2022-2023学年福建省厦门市高一年级下册期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1.已知复数2=Jv，则复数Z共辄复数的虚部为（）

1+1

1I

A.—1B.1C.-D.~

22

【答案】D

【分析】利用复数的除法化简复数z,利用共粒复数和复数的定义可得结果.

11-i11.-11

【详解】上二百;而正1r厂”则Z7+>

故复数z共舸复数的虚部为g.

故选：D.

2.高一、1班有学生54人，高一、2班有学生42人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一部分人

组成4x4方队，进行会操比赛，则高一、1班和高一、2班分别被抽取的人数是（）

A.9、7B.15、1C.8.8D.12、4

【答案】A

【分析】利用分层抽样的定义求解即可

【详解】由题意得高一、1班被抽取的人数为广54三x16=9人，

54+42

42

高一、2班被抽取的人数三「工'16=7人，

故选：A

3.甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8,乙做对的概率为0.9,下列说法错误的是

（）

A.两人都做对的概率是0.72B.恰好有一人做对的概率是0.26

C.两人都做错的概率是0.15D.至少有一人做对的概率是0.98

【答案】C

【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人

都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B；至少

有一人做对的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D.

【详解】由于甲做对的概率为0.8,乙做对的概率为0.9,

故两人都做对的概率是0.8x0.9=0.72,所以A正确；

恰好有一人做对的概率是0.8X(1-0.9)+(1-0.8)X0.9=0.26,故B正确；

两人都做错的概率是(l-0.8)x(l-09)=0.02,故C错误；

至少有一人做对的概率是1-(1-O8)x(1-0.9)=0.98,故D正确,

故选：C

4.已知向量1=(-1,2),3=(2,m)，若a,则力=()

C11

A.—1B.1C.—D.一

44

【答案】B

【分析】根据向量的数量积运算法则计算即可；

【详解】因为)/3,所以-lx2+2m=0,〃?=l,

故选：B.

5.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典

的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢

壶的相关数据(单位：cm),那么该壶的最大盛水量为()

C.20Vw^cm3D.204^cm3

【答案】B

【分析】由题得上底面半径为4,下底面半径为6,圆台高为6,代入台体体积公式，即可得答案.

【详解】由题意得上底面半径为4,面积5=4x42=16)，

下底面半径为6,面积52=万乂6"=36"，圆台高〃为6,

3

则圆台的体积­=+S2+^S^y=6万+36%+Jl6"36%卜6=152万Cm.

故选：B

6.已知复数4，z2,则“4刍€尺”是“4=用”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】取4=l+2i,z2=2-4i举例说明充分性不成立；再由复数的乘法运算证明必要性成立，由

此即可得出结论.

【详解】举反例说明充分性不成立：

取Z[=l+2i,Z2=2—4i,则•z2=(1+2i)(2-4i)=2+8=10wR,

但得不出4=^,

下面证明必要性成立:

若2=〃+&S，be火,6*0),贝1|z的共轮如实为I=，

所以z-z=(a-6i)(a+⑸=/+Zr6R成立，

所以由4与Z2互为共朝复数能得到z,-zzeR.

所以工4eH”是“4=用”的必要不充分条件.

故选：B

7.在28。中，角4氏C对边分别为a、b、c,且%4=叵，当〃=近，6=2时，/8C的面积

sinB3b

是()

AA/3Ry/7-3石n3A/7

2222

【答案】C

【分析】利用正弦定理求出/=?,利用余弦定理求出c=3,即可求出的面积.

【详解】对于*=叵，用正弦定理得:cos4_百sin4

sinB3bsin53sin5

因为/w（0/）,且tan/=G,所以4=

由余弦定理J=/+/-2bccos4得:7=4+/-2x弦x；,

解得：c=3（。=一1舍去）.

所以“BC的面积是S=—hesinA=—x2x3x卫二孑叵

2222

故选：C

8.某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中

分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件.若甲、乙、丙三人在其5天抽检样本中的合

格品件数统计如下，甲：中位数为24,极差不超过2；乙：平均数为23,方差不超过1；丙：众数

为23,方差不超过1,则：室能通过试用期的有()

A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙D.甲、乙、丙

【答案】A

【分析】根据甲乙丙的统计数据，判断他们的合格品数是否有可能低于22,只要不低于22,则一定

能通过.

