2023年高考数学练习压轴题（新高考版）16 数列（选填压轴题） 含解析

专题16数列（选填压轴题）

1.（2022•湖北•黄冈中学高三阶段练习）若实数M满足：对每个满足”,,+∣=d-2的不为常

数的数列存在ZeN”,使得4≥",则〃的最大值为（）

A.-1B.土@C.士@D.2

22

【答案】C

【详解】令4=二ɪ子，贝∣J"τ=#,"=¥（&€“）•

故M≤士封

2

下证：当M=*延时满足条件.

2

①存在42士或，己经成立；

②存在"三叵，则“甘’成立；

③存在144≤二1,贝怙+τ二1^叵，成立.

假设存在4，使得对每个好,上手,设∣0l+l∣=f>0.

+1t

!H∣J∖an+ɪl=∣αn-1-l∣∣α,,-1+1∣>∣∣¾-∣I>-

令”>log*二：石+1,则Ia“+1>7+小,矛盾.

212r72

故总存在4,满足①，②，③其中之一.

故选：C

2.（2022•北京八中高三阶段练习）对于无穷数列｛αj,给出如下三个性质：①4<0；（2）

V%seN*,α,i>a,,+α,;③Vw∈N,WeN*,《什,>%.定义:同时满足性质①和②的数列

｛%｝为"，数列"，同时满足性质①和③的数列｛4｝为"f数列"，则下列说法正确的是（）

A.若4=2〃-3,则｛q,｝为"s数列"

B.若4=（-g），则为"f数列"

C.若｛4｝为"数列"，则｛4｝为Q数歹U”

D.若｛α,,｝为"f数列"，则｛%｝为"s数列"

【答案】A

【详解】若α.=2"-3,则q=2-3=T<0,满足①，

V”,SeN*,απ+j=2(〃+S)-3,an+as=2〃-3+2s-3=2(〃+s)-6,

因为2("+s)-3>2(n+s)-6,所以V〃,SeN”,a,,*,>α,,+a,,满足②，

故A正确；

若a,=(∙~g),则4=(-gj=-ɪ<O>满足①，

若"为奇数，此时卜9<0,存在feN*,且为奇数时，此时满足>0>卜£)，

若〃为偶数，此时则此时不存在feN”,使得,

综上：B选项错误；

设4z,=-2"-l,此时满足α∣=-2-l=-3<0,

也满足V",swN,a”+.,=—2(〃+S)-1,an+cιs—2n—l—25—1=—2(w+.y)-2,

即Vn,s∈N*,an+s>an+as,

但不满足③V”∈N",土∈>%,

因为a,,+,=-2("+f)-l=-2"-2f-l=4j,-2f<%,

综上C选项错误；

不妨设α,,=(-2)",满足q=-2<0,

π

且Vn∈N*,an=(-2),

当篦为奇数时,取f=l,使得％=(-2)"“>外,

当〃为偶数时，取f=2,使得/2=(-2)"*2>4,,

故｛叫为"r数列"，

但此时不满足早〃,5《旷，4"$>4"+4，不妨取〃=l,s=2,

则4=-2,%=4,6=-8t而6+2=-8<-2+4=q+%，

则｛4｝不是"S数列"，D选项错误.

故选：A.

3.(2022•上海市洋泾中学高三开学考试)已知⑺表示大于X的最小整数，例如［3)=4,

f-1.3)=-l,下列命题中正确的是()

①函数/(x)=H)-X的值域是(OJJ;

②若｛q｝是等差数列，则｛[¾)｝也是等差数列；

③若｛%｝是等比数列,则｛[¾)｝也是等比数列；

④若Xe(0,2023),则方程㈤=Q['+χ有2022个解.

