高一数学新教材同步教学讲义 三角恒等变换（原卷版）

三角恒等变换

【题型归纳目录】

题型一：两角和与差的正(余)弦公式

题型二：两角和与差的正切公式

题型三：二倍角公式的简单应用

题型四：给角求值

题型五：给值求值

题型六：给值求角

题型七：利用半角公式化简求值问题

题型八：三角恒等式的证明

题型九：辅助角公式的应用

题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合

题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明

题型十二：三角恒等变换在实际问题中的应用

【知识点梳理】

知识点一：两角和的余弦函数

两角和的余弦公式：

cos(ɑ÷∕7)=cosacosβ-sinasinβCgfi)

知识点诠释：

(1)公式中的a、夕都是任意角；

(2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即COS(a±∕7)≠cosc±cos∕?；

(3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.

(4)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反.

知识点二：两角和与差的正弦函数

两角和正弦函数

sin(a+/?)=sinacosβ+cosasinβSD

在公式S,1+m中用-夕代替就得到：

两角差的正弦函数

sin(a-β)=sin«cosβ-cosasinβSg一⑶

知识点诠释：

(1)公式中的a、〃都是任意角；

(2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(a±/?)≠sin¢z±sin/?；

(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如

Sin(2万一α)=sin2;TCoSa-cos24Sina=OXCoSa-IXSina=-Sina

当α或尸中有一个角是l的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便;

(4)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+/)CoS尸-cos(α+6)Sin/时,

不要将sin(α+⑶和cos(α+p)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：

sin(α+夕)cos/一cos(α+/?)sinβ=sin[(a+尸)一夕]=Sina

这也体现了数学中的整体原则.

(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同

名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异

名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同.

知识点三：两角和与差的正切函数

tantz+tan/?

tan(α+£)=τ

l-tanatanβ

zmtana-tanβ

tan(α-/?)=...................-T1

1+tanatanβ^-β)

知识点诠释:

(1)公式成立的条件是：α≠ɪ+kπ,β≠~÷+/7≠ɪ+»或α-∕≠1+Aτr,其中攵∈Z;

(2)公式的变形：tana+tany0=tan(a÷/7)(1-tanatan∕?)

tana-t3nβ=tan(σ-/7)(1+tanatanβ)

(3)两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式

的重要手段，如1@.+1@“=1@11(2+力)(1-1@11e1加夕)就可以解决诸如(£11125。+13020。+131125。131120。的

求值问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.

(4)公式对分配律不成立，即tan(o±∕)≠tana±tan∕.

知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系

S(x+B

以-S代Sa-β

∙Ca-B

Cα+B

相除I

相除

▼

以-S代S

Ta+。-------------------ATa-B

(I)掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键.

(2)诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况.中若有为]的整数倍的角时，使用

诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开.

2、重视角的变换

三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中

多次出现，必须引起足够的重视.常见的角的变换有：

a=[a+β}-β；a=β-^β-a)；a=(2a-β^)-{a-β)；α=g[(α+P)-(6一ɑ)]等，常见的三角变

换有：切化弦、I=Sin2α+cos?α等.

知识点五：二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sina∙cosa(S2a)

22

cos2a=cosa-sina(C2a)

=2cos2a-l

=1-2sin2a

2tana

tan2a=(&)

1-tan2a

知识点诠释:

(1)公式成立的条件是：在公式S",G.中'角α可以为任意角’但公式石.中'只有当αH3+氏江及

αw(+∙^(ZWZ)时才成立；

(2)倍角公式不仅限于2α是。的二倍形式，其它如4。是勿的二倍、4是4的二倍、3。是细的

242

二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运

CCCLCL

用公式的关键.如：sina=2sin-cos-sin—=2sin-cos^(tt∈Z)

22zr

2、和角公式、倍角公式之间的内在联系

在两角和的三角函数公式S”,，Ce7；“中，当α=y?时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们

的内在联系如下:

Sa-B

以-S代S

Ca-B

相相除

以-S代S

---------------->TLB

知识点六：二倍角公式的逆用及变形

1、公式的逆用

2sin々cose=sin2。；SinaeOSa=LSin2。.

