天津市南开中学2023-2024学年高一年级上册第三次学情调查数学试卷

天津市南开中学2023-2024学年高一上学期第三次学情调查

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.sin24O0=（）.

A.BB.-且

22

2.“£[0,今]”是“1311々>0''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数/（x）=2'+3x-4的零点所在的区间为（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

05

4.有三个数：a=2,/?=sinl,c=log23,大小顺序正确的是（

A.c>a>bB.a>c>b

C.a>b>cD.b>a>c

5.

sin(6Z-371)+cos(71-(7

6.若tan(77i+a)=〃,的值为（

、sin(-«)-cos(7i+tz)

a—1a+1

A.-----B.C.-1D.1

〃+1a—1

7.已知函数/（x）=Asin（0x+o“A>O,0>O,O<e<|J的部分图象如图所示，则函数

的解析式为（）

A./(x)=V2sin^x+^

B.

C./(x)=V2sinf+~

D.f(^)=2sin

8.已知aG^0,—cos[a+']1则sin]¥-2〃的值为()

I8J3

.一迪逑]

AB.空C,472

993~9~

sinZTCX,Nv0

9.设aeR,函数/（无）=若/（x）在区间（-a,+"）内恰有5个零点,

x2-4x+7-4tz,x>0

则。的取值范围是（）

7c5117

A.VPTB.

44

37511。2,5|

C.D.

2?425Z2

二、填空题

10.函数〃尤）=J，-x-2的定义域是

11.已知扇形的面积为4,半径为2,则扇形的圆心角为弧度.

12.已知tan[a+：）=-3（兀＜a＜，贝（Jsintz-cosdz=.

13.已知函数f（x）=sin（2x+°）（0＜〈＜g）的图象关于直线尤对称，则当xe[0与时,

函数“X）的值域为.

14.将函数"x）=cos（x+e）（闸＜曰的图象上各点的横坐标缩短到原来的g倍（纵坐

7T

标不变），再把得到的图象向左平移7个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则

6

（P=—.

15.设函数/（x）=2sin（0x+°）（®＞0,。＜夕＜兀），/（0）=/（；兀）=-/（；）,且/（x）

在GTT，947r）上单调递减，则。的值为____.

69

三、解答题

16.已知。，夕均为锐角，且cos（a+0=T，sin«=^

33

(1)求sin2a的值;

(2)求sin(p-o)的值.

试卷第2页，共4页

17.已知函数/(x)=2Gsinx-cosx+2cos%.

⑴求函数的最小正周期；

⑵求函数的单调递隼区间；

TT5冗

(3)求函数/(》)在区间-工,冒上的最小值和最大值及取得最大值和最小值时的x的

012_

值.

18.已知函数(x>0)满足：f(x+2)=2f(x)+a,/(1)=2,且当xe(2,4］时,

y(^)=2x2-6x+6.

⑴求a的值；

⑵求“X)22的解集;

(4、7171

(3)1^g(^)=log2+—~~-,h(x)=2cosx+mcos2x(xe),若

2\3-1722

/[/z(x)]>g[/z(x)],求实数根的值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】由诱导公式即可得.

【详解】sin240°=sin(60°+180°)=-sin60°=—孝.

故选：B.

2.A

【分析】根据题意分别判断充分性和必要性即可.

【详解】充分性：若贝ijtan。,。成立，故充分性成立；

必要性：若tana〉。，则+优eZ),不一定为ae'g],故必要性不成立.

所以“ae(0，T”是“tan戊>0”的充分不必要条件.

故选：A

3.A

【分析】分析给定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.

【详解】函数/(x)=2'+3x-4在R上单调递增，而/(0)=-3<0,八1)=1>。，

所以函数/(x)=2，+3x-4的零点所在的区间为(0,1).

故选：A

4.A

【分析】根据给定条件，利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较

大小作答.

【详解】“=2。5=2!=应，；」<"'|

b=sinl<1

33

c=log23>log2V8=log22^=—,

所以

故选：A

5.A

【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.

【详解】依题意y=ln(cosx),xe,

答案第1页，共8页

y=cosx为偶函数，则y=ln(cosx)为偶函数,

又0<cosx<l,贝I]y=ln(cos无)<0.

故选A.

6.B

【分析】由诱导公式以及商数公式进行化简运算即可.