A.lφB.2个C.3个D.4个

【答案】D

【详解】当XeZ时，[x)=x+l,/(x)=[x)-x=x+I-x=l,

当x⅛2Z时,令x="+”,n∈Z,a∈(0,1),则[x)="+l,

/(x)=[x)-x=l-fle(0,l),因此/(x)=[x)-X的值域是(0』，

091,1.1是等差数列，但[0.9)=1,[1)=2,[1.1)=2不成等差数列:

0.5,1,2是等比数列，但[0.5)=1,[1)=2,[2)=3不成等比数列；

由前分析可得当XGZ时，/(x)=li

当xeZ,x=n+a,∏∈Z,α∈((),l)时，/(x)=l-α=I-(X-")="+l-x,

所以/(x+l)="x),即"x)=[x)-x是周期为1的函数，

由指数函数的性质，可得函数y=gj'过(U),在(γ>,+∞)上单调递减，

当Xe(0,1)时，/(x)∈(0,l],'>1，去交点：

当x∈(l,2)时，/(x)∈(O,l],O<2J’<1,必有一个交点；

则后面每个周期都有一个交点，

所以Xe((),2023),则方程[力_χ=；由2022个根.①④正确，

故选：D.

4.(2022•河南信阳•高二期末(理))二进制数是用。和1表示的数，它的基数为2,进位

规则是“逢二进一"，借位规则是“借一当二"，二制数(44叼…4)2”€N*)对应的十进制数

kλl

记为恤，即mlc=¾×2÷ax×2^+…+4T×2+ak×2°，其中%=叩ai∈｛θ,l｝(i=1,23...,k),

则在。0，aV，…仆中恰好有2个0的所有二进制数(4//8)2对应的十进制数的总和为()

A.1910B.1990C.12252D.12523

【答案】D

8760

【详解】根据题意得w⅛=l×2+α1×2+α2×2+...+α8×2*因为在%,“，//中恰好

有2个。的有C；=28种可能，即所有符合条件的二进制数GW⅞…％）2的个数为28.

所以所有二进制数（4臼叼…4）2对应的十进制数的和中，爱出现Cj=28次，2'，26...,2,

2°均出现C；=21次,所以满足%,4，见，…％中恰好有2个O的所有二进制数…c%）2对

应的十进制数的和为C；（2,+26+...+2+20）+C；2'=21x255+28x256=12523

故选：D.

5.（2022•安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知数列｛%｝满足c,=l,cπ+lɪɪ,neN",

则q8∈()

1221ɪ22ɪ

A.B.C.D.

3557,34,79,4

【答案】C

［详解］由C"I=^LP,得J-=SIl=J_+q2,“eN*,—-------=√>0,所以

c；，+lCMc“C11.J

I1

--->一，Xc=1>O,

GX---%1

所以数列是递增数列且，1，(1\3

2136

+3+3ς,+c∙π>—+3,

7

所以>3,∈N∖

∖Cn+\√

3

所以，111Y

+++>3x17+1=52,

J18∖cι/

1痂>］.当〃=1,得Q=⅛=1,由0<%≤l得C,,6≤%3,

所以一>52,7T

kC18)C18乙C］十1/

\3(1

.2

则n+3+3c：+c：≤—+3+4cj>

/

35333

同上由累加法得≤÷3×17+4(C1+C2+C3+..∙+C17)<56+4∙C2∙16=64,

∖c∣8>7

171I2

所以一<4,所以不<一<4,则<c<

18

02C1847

故选：C.

6.（2022•江苏南京•高二期末）将等比数列｛4｝按原顺序分成1项，2项，4项，…，2〃”项

的各组，再将公差为2的等差数列｛%｝的各项依次插入各组之间，得到新数列｛ς,｝:4，生,

13

b2,4，a2,b4,由，bfι,b1,a3......新数列｛c,,｝的前n项和为S”.若q=1,c2=2,S3=—,

则S200=()

∕V一∕\3

13841186

-d-JC--d-1D.130出]

72∖2Z372∖2/

【答案】A

【详解】解；由已知得4=1,q=2,b2=c3=S3-c,-c2=^,等比数列出｝的公比＜7=；.

n,,,

令1=1+2+2?++2^=2-l,则”=63,7；=127,7；=255

所以数列｛%｝的前200项中含有数列｛%｝的前7项，含有数列｛"｝的前193项,

故§200=（4+8++九2）+（。1+出+÷⅞）

rC7×6C1

+7x2+------×2=-

23

故选：A.

