解.

,uunULT、,uiruur、uir

【详解】由3C+2A4=33P，贝“PC—尸3)+2(9一尸3)=—3尸3,

整理得2PA+PC=O.

故选：A.

7.已知幕函数/(x)=J(ae&的图象经过点g,4,且〃a+l)</(3),则"的取值范围为()

A.(-00,2)B,(2,+00)

C.(7,-4)。(2,+8)D.«2)

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据已知条件求出了(幻的解析式，再根据/(*)的单调性和奇偶性求解即可.

【详解】由题意可知，/(1)=(1r=4,解得，«=-2,

故/。)=无一2,易知，/(无)为偶函数且在(0,+co)上单调递减，

又因为/(。+1)</(3),

所以|。+1|>3,解得，。<-4或a>2.

故a的取值范围为(-oo,-4)D(2,+8),

故选：C.

8.设函数/(x)=Lg(x)=at2+Z?x(a,Z?eR,a<0),若y=/(X)的图象与y=g(x)的图象有且仅有

三个不同的公共点A(%，x),3(*2，%)，。(毛，为)，为<々<%3，则下列判断正确的是()

A.xl+x2<0B.x2+x3<0C.y1+y2<0D.%+为<0

【答案】C

【解析】

【分析】结合图象可判断BD,将方程可化为±=以+匕，根据不等式性质可判断A,然后可判断C.

X

【详解】如图，在同个坐标系中画出函数〃x)=Lg(x)=ax-+bx(a,b^R,a<0),

由题意得一=依2+区的三个解满足％]<0<%2<%3，故BD错误;

方程可化为二=改+6，

X

i

^=axl+b

I1

则有彳；，且由〃<0,得a%i+b>i%2+b，所以即片一¥二（石+弓）（石一%2）<0,

ax2+b

11X+x

所以为+2。，％+为=7+兀=之9:"A错误,C正确.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方

图，其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],低于60视为不合

B.a=0.015

C.不合格的产品数为100件D.产品长度的平均值约为70.5

【答案】ABD

【解析】

【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1、频数及平均数公式计算即可.

【详解】对于A项，因为频率分布直方图中［70,80）的矩形的高度最高，所以长度在［70,80）的产品数最多,

故A项正确；

对于B项，由0.01*10+10。+0.02*10+0.03*10+10。+0.01*10=1得。=0.015,故B项正确；

对于C项，因为4000x（0.01x10+0.015XI。）=10。。，所以不合格产品数为1000件，故C项错误；

对于D项，x=45x0.10+55x0.15+65x0.20+75x0.30+85x0.15+95x0.10=70.5,故D项正确.

故选：ABD.

10.设集合A={-3,x+2,d—4耳，且5eA,则x的值可以为（）

A.3B.-1C.5D.-3

【答案】BC

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.

【详解】•••5eA,则有：

若x+2=5,则x=3,此时7―4%=9—12=—3,不符合题意，故舍去；

若了2一4%=5，则1=-1或%=5,

当x=—1时，A={-3,1,5},符合题意；

当x=5时,A={-3,7,5},符合题意；

综上所述：1=-1或x=5.

故选：BC.

11.已知函数/（%）=尤2—1,g（x）=-x2+l,则下列选项中正确的有（）

A.“X）的图象关于原点对称B.g（x）的图象关于y轴对称

C.八%）与g（x）的图象关于x轴对称D."力与g（x）的图象关于原点对称

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据对称性的定义逐项分析判断.

【详解】对A：无）=（—尤）2—1=无2_1=/（无），故〃龙）为偶函数，图象关于y轴对称，

例如"0）=—1，不满足/（r）=—"X），故”X）的图象不关于原点对称，A错误;

对B：：g(—%)=—(—x『+l=f2+i=g(x),故g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，B正确；

对C：/(x)=x2-l=-(-x2+l)=-^(x),故/(%)与g(x)的图象关于x轴对称，C正确；

对D：/(-x)=x2-l=-(-x2+l)=----(-x)2+l=—g(—x),故/(%)与g(x)的图象关于原点对称,

D正确；

故选：BCD.

12.若关于龙的方程="的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数上可以为()

x—尤x

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】ABD

【解析】

【分析】将方程变形为V—4%+1—左=0(XHO,且xwl)分别讨论x=0,x=l,A=0的情况即可

求解，或者根据函数图象的交点情况进行求解.

【详解】法一：显然xwO,且xwl,原方程变形得2x+左=(%—1广，即炉―4尤+1—左=0，

若x=0,此时％=1,方程的解集为{4},

若％=1,此时左=—2,方程的解集为{3},

若A=0,此时左=—3,方程的解集为{2}.