【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24,最低合格品数不低于

2,所以甲一定能通过；

5

对于乙：设乙每天的合格品件数为q(i=l,2,3,4,5),qeZ,则小厂2》

-5~

55

即Z(q-23『W5.若乙有不止一天的合格品数低于21,Z(q—23)2>5,不合题意；

»=1：=1

若乙只有一天的合格品数低于22,不妨取q=21,®-23)2=4,因为平均数为23,则至少有一天

5

的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24,无论哪种情况，都可以得到Z(“，-23)2>5,不合

/=1

题意，所以乙的每一天的合格品数都不低于22,乙一定能通过；

对于丙：若丙的合格品数为21,22,23,23,23,则丙的众数为23,方差为0.64,符合丙的统计数

据，但丙不能通过；

所以甲、乙一定能通过，A正确；

故选：A.

二、多选题

9.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农

村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的

扇形图.

建设前经济收入构成比例

第三产业收入

28%

种植收入37%尸弓其他收入

二殖收入

建设后经济收入构成比例

则下面结论中正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】BCD

【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为。，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2”，

之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相

应的关系，从而得出正确的选项.

【详解】设新农村建设前农村的经济收入为。，则新农村建设后农村的经济收入为2a,

对A,新农村建设前的种植收入为ax60%=0.6”，新农村建设后的种植收入为2ax37%=0.74a,种

植收入增加，故A错误；

对B,新农村建设前的其他收入为ax4%=0.04〃，新农村建设后的其他收入为2ax5%=0.k/,增加

了一倍以上，故B正确；

对C,新农村建设前的养殖收入为ax30%=0.3a,新农村建设后的养殖收入为2“x30%=0.6a,增

加了一倍，故C正确；

对D,新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和为2ax（30%+28%）=1.16a,超过了经济收

入的一半，故D正确.

故选：BCD.

10.已知△N3C三个内角B,C的对应边分别为a,b,c,且NC=］，c=2.则下列结论正确的

是（）

A.△Z8C的周长最大值为6

B.就.布的最大值为2+迪

3

C.bcosA+acosB=42

D.笆的取值范围为0(6+8)

cosA

【答案】AB

【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式即可求解周长的最大值；B选项，先利用向量的数量

积计算公式和余弦定理得就•通="+4-4,再利用正弦定理和三角恒等变换得到

2

结合8的取值范围即可求出存的最大值；C选项，结合B选项

中的正弦定理进行求解即可；D选项，用cos8=-cos(/+C)进行变换得到您O=Yltan/-L,结

cosA22

合”的取值范围即可得到cc半sR的取值范围.

cosJ

【详解】对于A,由余弦定理得cosC=/+小-4=］.,解得/+〃=仍+4,

2ab2

所以(a+b)2=3a6+443x［学)+4,当且仅当“=b=2时，等号成立，

解得。+力44,当且仅当Q=6=2时，等号成立,

则△48C周长/=〃+b+c<4+2=6,所以△/8C周长的最大值为6,故A正确;

2

对于B,由记荏=|同.网cos/=be*抵,

a_b_2_4A/Jprrr

又由正弦定理得sin力一sinB一.兀一3，贝4〃==—sin4,h=--sinB,

所以〃-a2=^-(sin2B-sin24)二号sin2B-sin2f

因为巩吟｝所以2嗯用，

则/一/=-迈3$(28」］的最大值为至，即匕土片的最大值为2+迪,

3V6J323

所以而存的最大值为2+半故B正确;

对于C,结合B选项得

逑sinC=^8x3=2,故C错

bcosA+acosB=~~~(sinBcos4+sin4cosB)=~~~sin(4+8)=

332

误;

升下nrhDcos(4+：］苴sin4-」cos4,

对于D，由cos>=I22-M-tan/—L

cos4cos4cosA22

又Xe((),gJ,所以tan/e卜8,-6)。(0,+<»),

所以qtan力-gc(Y),-2)+oo),故D错误.

故选：AB.

【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及

三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.

11.抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y

表示绿色骰子的点数，定义事件：/="x+y=7"，8="孙为奇数"，C="x>3”，则下列结论错误的是

()

A.8与C相互独立B.4与8对立

C./与C相互独立D.Z与8互斥但不对立

【答案】CD

【分析】应用表格列举出(x+K9)的所有可能情况，根据题设描述及独立事件、互斥、对立事件定

义判断各项正误即可.