2

Cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a=cos2a・

2tanαC

--------ʒ—=tan2cr.

I-tan`a

2、公式的变形

1±sin2a=(sina±cosa)2；

21+cos2cr.2l-cos2a

降暴公式:cosa=------------,sma=-------------

22

升暴公式:1+cos2ɑ=2COS2α,l-cos2α=2sin2a

知识点三:两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型

求值题、化简题、证明题

1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、

换元等;

2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如

a=(a-β)+β,2a=(a+β)+(a-仍等等,把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的

规律(如互余、互补、和倍关系等等)；

3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.

知识点七:升(降)幕缩(扩)角公式

升幕公式:1+cos20r=2cos2a,I-cos2α=2sin2a

、I+cos2α.I-cos2a

降嘉公式:cos^a=-----2-------,SIrra---------------

22

知识点诠释:

利用二倍角公式的等价变形：1-cosα=2sh√q,l+cosa=2c(√q进行“升、降幕”变换，即由左边

22

的“一次式''化成右边的“二次式”为“升基''变换，逆用上述公式即为“降基”变换.

知识点八：辅助角公式

1、形如asinx+bcosx的三角函数式的变形：

jI0TVcib

αsιnx+OCOSX=VQ~+/?-,sinx+.cosx

l√«2+⅛2√α2÷⅛2

QSinX+⅛cosx=y]a2+b2（sinXCoSφ+cosxsinφ）=∖∣a2+⅛2Sin（X+⑼

,h_h

（其中9角所在象限由α,b的符号确定，0角的值由tan°=—确定，或由sine=/和

Q∖∣a2÷⅛2

COS0=-J="共同确定.）

2、辅助角公式在解题中的应用

通过应用公式asinx+bcosx=∖Ja2+b2sin（x+φ）（或asinx+bcosx=∖∣a2+⅛2cos（σ-φ））,将形如

αsinx+bcos%（α,。不同时为零）收缩为一个三角函数Ja?+从Sin（X+。）（或jɑ?+匕2CoS（α—夕））.这种

恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数

式的化简、求值等.

知识点九：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆）

以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的.

aSinaaI-CoSa

tan—=-----------,tan—=-----------

2l+cosa2Sina

以上两个公式称作半角正切的有理式表示∙

知识点十：积化和差公式

sinacosβ-~^[sin(α—y?)+sin(α+y?)]

cosasin^=-[sin(α+£)-sin(ɑ-£)]

cosacosβ=：lcos(α-77)+cos(α+β)∖

SinaSin∕?=—[cos(α-/?)-cos(a÷/?)]

知识点诠释：

规律h公式右边中括号前的系数都有;.

规律2：中括号中前后两项的角分别为α+/?和α-/7.

规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数.

知识点十一：和差化积公式

C.x+yx-y

SIn龙+siny=2sιn------cos------

22

sin%-sinV=2COS∙Λ-ɔsin-~ɪ-

22

Cx+VX-V

cosX+cosy=2cos---cos—丁

C.x+y.x-y

cosx-cosy=-zsɪn------sin------

22

知识点诠释：

规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2.

规律2：在所有的公式中，左边都是角A与3的弦函数相加减，右边都是妇0与上0的弦函数相

22

乘.

规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（CaS）加扣等于

俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”.

规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘.

注意

1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系.

2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式.如Sina+cos分

就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式.

3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，

其结果实质上是一样的.

4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如

1兀c./兀α∖.（兀ɑ∖

——cosa=Cos——cosa=-2sιn—+—sin-------.

23（62J（62J

5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式.