法二：原方程等价于左=12—4x+l(xw0,1),

在平面直角坐标系中做出函数丁=——41+0,1)的图象如图，

当x=0,y=l,当x=l,y=-2,当x=2,y=-3

此图象和直线y=左的交点只有一个，所以满足条件的实数人可以为-3,-2,L

故选：ABD

y

「

-1O|\123AX

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学

生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一

年级应抽取的人数是.

【答案】15

【解析】

【分析】根据分层抽样原则直接计算即可

【详解】由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽自-x600=15人.

2000

故答案为：15

41

14.已知实数〃力满足3〃+—=1,若对于Va,beR+f-+3b＞m恒成立,则实数m的取值范围是

ba

【答案】（f,27）

【解析】

【分析】利用基本不等式“1”的代换求4+3"最小值，结合已知不等式恒成立求参数范围即可.

a

【详解】由3。+巧=1得：［工+3匕］（3。+3=3+4~+9"+12215+2^^=27,

b八bJab

41

当且仅当一二9H?,即。=一，人二6时等号成立，

ab9

所以工+3。的最小值为27,

a

又加＜工+3。恒成立，故加＜27.

a

故答案为：（3,27）

15.己知函数/（九）同时满足下列两个条件：①/（0）/（2）<0,②”力无零点.写出一个符合题意的函

数/（%）=.（结果不能写成分段函数的形式）

【答案】工（答案不唯一）

【解析】

【分析】写出满足两个条件的一个函数即可.

【详解】函数/（x）=L同时满足下列两个条件：

x-1

①"0）/（2）=力六=-1<0，

②一无零点.

X-1

故答案为：（答案不唯一）.

x-1

16.若Ina,ln〃是方程2%2+4x+l=0的两个根，则（inaj+^42+〃匕=.

【答案】―7—

e22

【解析】

?1

【分析】把Ina代入方程2%2+4x+l=0,化简得（In。）+ln^2=--,再利用两根之和及对数运算得

ab=g,即可求解.

e

【详解】由ln〃是方程2/+41+1=0的根，则2（ln〃『+41na+l=0,

1?C]

所以（Ina）9+21n^=--,即（in。）+lntz2,

又由Ina,InZ?是方程2*+4x+l=0的两个根，

所以lna+lnZ?=—2,即ln（aZ?）=—2,所以〃人二©一、二，

211

所以（in〃）+In/+cib——~H——.

故答案为：—

e22

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)解关于尤的方程：—-------=-------—；

x+1x+2x+3x+4

(2)求关于x不等式(a+l)x+aw。的解集.

【答案】(1)(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)方法一：化分式为整式解分式方程；方法二：整理得

(2x+5)-~J——~上一^-7-=0,分析求解；

'7(x+l)(x+4)(x+2)(x+3)

(2)分类讨论两根的大小关系解一元二次不等式.

【详解】(D(方法一)方程两边同乘(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)得

(x+2)(x+3)(x+4)—(x+l)(x+3)(x+4)=(x+l)(x+2)(x+4)—(x+l)(x+2)(x+3),

即(x+3)(x+4)=(x+l)(x+2),所以7x+12=3x+2,

解得x=—则解集为｛一

(方法二)原方程可化为'+—L='+=-,

x+1x+4x+2x+3

2%+5_2%+5

即(x+l)(x+4)(x+2)(x+3)?

即(2%+5)-------r-7----72----r=0,

|_(x+l)(x+4)(x+2)(x+3)

因为1___________1=(x+2)(x+3)-(x+l)(x+4)=_________2_________主°

(x+l)(x+4)(x+2)(x+3)(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)，

所以2x+5=0,解得x=—：，则解集为

(2)原不等式可化为(x—l)(x—a)W0,

令(x—l)(x—a)=0,解得x=l或x=a,

当a=l时，解集为｛1｝；

当a<1时，解集为｛x|aWxWl｝；

当a>l时，解集为｛x|14尤W。｝.

18.已知函数/（x）=x+d-5（%>0）.

（1）证明：函数/（X）在（2,+8）上单调递增；

（2）讨论关于x的方程|〃%）|=女传eR）的实数解的个数（直接写出结论即可）.

【答案】（1）证明见解析

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据单调性的定义分析证明；

（2）原题意等价于函数y=|/（九）|与常函数丁=人的交点个数，作出函数y=|/（无）|的图象，数形结合处

理问题.

小问1详解】

任取e（O,4w）,

则/（%）―/（々）=x[+—-5-x2+--5=（龙|-、）（/*2—4）,

X

、X\J\27

令A；,%£（2,+00）,且玉<冗2，

则玉一元2<0,玉％2>4>0,x[x2-4>0,

所以/（%）—/（%）<0，即/（七）</（%），

故函数/（X）在（2,+8）上单调递增.