【详解】下表中行表示x,列表示V,则

(x+y,xy)123456

1(2,1)(3,2)(4,3)(5,4)(6,5)(7,6)

2(3,2)(4,4)(5,6)(6,8)(7,10)(8,12)

3(4,3)(5,6)(6,9)(7,12)(8,15)(9,18)

4(5,4)(6,8)(7,12)(8,16)(9,20)(10,24)

5(6,5)(7,10)(8,15)(9,20)(10,25)(11,30)

6亿6)(8,12)(9,18)(10,24)(11,30)(12,36)

满足事件A有(7,6)、(7,10)、(7,12)、(7,12)、(7,10)、(7,6)共6种,

满足事件B有(2,1)、(4,3)、(6,5)、(4,3)、(6,9)、(8,15)、(6,5)、(8,15)、(10,25)共9种,

满足事件C有(5,4)、(6,5)、(7,6)、(6,8)、(7,10)、(8,12)、(7,12)、(8,15)、(9,18)、(8,16)、(9,20)、

(10,24)、(9,20)、(10,25)、(11,30)、(10,24)、(11,30)、(12,36),即后3列,共18种，

所以事件有。种，事件8c有3种，事件/C有3种，则B错，D对，

所以尸(4)=，，P(B)=]尸(C)=2，P(N8)=0,P(AC)=P(BC)=^-,

64212

则P(8C)HP(8)P(C),P(AC)=P(A)P(C),A错,C对，

故选：CD

12.在棱长为1的正方体中，点P、E、尸分别为cq、BC、CO的中点，则下列

说法正确的是()

A.4P与EF所成角为60°

B.点M到平面PE尸的距离为也

4

C.直线48与平面PEF所成角的正弦值为迈

3

D.平面PEA截正方体得到的截面图形是梯形

【答案】CD

【分析】对于A,连接交于点。，则由正方体的性质和三角形的中位线定理可得EF_LNP,

从而可求得4P与EF所成角，对于BC,建立如所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解，对于D,

连接8G，4O”/E,利用正方体的性质和三角形的中位线定理可得结论

【详解】对于A,连接交于点。，则NC18。，因为平面48CD,8。匚平面488,

所以Cq_L8。，因为《CnCC|=C,所以8。1平面NCP,因为ZPu平面ZCP,所以BDL4P,

因为E、尸分别为BC、CD的中点，所以E、尸分别为CG、BC、C。的中点，E尸〃8D,所以

EFVAP,所以/P与EF所成角为90。，所以A错误，

对于B,如图建立空间直角坐标系，则4(l,0,l),E(g,l,0),F(0,；,0),P(0,l,g),5(1,1,0)

所以可=(,一1,;),方=(-p-*0),而=畤3,

设平面PE尸的法向量为G=(x,y,z),则

n-EF=--x---y=0

22

..，令z=l,贝！=

n.~FP=-y+-z=^

22

PAn573

所以点4到平面PEF的距离为d=c2所以B错误,

vr~6~

对于C,54=(0-1,1),设直线48与平面尸跖所成角为。,

2

B4,4=所以C正确,

限阅一3

对于D,如图，连接BG，NAME,则8G〃/A，BC\=AD\,因为点P、E分别为CG、8c的中

点，所以£尸〃8G，EP=；BC\,所以EP〃/4，EP=^AD],所以四边形力改口为梯形，所以

平面PE2截正方体得到的截面图形是梯形，所以D正确

R

故选：CD

三、填空题

13.向量4=(1,2),向量B=(-1,O),则B在万上的投影向量是.

12

【答案】(-9一不)

【分析】根据投影向量的定义写出B在不上的投影向量.

-_A--t4_LH曰/4日、？ci-ba1x(—1)+2x0八小z12、

【详解】b在2上的投影向量为『7・1='A?——(1,2)=

⑷⑷(45)55

12

故答案为：

14.M8C中，AB=AC=5,8C=8,则此三角形的外接圆半径是.

【答案】§25

6

【分析】根据余弦定理，可得COS4,进而可得sin/的值，根据正弦定理，即可得答案.

【详解】由余弦定理得cos/=d02±4B?BC。=25+25二64=」，

2ACAB2x5x525

因为/e(0,万)，所以sinN=Vl-cos2A=—,

25

BC8

设外接圆半径为R,由正弦定理得嬴7一五一，解得尺=?