7.（2022•辽宁•渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,且

满足2sin（a5+2）-3%-5=0,2sin（a20l8+2）-3ο⅛0l8-7=0,则下列结论正确的是（）

A.$2022=2022,%>“2018B.$2022=-2022,且％<“2018

=

ɑ-$2022=-4044,且。5>“2018D∙^W124044,且。5<“2018

【答案】C

【详解】设函数F(X)=2SinX-3x,则F(X)为奇函数,且f'(x)=2cosx-3<0,所以f(χ)在

R上递减，由已知可得2sin(<¾+2)-3(a5+2)=-1,2sin(tz2018+2)-3(α20l8+2)=1,有

/(¾+2)=-1,/(¾018÷2)=l,所以〃%+2)V∕(¾H8+2),且〃％+2)=-∕(¾n8+2),

所以6+2>々2018+2=%>。2018，H∙。5+2=—(%)]8+2)，所以。5+。2018=—4，

⅛2=2022(*m)=IOlI(6+*)=-4044.

故选：C.

8.(2022・全国•高三专题练习)已知数列｛叫满足4=1Me=4-∕("eN*),则()

5577

〃

A.2<IOOqΠ0Λ0∕<—2B.—2<IOOtz1"0Λ0I<3C.3<1OOtz11020<—2D.—2<100[H°Ao'<4

【答案】B

9

【详解】∙∙∙4=1,易得的=:e（0,l）,依次类推可得见«0,1）

311

由题意，«„i=aι

+n4a"J'即二王EZ+匚?

--I-----l=-l----l>一

凡+1an3-a“3'

111111111\11,、、

------------->-,(«>2),

即不「“公工冷，一Z⅛an-∖3

累加可得，T>J("-1),即,>J("+2),("≥2),

a

n3a,l3

3,(n≥2),即GOo<焉,I。。%不<詈<3,

"K

1111_1

-----------~---------<-----

^3^=3\+—,(n>2)

乂-43_CIn3_n+1

77+2

11ɪJ___]_J

11ɪ—∣,(∕ι≥3),

3a

4-a3a23,4La4a334'n3nJ

累加可得，-11÷1÷÷i,(.≥3),

a”JJ

L1l<33+W1+L+，)<33+Uk14+」x941<39,

32399J33(2266)

即:<40,.∙.tzl00>-L,即100⅛o>[;

ɑioo的L

综上：∣<100⅛<3.

故选：B.

9.（2022・全国•高三专题练习）各项都不为0的数列｛%｝的前k项和S*满足2S*=q4+∣,其

2

中q=L数列卜的前〃项和为。若（210恒成立，则彳的最小值为（）

A.8B.9C.10D.20

【答案】D

【详解】数列｛为｝的前左项和SA满足21=w*w

则&N2时，25,.,=¾,l¾,则2Sk-2SJM=1ak=akak+l-ak_tak

又数列｛%｝的各项都不为0,则¾+,-¾.1=2

又由2a∣=25,=《电，可得a2=2

则数列｛。“｝的奇数项是以1为首项公差为2的等差数列，¾m,l=l+2（w-l）=2∕n-l

数列｛4｝的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列，¾,,=2+2（∕n-1）=2w

则数列｛%｝的通项公式为

A

则

71(H÷1)

舟卜J前"项和北二小-升出-十叫一外

则数列

又事》10,即』τ4≥10恒成立，则；I≥3+10恒成立

72+1n

又当〃N1,"eN时一+10的最大值为20,则/1220

n

故选：D

10.（2022・全国•高三专题练习）设等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,首项q>0,公差d<0,

若对任意的〃∈N*,总存在ZGN,,使S2J=（2&-1）5..贝4-9"的最小值为（）

A.-74B.-64C.-53D.-43

【答案】C

【详解】由题意得QkT)(；'+""τ)=(2Z-1)5.

则得(2A[)∙2⅞=(2"1电，即ak=Stl,

令〃=2得%=S,,即q+(J)d=2α∣+d①,即得"2=色.

d

因为首项4>0,公差d<0,则得k-2=a<0,IIIU<2.

a

又因为k∈N∙,所以Z=I,代入①得d=W.

当d=-%时，[ɪiak=S“得α∣-(%-1).=naλ-"伽?"