【详解】由题意得1211（7兀+。）=1£1111=4,

sin(a-3it)+cos(71-a)-sina-cosatan(z+la+l

sin(-tz)-cos(兀+a)-sine+cosatana-1a-1

故选：B.

7.D

【分析】分析图象，由周期性可得。，由最大值点可得夕，由与y轴交点可得A.

【详解】T==故7=兀，则闷=§=2,又0>0,故0=2,

412641

KA%•「兀1i71兀…,

fI-1=Asinlj+^z?1=1,i^-+(p=-+2kR,kqZ,

角星得0=：+2E,kQZ,又0<①<三,故。=：,

626

rr1

则f(O)=Asin—=—A=l,故A=2,

62

即/("=2sin12x+胃.

故选：D.

8.D

【分析】由题意和同角三角函数的关系以及正弦的二倍角公式可得平

sg+A结合

sin寻-2a）=sin（2a+；）计算即可求解.

【详解】由0＜。＜.得？＜a+5〈名,

2ooo

又cos(a+?)=；,所以sin(a+[)=Jl-cos2(a+?)=

o38y88

所以sin(2a+：)=sin[2(a+1)]=2sin(a+1)cos(a+^)=2x~~~=-^―

所以sin(——2a)=sin[7r—(――2a)]-sin(2a+—)=《应.

4449

故选：D

9.D

答案第2页，共8页

【分析】解法一：利用排除法，分别令9和。=1?3求解函数的零点进行判断，

解法二：分类讨论，分/'（X）在区间（-〃,。）有5个零点且在区间［0,+e）没有零点，在区

间（-。,0）有4个零点且在区间［0,+e）有1个零点和/⑺在区间（-。,0）有3个零点且在区间

［0,+力）有2个零点三种情况求解即可

【详解】法一（排除法）：令”:，则/（》）=2_4_9当X<0时，“X）在区间

qIJi尤乙,XWU

有4个零点，当x20时，/（0）=-2<0,A=24>0,在区间［0,+⑹有1个零

点，综上所述，〃尤）在区间（-。,+8）内有5个零点，符合题意，排除A、C.

sin2兀x,x<0

令。=E，则/（尤）=,当x<0时，在区间卜可,。1有3个零点，当

O

时，/（o）=|>o,A=14>0,“X）在区间［0,+力）有2个零点，综上所述，“X）在区间

（-4,+8）内有5个零点，符合题意，排除B,故选D.

法二（分类讨论）：①当/（x）在区间（-。,0）有5个零点且在区间［0,+8）没有零点时，满足

②当/（X）在区间有4个零点且在区间［0,+8）有1个零点时，满足/（0）<0,解

5-

——<-a<—2

I2

得2<w；

③当/⑺在区间0）有3个零点且在区间［0,+。）有2个零点时，满足/（0）>0,解

c3

-2<-a<——

I2

,37

得彳<〃，

24

综上所述，a的取值范围是［I,u［2,|,

故选：D.

答案第3页，共8页

10.{小22或尤〈一1}.

【分析】利用二次根式的意义计算即可.

【详解】若使函数“到=正2-尸2有意义,贝吐_彳_220,解得,2或xV-L,

故函数/(%)=VX2-%-2的定义域为{小22或XV-1}.

故答案为：[x\x>2^x<-l}.

11.2

【分析】根据扇形的面积公式求解即可.

【详解】设扇形的圆心角为a,

由题意得，，ax22=4,解得a=2,

2

所以扇形的圆心角为2弧度.

故答案为：2.

12.一好

5

【分析】利用两角和的正切公式求出正切值，然后利用同角关系求出正切和余弦值.

[详解】因为tan[(z+：[=_3[7r<a<，)，

兀

tancr+tan—,,,

所以：卜4tana+1

tan[a+=-3,所以tana=2；

sina八

tan。=----=2,所以cos?a=g,

由<cosa

sin26r+cos2a=1

.2A/5

sina=--------

3死

又因为n<a<三，所以，5

卮

cosa=------

5

2A/5(45^45

所以sin。一cosa=

55J5

故答案为：*

13.[1,1]

【分析】根据题意，结合三角函数的性质，求得〃x)=sin(2x+方,再由xe[0，W，结合求

63

答案第4页，共8页

得函数“X）的值域.

【详解】因为〃x）=sin（2x+°）的图象关于直线尤对称，

6

所以2乂q+0=乙+也,（左£2）,可得0=工+也,（左eZ）,

626

又因为0＜°＜弓,所以of，即/（%）=sin（2x+g）,

266

当xe[O,勺时,2旧屋刍,所以〃x）屋,1].