【典型例题】

题型一：两角和与差的正（余）弦公式

例L（2022∙浙江省杭州第九中学高一期末）cos105°=（）

Ay∕2-y∣3R∖∣2+ʌ/ɜp>/2—ʌ/ðn瓜-6

4444

,34

例2.(2022•江西九江•高一期末)已知Sina+sin∕=∙∣,COSa+cos∕=g,则cos(α-/7)=()

例3.（2022•山东临沂•高一期末）Sin70。Sin40。-Sin50。COSII0。=（）

A.ɪB.--c

22∙τD∙-T

变式1.（2022•新疆•柯坪湖州国庆中学高一期末）sin15°=（）

Al+>∕2Rλ∕β-V2C屈+6D6+■

A.-----------t>.----------------

24--4---4~

变式2∙（2022∙四川成都•高一期末）sin75°cosl50-cos750sinl5'的值为（）

A.ɪB.BC.显D,1

222

变式3.（2022•山东潍坊•高一期末）下列各式化简结果为T的是（）

A.1-2COS275oB.sinl5ocosl5o

C.sin14ocos16o+sin76ocos74oD.tan20o+tan25o+tan200tan25o

【方法技巧与总结】

已知α,£的某种三角函数值，求α±6的正弦，先要根据平方关系求出口、夕的另一种三角函数值.求

解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和

角或差角的三角函数公式中求值.

题型二：两角和与差的正切公式

o

例4.（2022•甘肃兰州•高一期末）1ɪ+Qtan1口S=（）

1-tan15°

A.立B.1C.√3D.1一走

33

例5.（2022・全国•高一课时练习）在AABC中,tanA÷tanB÷tanC=ɜʌ/ɜ,tan2B=tanAtanC,则角5=

（）

A.30oB.45oC.60oD.75o

例6.（2022•吉林•东北师大附中高一阶段练习）tanlθ+tan50+ʌ/ɜtanlθtan50的值为（）

A.且B.√3C.1D.-√3

3

变式4∙（2022•四川成都•高一期末（文））tan450-tan150-—tan45otan15o=（）

3

A.√3B.√3-2C.-也D.叵

33

变式5.（2022•四川成都•高一期末）tanl5°=()

A.2-百B.y∕3-2C.-2-√3D.2+√3

【方法技巧与总结】

公式tan（α+4）=tan°+tan'的变形tana+tany0=tan（σ+/）（1一tanαtan尸）应予以灵活运用.

1-tanσtany?

题型三：二倍角公式的简单应用

例7.（2022•河南•安阳37中高一期末）已知Sina+cos。=；,则sin2α=（）

8118

-C

A.9-B.-2-2-D.9-

例8.（2022•河北保定•高一阶段练习）若Sina=-g,则COS4。=（）

3

D.

4

例9.（2022•全国•高一课时练习）若tan。=立，贝IJCoS2。=（

)

2

ɪ

D.

3

变式6.（2022•浙江•高一期中）若tanθ=3,则竺如空变=（）

Sine-CoSe

变式7.（2022∙江西省丰城中学高一期中）若Sinl^→α）=g,

则COS2a+cosa-()

31C31C4r7

A.—B.——C.——D.一

323298

变式8.（2022•广东佛山•高一期末）若tan9=g贝IJtan26=（）

2C2C4C4

A.-B."C.一D.-

5353

【方法技巧与总结】

应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幕”“形”着手分

析，消除差异.

题型四：给角求值

例10.（2022•全国•高一课时练习）sin20o+sin40o+sin6（r-sin80o的值为（）

A.0B.ɪC.—D.立

222

2sin2001_(

例11.（2022•全国•高一课时练习）计算：)

sinl0otan10°^

A.-√2B.√2C.-√3D.√3

2氐in700-石Sinl0°

例12.（2022•江苏镇江•高一期末）计算：=()

CoslO0

A.1B.2C.3D.4

2cos10oCCC/、

变式9.（2022•江苏•南京航空航天大学附属高级中学高一期中）-------------tan20°=()

sin70o

A.1B.√2C.√3D.2

2sin20o+sin40o

变式10.（2022•河南南阳•高一阶段练习）)

2sin220o-l

A.-√2B.-2C.-√3D.-1

变式IL（2022・四川成都•高一期中（理））sin50+sin55°=()

A.sin60oB.sin65°C.sin70oD.sin75o

（•江苏省沙溪高级中学高一期中）

变式12.20222SM50820=()

sin20

A.-1B.1C.-√3D.√3

Sin200-2cos10°

变式13.（2。22•江苏・昆山经济技术开发区高级中学高一期中）--20^（）

A.-1B.-√3C.1D.√3

【方法技巧与总结】

在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同

一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两

角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值.