.(〃一1)(〃-2)rr-1∖I1r∖1221_

π即πk=----------------+1,所以Z-9〃=—E-----n+2

222

即"9〃=[(〃-郭]-黎

ZIZJo

因此当"=10或11时.，左-9〃的最小值为-53.

故选：C

11.(2022・浙江・模拟预测)记"={1,2,,100}.对数列{/乂〃€叶)和U的子集T,若T=0,

定义Sr=0;若T={r*2,凡}，定义»=%+4++4•则以下结论正确的是()

A.若{。,,}(〃€1<)满足4,=2〃-1,7={1,2,4,8},则%=15

B.若{叫满足=2”-1,则对任意正整数Z(l≤%≤100),Tu{l,2,∙∙,A},S7∙<“*

C.若{q)(〃wN，)满足勺=3"T,则对任意正整数k(l≤%≤100),T={1,2,,k},Sτ≥alc+l

D.若{4}("eN*)满足4=尸，且CUU,。=",S,NS,,,则&-+&•°22S,,

【答案】D

【详解】因为4=2"-l,T={l,2,4,8},

所以S7∙=q+%+4+4=1+3+7+15=26,A错，

取％=3,T={1,2,3},

则Sr=q+%+4=1+3+5=9,α,=5,所以S7∙>α*,B错，

因为Tα{l,2,∙,A},⅛=3,,-I>0,H∈N∖

I

所以ST≤Cil+ɑ,H----Fak=1+3H1-3*=—(3*-1)<3".

因此，S7∙<αll.+l,C错，

若。是C的子集，则SC+SCCD=Sc+SD≥S„+SD=ISD.

若C是。的子集，则SC+Scryo=Sc+Sc=2Sc≥2SD.

若。不是C的子集，且C不是0的子集.

令E=CCδt7O,F=E>cδuC则Ex0,F≠0,EcF=0.

于是SC=SE+SCCD,SD=SF+SCCo,进而由SCzS0，得SE2S..

设力是E中的最大数，/为F中的最大数，则％≥1,∕*1M≠∕.

,

由(2)知,SE<ak+l,≠⅛3^'=OI≤SF≤SE<ak+t=3*,所以/-1<Z,即∕≤A.

又k≠l,i⅛Z<⅛-l,

从而S-Wq+2++4=1+3++3w

⅞⅛Se≥2Sr+1,所以SC-SCaN2(Sa-SC3)+1,

即S,+Sc”≥2Sz,+l.

所以D对，

故选：D.

12.(2022・全国•高三专题练习)已知数列{%}满足4=α(α>0),I,给出下列

三个结论：①不存在“，使得数列{4}单调递减；②对任意的d不等式4,+2+2。向对

所有的“eN*恒成立；③当α=1时，存在常数C,使得/<2〃+C对所有的“£N*都成立.其

中正确的是()

A,①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】A

【详解】由M+ι4=C+1,q=α(α>O)可得%>。，则α,“∣=①士D-=%+'+2,

M+L4='+2>0,则Vα>0,都有数列｛q｝单调递增，故①正确;

al+

由4+1-4=，+2可得(凡+2-^÷.)-(¾+∣-¾)=y--ɪ="~^"',又数列｛4｝单调递增,

l

WJ¾-¾+∣<θ.

则(*一%+J-(%-%)<°,即4+2+4<2”,,+∣,②正确；

由凡+1="”+—+2可得。“+I-2("+l)=α,,-2〃+工，贝Ija,,-2"=”,ι-2(α-l)+,L,

anan4一|

a3-2×3=a2-2×2÷一,¾-2×2=01-2x1+一，将以上等式相加得

a2aι

-2C〃=q—2C+—l+I—++1-----=—ɪ++----1-,

a∖a2an-∖a2an-∖

又可>0,｛叫单调递增，则〃〃≥q=l,又由%=。〃+:+2可得

aπ+1-3(n+l)=απ-3n+---l<an-3n,

an

111ɪIJl1、

又4一3<0,plljaz,-3n<0,即一>—,贝IJ—++----->-×(~÷-÷+-----7),设

all3〃a2CI“7323n-∖

…1111

/(〃)=—+-+—++-----,

234n-∖

L

^(z7)=-+-+-+-+-+-+-+,=+++,易得F5)≥g("),ΞI"-4W时，

Z\44y∖ooooJZZZ

g(")→+OO,

则∕5)→+∞,—++--->+8,故不存在常数C,使得a“<2〃+C对所有的〃eN*都

a2an-∖

成立，故③错误.

