人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题期中模拟试卷01(能力提升卷)(原卷版+解析)

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】期中模拟试卷01（能力提升卷，八下人教）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣22．下列二次根式中，不能与合并的是（）A． B． C． D．3．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝150°．BD＝540m，∠D＝60°，那么开挖点E离点D（）米远时，正好使点A、C、E成一条直线．A．270 B．300 C．270 D．1806．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是（）A．12 B．10 C．8 D．67．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（）A．34 B．25 C．20 D．168．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形：④正五边形是轴对称图形，其中真命题共有（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④9．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8 B．＝4a（a＞0） C．＝3+4＝7 D．＝10．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PMN的面积；③△PAB的周长；④∠APB的大小；⑤直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（）A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．已知a，b都是实数，，则ab的值为．12．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为CD边中点，OE＝2，则菱形ABCD的周长为．14．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：＝．15．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝．16．边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为．（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则△ABC的面积为．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（1）﹣22+﹣2×；（2）．18．如图，在一棵树BC的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m的池塘A处，另一只爬到树顶C后直接一跃，跳到池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树有多高？19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别为边AC，BC的中点，连接DE，EF．（1）若∠B＝40°，∠C＝55°，求∠DEF的度数；（2）若AD＝6，BD＝8，CD＝4，求△DEF的周长．20．如图，矩形ABCD中，延长BA到F，使AF＝CD，连接CF和DF，CF交AD于点E．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形．（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．21．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵，∴．例如：∵，∴．这种变形叫做将分母有理化．利用上述思路方法计算下列各式：（1）．（2）计算．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若EF＝6，∠HEF＝60°，求EG的长，23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．24．【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．求证：AM＝AD+MC．【探究展示】（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）若（2）中矩形ABCD两边AB＝6，BC＝9，求AM的长．【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】期中模拟试卷01（能力提升卷，八下人教）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案．【解答】解：式子有意义，则x+2≥0，解得：x≥﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键．2．下列二次根式中，不能与合并的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．【解答】解：A、，故A能与合并；B、，故B能与合并；C、，故C不能与合并；D、，故D能与合并；故选：C．【点评】本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．3．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC＝∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC＝∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC＝∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC＝∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】由矩形ABCD，得到OA＝OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB＝OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB＝BE，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB＝BE．5．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝150°．BD＝540m，∠D＝60°，那么开挖点E离点D（）米远时，正好使点A、C、E成一条直线．A．270 B．300 C．270 D．180【分析】根据邻补角的定义求出∠DBE＝30°，然后判断出△BDE是直角三角形，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：∵∠DBE＝180°﹣∠ABD＝180°﹣150°＝30°，∴∠E＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴△BDE是直角三角形，∴开挖点E离点D的距离DE＝BD＝×540＝270（米）．故选：A．【点评】本题考查了邻补角的定义，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质并判断出△BDE是直角三角形是解题的关键．6．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】由轴对称的性质可以得出DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°，就可以得出∠BED＝90°，根据直角三角形的性质就可以求出BD＝2DE，然后建立方程求出其解即可．【解答】解：∵△ADE与△ADC关于AD对称，∴△ADE≌△ADC，∴DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°，∴∠BED＝90°．∵∠B＝30°，∴BD＝2DE．∵BC＝BD+CD＝24，∴24＝2DE+DE，∴DE＝8．故选：C．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（）A．34 B．25 C．20 D．16【分析】作BE⊥x轴于E，如图，证明△ADO≌△BAE得到OD＝AE＝4，然后利用勾股定理计算出AD2，从而得到正方形ABCD的面积．【解答】解：作BE⊥x轴于E，如图，∵A（﹣3，0），B（1，b），∴AE＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠BAE，在△ADO和△BAE中，∴△ADO≌△BAE，∴OD＝AE＝4，在Rt△AOD中，AD2＝32+42＝52＝25，∴正方形ABCD的面积为25．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．8．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形：④正五边形是轴对称图形，其中真命题共有（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【分析】根据平行四边形、正方形、菱形的判定定理、轴对称图形的概念判断．【解答】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，本说法是真命题；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，本说法是假命题；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，本说法是真命题；④正五边形是轴对称图形，本说法是真命题；故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8 B．＝4a（a＞0） C．＝3+4＝7 D．＝【分析】根据二次根式的意义、性质逐一判断即可得．【解答】解：A．、没有意义，此选项错误；B．＝2a（a＞0），此选项错误；C．＝＝5，此选项错误；D．＝，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是二次根式的定义和性质．10．