2?6

25

故答案为：—

6

15.某单位对全体职工的某项指标进行调查.现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其

平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1,以此估计总体方差

为.

【答案】3.56

【分析】结合平均数和方差的公式即可求出结果.

【详解】解：设男职工的指标数分别为X/2,…，々。，女职工的指标数分别为%,%，…，必，

则2以0它20(x,-7)-,Xy5,.S(5%-8)-

川©—=7,上-------=4'g-=8,上--------=1'

202055

202055

所以2占=140,XX：=80+20x49,=40,=5+5x64,

i=\/=1/=1i=l

205

所以本次调查的总样本的平均数为??'+自乂140+407°，

-----——=-------=7.2

2525

本次调查的总样本的方差是-72）+宫（乂-7.2）

25

202055

2才—14.42天+20x7.22一14.42^+5x7.22

_i=1i=li=li=1_____________________

―25

_80+20x49-20x7个+5+5x64-5x7.与

一25

=3.56

故答案为：3.56

四、双空题

16.如图，在直三棱柱/8C-481G中，ACIBC,AC=2,BC=5CC,=3,则该直三棱柱外

接球的表面积为；设尸为线段8c上的动点，则〃+PG的最小值为.

【答案】16万V19

【分析】根据题意将直三棱柱/8C-N4cl补成长方体4G4A,则直三棱柱的外接球就是

长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，从而可求出直三棱柱外接球的表面积，将

△G8C绕8。展开至与平面8CC£垂直的位置，则4C，G中共面，连接NG，则4G的长就是

ZP+PC1的最小值，然后利用余弦定理可求得结果

【详解】因为直三棱柱/8C-48G中，AC1BC,

所以将直三棱柱/8C-4及G补成长方体/C8。-4c4A,如图所示，

所以直三棱柱ABC-A^Q的外接球就是长方体ACBD_4C再D、外接球，

因为/C=2,8c=6，CG=3,

所以外接球的直径为2R=44c、BC2+CC；=J4+3+9=4,

所以外接球的半径为R=2,

所以直三棱柱外接球的表面积为4^x22=16万，

直三棱柱中，侧面与底面垂直，

因为/C人5C,平面/8C上平面8CC圈，平面平面8CC4=8C,

所以ZC_L平面8CC圈，

因为8,Cu平面8CG4，所以4C18C，

将△C£C绕8c展开至与平面2CC同垂直的位置，则4CG，4共面，如图所示,

连接NC，则4C的长就是4P+PG的最小值，

在ACCM中,NB©C=90。,B£=百,Cq=3,则80="行=2石，

在△/CB,中，乙4cBi=90°,AC=2,

2

在△/(7€；中，由余弦定理得ZCJ=AC+CC^-2ACCCXcosZACC,

=4+9-2x2x3cos(9(T+43)

=13+12sinZ5,CC

=13+12X^£L

8c

J7

=13+12x^4==19,

2V3

所以

所以ZP+PG的最小值为M，

故答案为：16万，719

五、解答题

17.已知向量a=(i,0)M=3,1_L(”5).

(1)求B+国;

(2)求£与£+B的夹角的余弦值.

【答案】(1)25/J

【分析】⑴由可求出7B=1，再将数量积和模长代入即可求出答案.

(2)由向量的夹角公式代入即可求出答案.

【详解】⑴因为£=(1,0),所以同=1

由a得a-5)=a-ab=0

解得ci-b=]•

所以|万+同=yl\a+h\2=y]a2+2a-b+b2=>/l2+2xl+32=2.

(2)因为a-(a+书)=a+a-b=2.

小+5)

所以cos(",a+b)=

\7\a\\a+bJ\.

2y/3

=^=T

所以Z与7+刃的夹角的余弦值且.

3

18.《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳

马”.如图，在阳马S-/15C73中，平面/BCD,E为S。的中点.

(2)若S/=/£>,求证：AE1SC.

【答案】(1)证明见详解

(2)证明见详解

【分析】(1)根据线面平行的判定定理分析证明；

(2)根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明.

【详解】(1)连接8。交ZC于点0,连接。E,

0,E分别为BD,SD的中点，则SB//0E,

SB<Z平面EAC,u平面EAC,

SBH平面EAC.