故选：A.

13.(2022•全国•高三专题练习)2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组

成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一"科赫雪花”.它可以这样画，任意

画一个正三角形6,并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形,

并把这"中间一段"擦掉，形成雪花曲线8；重复上述两步，画出更小的三角形.一直重复,

直到无穷,形成雪花曲线，P3,P4,-,Pn,-.

K

设雪花曲线2的边长为4,边数为2,周长为/”，面积为S”，若6=3,则下列说法正确的

是()

O

A."5=*5=9X](∣B.sl≤s3<-sl

->

C.&｝，｛〃｝,4｝,⑸｝均构成等比数列D.Sn=S,-+%

【答案】B

•QJ'=KJ2也=$4"T=3∙4-"=。也=9∙

【详解】据题意知：%=%凯

*产昔,A错误;

S=-×a^∙sin60o=

1214

n-2

I,D错误;

当"≥2时，Sn-Sn.l=b^

ι+3

5,,ɪ51+(52-5l)+(53-52)++(5-s-l)=^^~+^^^∙

nπ9÷÷r

18√327√3<4

I也满足上式，则S,=18√327√3<4

由B=z

5209

所以｛S,｝不构成等比数列，C错误;

由上，&=苧2哈则E≤s<∣%B≡

故选：B.

14.（2022•浙江•赫威斯育才高中模拟预测）已知数列｛4｝中，4=∣,d=2+°e,记N=2κm,

ZO=4。...4o，则（）

A.ZoetNqN名MlN

B.‰

C.Z°w(l^M;N)d∙ZoeEMNj

【答案】B

【详解】解：因为q=∣>2,则片>4,故%>2,依次类推有4>2,

+=b

令4="+：(〃>1),则仿=2,⅛+∣T~n÷7Γ,

%4ι+l

又因为f(x)=x+L在(l,+∞)上递增，故心产像，即IgaM=21g",

X

所以数歹Klgd｝是公比为2的等比数列，

r2

故有Ig5=2"-'Ig2,即bn=2",亦即4=2""+ɪ,

贝也。=9"+品H'+ɪ]……p++)>2，"……2J2-=2*次,

又因为几=卜+另9+引……P+/

……2<T]+…h∏

故选：B.

,1

art+ι=b〃+—

15.(2022•浙江金华三模)已知数列｛叫，也｝满足4=2,4=；,｛：,〃eN*,

⅛ι=a>∙+T-

+b.,

则下列选项错误的是()

a2I

A.­=7B.a50也O<112

b24

C・。50+”50=ɪ∖la50'⅛0D∙1%)-bχ>∣415

【答案】D

11,1ab+1

4+1=bn'i~~4+—-ɪ2n^

【详解】因为；，"€N’所以=-----%=-4—

''b,1ab+1a

+a+笑一n

⅛+l=⅛7^"τ

b.b,,bn

ɪ

所以生=_L=R=L故A正确;

/424

由题意得：%也+ι==aΛ÷2÷~τ~≥2÷2JaA.—二=4,

IanAbn)。也Va也

1

当且仅当《伍t=一不时，取等号；

〃也

所以。也24,即。也吊

22

所以%)∙⅛0=2+。49&9+-J-=×÷%也8+------------H----------------

〃49,9。4也8。49”49

=…=2X49+tz∣Z?1+------FH--------

她α49⅛9

又q=2,⅛,=∣,所以%√⅛>2+2X49=100,¾‰<2+2×49+^-×48=112,故B正确;

ɪɪ(1、

又¾÷∣+2+1=q+〃+_+丁=(4+2)1+F

(b,Ianb,t)

(、2

所以师I+如『=(为+2『1+」J-=(¾+⅛)2^φt

22

所以S,H+2+J.(%+2)[(⅜+⅛l)^25

a

¾÷1⅛+∣”也…A4

所以担QaW=O+%=[8扃，故C正确；

%Ao42

(1、

---

¾+ι⅛+ι=(⅛¾)1+

Ia,hj

22j

所以(/-⅛+1)=(¾-⅛)(l÷rT=(¾-2)2-安

<a典】/

2

Hn(H+「%)(。“也)[(αl-⅛l)_9

4+也向anbn""αl⅛l4

所以原一%|=(伍公>?加ð=15,故D错误.