【小问2详解】

关于X的方程|〃刈=左（左eR）的实数解的个数，等价于函数y=|/（x）|与常函数y=k的交点个数，

由⑴可得：/&）-”々）="-%）%2-4）,

%元2

令玉,々e（0,2）,且看<%2，

则万一/<0,0<xxx2<4,xxx2-4<0,

所以/(七)一/(%)>°，即/(%)>/(%),

故函数/(%)在(0,2)上单调递减，

结合(1)可得：函数/(同在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，故/⑺2/(2)=—1,

4

令----5>0,且X>0,整理得%之一5%+4>0，解得4或0v九vl,

x

故函数/(%)的图象如图所示：

可得函数y=|/(%)|的图象如图所示:

对于函数y=|f(x)|与常函数y=k的交点个数，

则有：当左<0时，交点个数为0个；

当k=0或左>1时，交点个数为2个；

当％=1时，交点个数为3个；

当0<女<1时，交点个数为4个.

19.新能源汽车具有节约燃油能源、减少废气排放、有效保护环境等优点.据统计，截至2022年9月底，我国

新能源汽车保有量为1149万辆，占汽车总保有量的3.65%.小杨哥准备以9万元的价格买一辆新能源汽车作

为出租车(不作它用)，根据市场调查，此汽车使用H(«eN*,n<8)年的总支出为(0.251+0.25")万元，

每年的收入为5.25万元.

(1)此汽车从第几年起开始实现盈利？

(2)此汽车使用多少年报废最合算？

(①利润=收入-支出；②出租车最合算的报废年限一般指使年平均利润最大时的使用年数)

【答案】(1)第3年起开始盈利

(2)使用6年报废最合算

【解析】

【分析】⑴表达出，=-0.25(“2—20"+36),HeN*,l<H<8,由—0.25(/—20"+36)>0,解出答

案；

(2)设汽车使用〃年的年平均利润为z万元，表达出z=-025、+7-20)利用基本不等式求出最值，得

到此汽车使用6年报废最合算.

【小问1详解】

设此汽车使用〃年的总利润为y万元，

则y=5.25〃一(0.254+0.25〃)-9=-0.25M2+5n—9=-0.25(川一20"+36),neN*,l<H<8,

由y>0得，-0.25(〃2一20"+36)>0,

解得2<〃<18,

所以从第3年起开始盈利；

【小问2详解】

设此汽车使用〃年的年平均利润为z万元，

…-0.25(/_20"+36)cc/36、八

则z=------------------=-025n+---20

n\n)

因由基本不等式得：«+—>2.L—=12,

〃丫〃

所以z=-0.251+史-2o]w-O.25x(12-20)=2,当且仅当羽=〃，即〃=6时取等号，

\n_)n

答：所以此汽车使用6年报废最合算.

20.在一ABC中，CA=a，CB=b，D为AB的中点，点E为线段CD上一点，且ED=2EC,AE延

长线与交于点尸.

(1)用向量。与b表示4E；

（2）用向量。与。表示A/7.

【答案】（1）—ci-\—b

66

（2）—QH—b

5

【解析】

【分析】（1）利用向量的加减法则及数乘向量运算求解即可；

51―ULUUUUI

（2）根据E,F,A三点共线，得人尸=——+—再设b二〃CB,得到Ab=—a+通过平面向

66

量基本定理求出X,4,即可求出向量AF.

【小问1详解】

UUL111

由CA=a，CB=b，D为AB的中点，得CD=—a+—b,

一1一1・1---一5-1-

又由ED=2EC,得CE=—CD=—a+—b,所以=—G4=——a+-b.

36666

【小问2详解】

设AF=XAE，则AF=—+:4人，①

66

uuuLUII

设CF=〃CB,则A/=CF—C4=—a+〃Z?……②

因为a，匕不共线，由①②得|6，解得<所以AF=—a+!).

-2=//

〔6尸

21.足球号称世界第一大体育运动，2022卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕.主办方为了调查球迷对本次世界杯

的满意度，从来自本地（A地区）和外地（3地区）的球迷中，分别随机调查了20名球迷，得到他们对本

力地区8地区

459

52357

届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示：86426147

88664372346

98652181233

75529135

（1）设只表示A地区20名球迷满意度的方差，片表示B地区20名球迷满意度的方差，则只s；；（用

“<”或“>”填空，不要求写出计算过程）;

（2）计算B地区的85%分位数；

（3）根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级:

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分

满意度等级1级（不满意）2级（满意）3级（非常满意）

从A地区和8地区分别随机抽取1名球迷，记事件C：“A地区球迷的满意度等级高于B地区球迷的满意

度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求。的概率.