/.SAVCD,

又：/BCD为矩形，则/D_LCD,且S/,HDu平面S4>,SAoAD=A

CDJ.平面SND,

由XEu平面S4O,可得CDJ./E,

若SA=AD,且E为SL>的中点，则5D_LZ£,

CD,SDu平面SCZ),CDcSD=D,则NE_L平面SC。,

SCu平面SC。，故/EJLSC.

19.中国共产党第二十次全国代表大会将于2022年下半年在北京召开.某学校组织全校学生进行了

一次“党代会知识知多少？的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间［50,100］,从中随机抽

取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中。的值，并估计这40名学生测试成绩的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中

点值代替)；

(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成党代会知识宣讲

团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人测试成绩位于区间［90,100］的概率.

【答案】(1)。=0.03；平均数为74.5,中位数为75.

⑵。

'’21

【分析】(1)通过频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1求出。，进而可求得平均数及中

位数；

(2)列出7人中随机抽取2人的21种情况，确定至少有1人测试成绩位于区间［90,100］有11种，

即可得解.

【详解】(1)解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1,

所以10x(0.015+0.02+0+0.025+0.01)=1,解得a=0.03.

所以样本中40名学生的测试成绩的平均数£=55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74.5.

设这40名学生的测试成绩的中位数为x,由于前2组频率之和为0.35,

前3组频率之和为0.65,故中位数落在第3组，

于是有(X-70)X0.03+0.35=0.5,解得，=75.

即这40名学生的测试成绩的中位数为75.

(2)由分层随机抽样可知，在区间［80,90］应抽取5人，记为“，h,c,d,e,在区间［90,100］应抽

取2人，记为X,B,

从中任取2人的所有可能结果为：

(a,d),(a,e),(a,A),(a,B),

(b,c),(b,d),(b,e),(b,/),(c,d),

(c,e),(c,A),(c,B),(d,e),(d,A),(d,B),

(e,/),(e,B),(4B),共21种.

其中至少有一人测试成绩位于区间［90,100］内有：

(a,/),(a,S),(b,A),(c,/),

(",/),(d,B),(e,A),共11种.

所以，至少有一人的测试成绩位于区间［90,100］内的概率为*.

20.如图，四棱锥尸-Z5CD中，四边形Z8CD为梯形，其中

ABHDC,AB=2BC=2CD=4,ZBCD=60°,平面P8D_L平面Z8CD.

(1)证明：PBLAD-,

Q)若PB=PD,且尸4与平面"CO所成角的正弦值为XU,求四棱锥P-/8CO的体积.

【答案】(1)证明见解析:

(2)373.

【分析】(1)在梯形中结合余弦定理证明/。工8。，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理

作答.

(2)取8。中点0,利用线面角求出四棱锥的高产O,再计算体积作答.

【详解】(1)因8C=C£>=2,/8CO=60'，则△88为等边三角形，即=

又ABUDC,有//8。=60。，在中，

AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosZABD=42+22-2x4x2x-=12,

2

^^AD2+BD2=AB2.即4928。，而平面尸8。_L平面/8C。，平面尸8。口平面48。。=8。，

4Du平面48c。，

因此平面尸80,又尸8u平面尸8。，

所以P8J.N。.

(2)取8。中点。，连尸0,如图，PB=PD,则P0_L8。，

P

平面？5O_L平面N8CZ),平面尸8。fl平面480=8。，尸。u平面P8O,则P0工平面N8C。，

连接/0,则Z0为处在平面/8C。内的射影，即NR/O为RI与平面/8C。所成角，

有sinN尸月。=豆红，则tanNP40=豆叵，而40=+一。。=屈，于是得PO=3,

2213

梯形/8CZ)的面积为5=5"0+588=，403。为BC=-生卜口皿口2=373,

nAoLtAoct>242、4

所以四棱锥P-/8CD的体积％^

21.甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛.比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之

间均进行一场比赛.每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结

束.假定每场比赛、每局比赛结果互不影响.

(1)若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为:，求甲获得本场比赛胜利的概率；

I23

(2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为:，彳，;，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲

在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大.

【答案】⑴合

(2)1

【分析】（1）分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局获胜求解;

（2）分甲在第二场甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁求解.

【详解】（1）解：设甲在第i局获胜为事件4