故选：D.

16.(2022•全国•高三专题练习)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有"数

学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数/(x)=[x],其中团表示不超过X的

最大整数.已知数列｛4｝满足4=2,¾=5,a,,+2+4a,l=5a,,tl,若aRog?一],S”为数列

IOOO

的前〃项和，则［S20J=（）

.tz∕jtzπ+lJ

A.249B.499C.749D.999

【答案】A

【详解】由4+2+4%=5%,得4+2-4+1=4（。同一4）,又4-4=3,所以数列｛。,用一可｝是

以3为首项，4为公比的等比数列,则4+M=3∙4∙τ①;

由4,+2+4q,=5%得，απ+2-4αn+,=aπt,l-4a,l,又见-4α∣=-3,所以数列｛α,l+l-4an｝是常数

歹U，则ɑ“M-4q,=ɑ2-4q=-3②，由①②联立可得=4"+1；

nnn

因为4"<4+l<2×4.所以log?4"<Iog2(4+1)<Iog2(2×4")

即：2n<log,(4,,+l)<2n+l所以4=[log?%+』=口暇(4"+川=2〃，

(ɪ-ɪ)-则[S20d=249.

17.（2022•湖南•雅礼中学高三阶段练习）已知三角形数表:

1

12

124

1248

1248-2k-'

现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列｛%｝,记此数列的前"项和为S”.若

S,,,=2,（r∈Z,WeN*,机>77）,则，"的最小值是.

【答案】95

【详解】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推.

设第〃组的项数为"，贝旷组的项数和为小也，

2

因为“z>77,令当±!>77得〃≥12（"wN∙）

即“出现在第13组之后，第〃组的和为二^=2〃-1,

1-2

〃组总共的和为2°-2")_〃=2向_”_2，

1-2

若Slr,=

则ZH-业Ld项的和应与一2-〃互为相反数，

2

设,〃-业功项总共有2项，则其前4项和为2--1

2

所以2"-l="+2,("N12,Z∈N*)

解得k≥4

当&=4时，n=13,

则，”的最小值为〃?=L13Wx1*4+4=95.

故答案为：95.

18.(2022•浙江•高二期末)已知数列｛4｝满足4=。，对于每一个〃eN*,%,τ，4—，¾,,-∣

构成公差为2的等差数列，4“，火必构成公比为;的等比数列，若V〃eN’，不等式

『-a；-4-4q；0恒成立，则正整数f的最小值为.

【答案】5

【详解】以2=2,〃4〃-1=〃4〃-2+2,牝/»+1=§”4〃-1，〃4”+2=〃4n+1+2,

1205If5、

a4n^2=§a4n-2+豆=%"+2一]=〃4“-2一/J，

「•｛。4”-2-g｝是以。21=-；为首项，公比为1的等比数列，.•.a.51(Iγ^'.

h,'-1~2~2∖9>∣'

1InY9?1)

^=3[2\9)+if

则V"eN*,不等式产-«,；-4f-4a,,=。+a“-4)(r-%)20恒成立，等价于此(％+4)3或

∕≤(¾)min,即f≥g或f≤0,故正整数f的最小值为5.

故答案为：5

19.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=l-tan2x,各项均不相等的数列｛4,,｝满足

|«,|<ɪ（/£N'）,d=/（可），数列｛%｝和也｝的前n项和分别为S“和Tn,给出下列两个命题:

①若%=（一Ξ⅛），则7>2022；

T—2Q22

②存在等差数列｛q｝,使得短----->0成立.关于上述两个命题,

J2022

以上说法正确的是.（填写序号）

【答案】①②

【详解】解：2=∕（q）=l-tan2α,,,

1

时，bll=∖-tan2\-----!—

2022〃I2022

.•・〃=l+tan^-2,仇=l+tan-‰

,Z?=1-tan

202222022220223

22

⅛=1-tan,⅛=l÷tan-tan--------

42022s202252022”