【答案】（1）<

（2）87

（3）—

25

【解析】

【分析】（1）根据样本数据的集中程度可得出京、的大小关系；

（2）利用百分位数的定义可计算出8地区85%分位数；

（3）设事件40=1,2,3）分别表示抽取A地区1名球迷的满意度为i级，则4、4、4两两互斥，设事件

4（/=1,2,3）分别表示抽取8地区1名球迷的满意度为/级，则见、B2、员两两互斥，可得

c=A3B2+A4+,利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得尸（C）的值.

【小问1详解】

解：因为A地区的数据更集中，则A地区的方差越小，则

【小问2详解】

解：设B地区的20个数据由小到大依次为4、打、L、瓯，

由20x0.85=17,得85%分位数等于%十%=生土里=87.

22

【小问3详解】

解：设事件4«=1,2,3）分别表示抽取A地区1名球迷的满意度为i级，则4、4、4两两互斥，

设事件与（/=1,2,3）分别表示抽取3地区1名球迷的满意度为/级，则与、与、鸟两两互斥，

131

且有aG=1,2,3）与鸟0=1,2,3）相互独立,由题意得P（A）=丁P（4）=丁尸（4）=丁

o73

p(4)=/p⑻二,m)=-,

又有c=4与++4片，且人为、4片、4片互斥，

故尸(c)=P(A3B2+A4+44)=尸(&与)+P(A3B1)+P(A2B1)

=P(A,)P闯+P(A)P⑻+P(4)P⑶=(x|+(x蒋+|x枭

22.指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当a>l时，指数函数丁=优在区间［0,4上的平均

变化率随t的增大而增大.

已知实数a,b,满足a%〃+log,*=0.

(1)比较次;+1和a+Z?的大小；

(2)当。=2时，比较丁和工的大小；

b

(3)当a=2时，判断(2万+1—q)(3〃—2)的符号.

【答案】⑴ab+\<a+b

⑵2b=-

b

(3)(2H1-新)(3〃-2)<0

【解析】

【分析】(1)分析可得a%〃>0，log.6<0=log",结合对数函数单调性分析运算，注意讨论。和

Q>1；

x

⑵方法一：利用反证法证明；方法二：构建函数p(x)=2z2+iog2x,q(x\=2--,结合单调性分

X

析运算；方法三：构建/(x)=xlog2%,结合单调性分析运算；

(3)构建g(x)=2"-工，结合单调性分析可得2>6再根据题意结论分析可得匕〉避二1,即可得结

''x32

果.

【小问1详解】

由题意得：a>Q,b>0,则a%">0，

所以10ga6<0=10gal,

当。时，则在定义域内单调递减，解得匕〉1,

所以(a—1)(〃—1)<0；

当时，则y=1。乩%在定义域内单调递增，解得0<》<1,

所以(a—1)(〃—1)<0；

综上所述：(a—1)(〃—1)<0,

即一a—Z?+lv0,所以〃/?+1<a+Z?.

【小问2详解】

当a=2时，贝U2'/+log2匕=0,

(方法一)①假设外>,，则b>log,'=—log,b,即b+log,6〉0,

bb

由2">,，且">0,所以2%2>L/=b,则m/+iog/A^+bg",

bb

所以"/+匕8之万〉。，与已知矛盾，故假设不成立；

②假设2"〈,，则bvlogz'u—logzb，即b+log2b<0,

bb

由2&<,，且">0,所以2%2<!”2=人，贝|2%2+iog°/,<6+iog,z，,

bb

同理可得2，/+log2匕<0,与已知矛盾，假设不成立；

③当2"=,，则6=2"，

b

hb

可得2b~+log"='x〃+lOg22=b-b=O,符合题意；

b

由①②③可得：2b=-.

b

A2

(方法二)iS^(x)=2x+log2x,则6是夕(x)的零点，

对\/%,兀2e(0,+8)，且占<%2，

：>=2工，y=x2,y=log2X在(0,+。)单调递增，贝ij0<2通<2*,0<x；<x；,log2石<log29，

可得2*x；<2*君,2*x；+log2xl<2*尤;+log2x2,

即/?(%;)</?(X2),故p(x)在(0,+8)单调递增,

"(力有唯一的零点6,

设4@)=2工_，，

x

对X/须,％G(0,+°°)，且石<%2，

•.•y=2Zy=—,都在(0,+。)单调递增，贝IJ2国<2电，一」<一工，

X玉元2

可得2为_工<2*

再x2

即4(为)<4(/)，故q(x)在(0,+