题型五：给值求值

22

V2(cos0-sinθ]f-

—~7-------r—L=√3sin2<9

例13,（2022•陕西•榆林市第十中学高一期末）若,则sin26=()

CoS+6

ʌ-4b∙Ic∙id∙4

例14.（2022∙四川省内江市第六中学高一期中（理））若瑞翁=3,则黑器*=（）

例15.（2022•广西•模拟预测（文））已知Sine—α）=g,则cos（2a+1）=（）

11拽

---C4√5

A.9B.9-9D.9

（、cos2x

变式14.（2022•四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））已知cos[x+?）=-3,则COS（X一生）的值

是（）

A.--B.IC.-也D.理

3333

变式15.（2022・浙江•余姚市实验高中高一开学考试）已知函数f（x）=2SinqX-JxeR.设

a、BW0ɪ,∕βα+yU∙^,∕(3^+2Λ∙)=∣,则cos(a+⑶的值为()

56C16"63C33

Aa.—B.—C.—D.—

65656565

变式16.(2022•全国•高一课时练习)己知α一夕=年，且COSa+cos/?=；,则cos(α+∕7)的值为()

7711

-C-

A.9-B.9-9-D.9-

已知COSje+9]=尚＞0＜夕＜£＞贝IJCoSe等于()

变式17∙（2022・全国•高一课时练习）

\67133

ʌ12-5百ŋ5百+125+12√3C5+5√3

C.LJ•---------------

13262613

6-；卜OS(TrT

变式18.（2022•全国•高一课时练习）已知√∑sin-0)=Cos2(9-sin2,且SineW0,则

tanf^+~）值为（）

I6

B.B

A.√3C.2-√3D.2+√3

3

/、JΣL兀π

变式19.（2022・全国•高一课时练习）已知cos(2α-/7)=-,sm(α-24)=彳，且

0＜∕7＜∙^,则COS(C+/?)=()

A.1B.0C.-1DT

21

变式20.（2022•甘肃•卓尼县柳林中学高一期末）tan(α+£)=—,tan(α-/?)=~,则tan2α=()

54

A.13

B.-C.D.⅛

6132218

变式21.（2022•辽宁抚顺•高一期末）若tan(α+800)=4sin4200,则7tan（a+20。）的值为（)

D.B

A.6B.2√3C.

7

(2022•四川•成都七中高一期末)已知α,"e[θ,g],cos(α+4)=R,sin/=

变式22.贝Ucosα=

()

635656C63

A.-----Bo.-----C.D.—

65656565

已知cos(α一看)+Sina=^^∙,则COS(方∙+α)的值是

变式23.（2022•广东汕尾♦高一期末）()

A.-1C42√3D.空

B.一C.

555

变式24.（2022•北京•中关村中学高一阶段练习）若3sinα-sin/=JnLa+/?=p则COSa=（）

A,巫3√10√10

Dr.---------r-----

101010DT

（2022•山东济宁•高一期中）已知Sin（T-α）=-∣∙,COS（；+PJ=得，且。'（子

变式25.

则cos(α+0=()

16R5633C63

A.-----D.——

65656565

卜;，则cos（

变式26.（2022•福建省厦门集美中学高三阶段练习）已知SinIa-5Γ2α)的值等于（）

A.逑B.一速C.--

D.-

9999

（2022・重庆巴蜀中学高一期中）已知sin（（-ʃ^eos]?+。），则tan

变式27.I%)=()

B.√3C.且D.-此

A.-1

33

3COS(α+/7)=-',则

变式28.（2022•江苏•扬州中学高一阶段练习）已知。、夕为锐角,且Sin尸=：,

Sina的值为（）

63B.史C.-竺D,竺

Aa.—

65656565

（2022•广东•顺德一中高一期中）己知sin（0）+Sina==怨~,则Sin(7π）的值是（）

变式29.r+v

A.一”-B.也C.」

D.-

5555

（2022•江苏•常州市第二中学高一阶段练习）已知α为锐角，且sin（α+工］=sin（a-。,则

变式30.

tan。=()

A.√3B.2+√3C.√6D.VG+>/?