36662

14.-

6

【分析】根据函数平移变换关系求出函数解析式，然后将原点坐标代入解析式得出关于。的

表达式，结合条件冏可得出。的值.

【详解】将函数"X）=cos（x+夕）]同＜3的图象上各点的横坐标缩短到原来的g倍（纵坐

标不变），得到y=cos（2x+e）,

再把得到的图象向左平移7个单位长度，得到＞=cos2[无+']+0=cos12尤+尹9],

所得函数图象关于原点对称，...£+°=W+0化wZ）,贝=9+觊化eZ）,

326

网,二当左=。时,0=£.

26

JT

故答案为".

0

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式,

以及利用函数对称性的性质是解决本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等

题.

15.3

【分析】利用对称性得函数图象的一个对称轴和一个对称中心，计算。的可能值，再利用半

周期的长短，得。的值.

【详解】因为〃0）=/（1）,所以直线x=2为函数/（力=2初（以+0）图象的一条对称轴，

又因为〃|无）=-吗），所以备,0）为函数〃"=2仙（8+协图象的一个对称中心，

设函数的最小正周期为T,则!?-£=（。+寺）7，%eN,又因为。＞0,T=—,

18942co

所以。=3（1+2左），ZeN,

答案第5页，共8页

因为/(x)在G，萼)上单调递减，所以萼-工得

6996。5

所以左=0,。=3.

故答案为：3.

【点睛】关键点睛：/(力在(J,寺)上单调递减，则区间苗,毛)的长度小于等于半周期的

长度.

库小、472”、100

16.(1)---；(2)----------.

927

【分析】(1)先由sina=述求出cosa的值，再利用正弦的二倍角公式求解即可，

3

(2)由cos(a+/5)=-g求出sin(a+£),利用余弦的二倍角公式求出cos2a,而

/3-a=(a+/3)-2a,所以sin(尸一a)=sin[(e+4)一22],然后利用两角差的正弦公式化简

计算即可

【详解】解：(1)因为sinc=£l,且a为锐角，所以cosa=Jl-sin2a=2,

33

诉”.2A/214A/2

加以sin2a=2sinacosa=2x------x—=------.

339

(2)因为。，夕均为锐角，所以a+6£(0,兀)，又cos(a+0=—；,

所以sin(a+y5)=~~~

由(知

1)sina=2后,cosa=—,所以cos2。=cos?a-sin2i=------=——,

3

所以sin(尸一a)=sin(a+/-2a)=sin(a+/?)cos2a-cos(a+/?)sin2a

17.⑴兀

71,71T~|

(2)+kn,—+kit,keZ

3o

(3)x=-J时，/(x)有最小值1，尤时，/(x)有最大值3

OO

【分析】(1)将/'(X)化简为正弦型函数后即可得;

(2)借助正弦型函数单调性求法即可得；

(3)结合定义域及正弦型函数图象性质即可得.

答案第6页，共8页

[详解](1)/(%)=zGsiax-cosx+2cos2x二百sin2x+cos2x+1=2sin12]+巳J+1,

故T二年=兀；

(2)由/(%)=25由(2%+已1+1,^-^+2fai<2x+^<^+2H,keZ,

7171

贝！]---Fku«兀<—Fkit,左£Z,

36

7171

故函数〃元)的单调递增区间为-§+闻7+加，ZeZ；

,、、1.兀5兀1c兀兀

(3)当XW—T-时，2X+：£一二，兀，

612J66

则sin(2x+je-1,1,即〃x)e[0,3],

TT57r

即〃x)在区间-了区上的最小值和最大值分别为1、3,

当2尤+F=一自，即尤=一3时，/'(X)有最小值1，

666

当2X+E=],即x=£时，〃x)有最大值3.

18.(l)a=2

⑵[1，+8)

⑶-L

【分析】⑴根据题意可得〃3)=2/(1)+。=4+4,再由"3)=6即可求解.

(2)设xe(0,2],则x+2e(2,4],代入即可得出/(x)=f+彳，再由分段函数单调性判断

方法即可求解.

(3)利用(2)的结论得/z(x)21,设cosx=te[0,l],只需不等式2加产+2一(m+1)2。在

徐[。,1]上恒成立，讨论