2

山于-当”GN*时,

2022"

2

〉=tan砺F单调递增,

2

故可得白+h=2÷tan----t-a--n--------7>2,

2202220222

22

…=2+tan诋L说>2

22

%2i+⅛22=2+tan2Q222021-tan20222022>，

.-.T2022=hl+h2++⅛2022>2×1011=2022,所以①正确:

由知友2>2022,所以5侬-2022>0,

T—9Q22

要使得蓝----->θ成立，只需$2022>0即可，

»2022

2

所以只需4+a2022>0，即赤j"i

又同<卜不妨取4吟d=-嬴,

限q+2021χ卜念上后，满足脸/吟

4+喙=∕>0，所以存在这样等差数列｛叫，所以②正确•

故答案为：①②.

ti

20.（2022•广东深圳•高三阶段练习）设正整数〃=4∙70+%∙7++¾.1∙7^'+¾∙7,其中

<¾e{(),l,2,3,4,5,6},记0(”)=4+4++αjt,S(n)=<w(l)+<υ(2)++ω(jιι),当4,6时,

S(")=_________（用含〃的代数式表示）.

［答案］?"F7"

2

【详解】5(〃)-5("-1)=3(7〃-6)+3(7〃―5)+。(7〃-4)+。(7"-3)+0(7”-2)

+(y(7n-l)+<y(7n),n..2,

X7n-6=l×70+(n-1)∙7,所以(υ(7"-6)=l+〃-l=〃，

同理，7〃-5=2x70+("-l)∙7,所以<υ(7"-5)=2+zι-l="+I,

7n-l=6×70+(n-l)∙7,所以<y(7〃-l)=6+〃-l=〃+5,

7n=0×7o+n-7，所以。(7〃)=".,

所以S(〃)-S(〃-l)=7〃+15,〃..2,

又S⑴=3⑴+o(2)++ω(7)=22,

"(22+7〃+15)_7"2+37〃

所以S（〃）=

22

7"+37〃

故答案为:

2

21.（2022•全国•高三专题练习）已知有穷数列｛4｝各项均不相等，将｛4｝的项从大到小重

新排序后相应的项数构成新数列｛我｝,称数列｛2｝为数列｛见｝的"序数列".例如数列%,%，

心满足4>«3>«2，则其序数列圾｝为1，3,2.若有穷数列｛dn∖满足4=1,∣⅛+,-⅛∣=（ɪ

（“为正整数），且数列｛4"-J的序数列单调递减，数列｛4,,｝的序数列单调递增，则

di-d2+di-d4+∙∙∙+d202l-d2022=.

【答案】-ɪ（i-ɪ）

【详解】解：的序数列单调递减，；•数列单调递增,

••4"+1-^2n-∖>°，••@〃+1—4"）+-）>。，

而C产<（>"'，•」-d2n∣<∣d2n-d2,J；•d2.-d2,l,l>0,

44

•∙d2n-d2n-∖==，①

｛d2n｝的序数列单调递增，数列｛d2n｝单调递减，

同理可得〃2”+「人”<0,-么=-(；产=亨=②

由①②可得%-4=¥，

----r

.∙.<∕I-⅛+4-⅛+∙∙∙+⅛2∣⅛22=4⅛⅛~,^4⅛

*IM+*+

故答案为：一2(J［F).

22.(2022•全国•高三专题练习)某校建立了一个数学网站，本校师生可以用特别密码登录

网站免费下载学习资源.这个特别密码与如图数表有关.数表构成规律是：第一行数由正整数

从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以

此类推，每年的特别密码是由该年年份及数表中第年份行(如2019年即为第2019行)自

左向右第一个数的个位数字构成的五位数.如：2020年特别密码前四位是2020,第五位是第

2020行自左向右第1个数的个位数字.按此规则，2022年的特别密码是.

12345678∙∙∙

3579Il1315…

81216202428…

2028364452…

【答案】20228

【详解】解：由数表可得，每一行的数都构成等差数列，且第"行的公差是2"τ,

记第〃行第5个数为/5,M,

则f5+1,1