【方法技巧与总结】

给值求值的解题策略

(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角

的关系，适当地拆角与凑角.

(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见

角的变换有：

①α=(α-[)+尸；②a=③2α=(α+∕)+(α-p)；®2p={a+β)-{a-βt).

题型六：给值求角

例16.(2022•北京市第五中学高一阶段练习)若一∙J<α<I且tana,tan尸是方程

2222

/+3GX+4=0的两个根，则α+-=()

2π—兀人

A.ɪOCπ,i4π2π

BC.;或工D.彳或一二

3∙^T3333

tan(α-∕)=g,tan/?=—；,则2。一/7=

例17.(2022•江苏•金沙中学高一期末)已知α,y0∈(θ,π),

()

5πC兀C兀C3兀

A.—B.一C.——D.——

4444

⅛cosa=y,sin(a+∕7)=∙η^∙,O<a<y,0<β<~~，则角夕的值

例18.(2022•陕西•西安中学高一期中)

为()

πC不C1

A.一B.—C.-D.—

31264

变式31.(2022•全国•高一专题练习)设%夕ejθ,X],sinα=@,sin∕7=亚，则α+夕的大小是()

[2)5IO

3C3八3一1

A.―一πB.-πC.-KD.一乃或一乃

44444

CoSa=-题，若sin(2α+/?)=:sin/?,则

变式32.(2022・全国•高一课时练习)已知α,β∈(O,Æ),

102

a+β=()

,2π_5π-5万Cπ

A.—B.—C.—D.—

3642

变式33.(2022・全国•高一课时练习)已知ɑ,夕均为锐角，且Sina=坐，cos”叵,则α-/7的值为

5"10

()

πC兀C.史D3π

A.-B.—D∙­

444

变式34.（2022•江苏常州•高一期末）已知0<α<90，且sinl8(l+sin2tz)=2∞sl29cos2a,则α=

()

A.9B.18C.27°D.36°

变式35.（2022・全国•高一）若sin2α=苴∙，sin（∕?-C）=边口,且αe；,兀，β∈π∙^~π,则。+/的

5v,10L4」L2J

值是（）

A5乃_lπ_5π.、lπC54卜94

A.——B.C.-Sc-D.—或一

4T4444

【方法技巧与总结】

解决三角函数给值求角问题的方法步骤

（1）给值求角问题的步骤.

①求所求角的某个三角函数值.

②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角.

（2）选取函数的原则.

①已知正切函数值，选正切函数.

②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是（0,5],选正弦或余弦函数均可；若角的范

围是（0,左），选余弦较好；若角的范围是[选正弦较好.

题型七：利用半角公式化简求值问题

例19.（2022・全国•局一课时练习）化简：（2/吗一.

JI-COSa

a.a

ɔcos—Fsin一

例20.(2022・全国•高一课时练习)若SinU∙+α)=',α是第三象限角，则一|——ɪ

ɔcossin—

22

例21.（2022∙全国•高一课时练习）化简:

l+sina+I-Sinaπ<α<玛;

Jl+COSa-JI-COSa>1+cosα+>1一CoSa2J'

cos∣--or∣-tan^(l+cosa)(C、

⑵I2J2、)(0<6z<π).

JI-COSa

变式36.(2022•安徽•东至县第二中学高一期末)已知αe(θ,5)sin(%-α)=巫.

(1)求cos3的值；

(2)若£«0,乃)，Sinla-§)=|,求cos^jg的值.

【方法技巧与总结】

1、化简问题中的“三变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异,

合理选择联系它们的公式.

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幕、降暴、配方、开方等.

2、利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系.

(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备.

(3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算.

提醒：已知COSC的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号.

题型八：三角恒等式的证明

例22.(2022,全国∙∣⅝-^课时练习)已知