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PMN的面积；③△PAB的周长；④∠APB的大小；⑤直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（）A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤【分析】利用三角形中位线的性质得MN＝AB，MN∥AB，则可判断①正确；利用平行线的距离得到l与AB的距离为定值，则可判断⑤正确；利用三角形面积公式可得到△PAB的面积为定值，所以△PMN的面积为定值，于是可对②进行判断．【解答】解：∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN为△PAB的中位线，∴MN＝AB，MN∥AB，所以①正确；∵直线l∥AB，∴l与AB的距离为定值，所以⑤正确；∴△PAB的面积为定值，∴△PMN的面积为定值，所以②正确．故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．填空题（共6小题）11．已知a，b都是实数，，则ab的值为4．【分析】利用二次根式有意义的条件得到得，解得a＝，则可得到对应b的值，然后利用负整数指数幂的意义计算．【解答】解：根据题意得，解得a＝，当a＝时，b＝﹣2，所以ab＝（）﹣2＝4．故答案为4．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．12．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．（“矩形的四个角都是直角”没写不扣分）【点评】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为CD边中点，OE＝2，则菱形ABCD的周长为16．【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再由直角三角形斜边上的中线性质得CD＝4，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴∠COD＝90°，∵OE＝2，且E为CD边中点，∴CD＝2OE＝4，∴菱形ABCD的周长＝4CD＝4×4＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．14．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：＝8．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示：6＜a＜12，则＝a﹣5+13﹣a＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．15．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝4．【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可．【解答】解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH＝．∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，故答案为：4．【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角三角形ABH的两直角边的长度．16．边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为1：2．（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则△ABC的面积为．【分析】（1）分别表示出正方形的面积和菱形的面积，再根据“形变度”为2，即可得到菱形与其“形变”前的正方形的面积之比；（2）根据两面积之比＝菱形的“形变度”，即可解答．【解答】解：（1）∵边长为a的正方形面积＝a2，边长为a的菱形面积＝ah，∴菱形面积：正方形面积＝ah：a2＝h：a，∵菱形的变形度为2，即＝2，∴“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比＝1：2，故答案为：1：2；（2）∵菱形的边长为1，“形变度”为，∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比为，∴S△ABC＝（36﹣）×＝故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键．三．解答题（共8小题）17．计算：（1）﹣22+﹣2×；（2）．【分析】（1）直接利用二次根式的性质、有理数的乘方运算法则化简，进而得出答案；（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣4+4﹣2×3＝﹣4+4﹣6＝﹣6；（2）原式＝+3+2﹣2﹣（+）＝+3+2﹣2﹣﹣＝5﹣3．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18．如图，在一棵树BC的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m的池塘A处，另一只爬到树顶C后直接一跃，跳到池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树有多高？【分析】设树高为xm，则可用x分别表示出AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到棵树的高．【解答】解：设树高为xm，则CD＝（x﹣10）m，则题意可知BD+AB＝10+20＝30（m），∴AC＝BD+AB﹣CD＝30﹣CD＝30﹣（x﹣10）＝（40﹣x）m，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，∴（40﹣x）2＝202+x2，解得x＝15，答：树高有15m．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出AC，利用勾股定理得到方程是解题的关键．19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别为边AC，BC的中点，连接DE，EF．（1）若∠B＝40°，∠C＝55°，求∠DEF的度数；（2）若AD＝6，BD＝8，CD＝4，求△DEF的周长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据三角形中位线定理得到EF∥AB，根据平行线的性质得到∠CEF＝∠BAC＝85°，根据直角三角形的性质得到DE＝EC，进而得到∠EDC＝∠C＝55°，计算即可；（2）根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理求出EF，根据勾股定理求出AC，根据直角三角形的性质求出DE，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF∥AB，∴∠CEF＝∠BAC＝85°，在Rt△ADC中，E为边AC的中点，∴DE＝AC＝EC，∴∠EDC＝∠C＝55°，∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝70°，∴∠DEF＝85°﹣70°＝15°；（2）在Rt△ADB中，AD＝6，BD＝8，由勾股定理得：AB＝＝＝10，∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF＝AB＝5，在Rt△ADC中，AD＝6，CD＝4，由勾股定理得：AC＝＝＝2，∴DE＝AC＝，∵BD＝8，CD＝4，∴BC＝12，∵F为边BC的中点，∴CF＝6，∴DF＝6﹣4＝2，∴△DEF的周长＝5+2+＝7+．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．20．如图，矩形ABCD中，延长BA到F，使AF＝CD，连接CF和DF，CF交AD于点E．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形．（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由矩形的性质可得AB∥CD，由平行四边形的判定可得结论；（2）由平行线的性质和角平分线的性质可证DE＝CD，由平行四边形的性质可得AE＝DE，可得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，BC＝AD，∴AF∥CD，又∵AF＝CD，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC＝2CD，理由如下：证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∵四边形ACDF是平行四边形，∴AE＝DE，∴BC＝AD＝2DE＝2CD．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．21．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵，∴．例如：∵，∴．这种变形叫做将分母有理化．利用上述思路方法计算下列各式：（1）．（2）计算．【分析】（1）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝（﹣1+﹣+﹣+﹣）×（+1）＝（﹣1）×（+1）＝2023﹣1＝2022；（2）原式＝+﹣＝5﹣++2+4（2﹣3）＝9+2+8﹣12＝10﹣3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若EF＝6，∠HEF＝60°，求EG的长，【分析】（1）由平行四边形的性质得∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，推出BE＝DG，BF＝DH，再证△AEH≌△CGF（SAS），得出EH＝FG，同理△BEF≌△DGH（SAS），得EF＝GH，则四边形EFGH是平行四边形，再证HE＝HG，即可得出结论；（2）连接HF交EG于O，由菱形的性质得EG＝2OE，EG⊥FH，∠FEO＝30°，则OF＝EF＝3，再由勾股定理求出OE＝3，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∵AE＝CG，AH＝CF，∴BE＝DG，BF＝DH，在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；∴EH＝FG同理：△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∴HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG，∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠HEG＝∠HGE，∴HE＝HG，∴平行四边形EFGH是菱形；（2）解：连接HF交EG于点O，如图所示：由（1）可知，四边形EFGH是菱形，∴EG＝2OE，EG⊥FH，∠FEO＝∠HEF＝×60°＝30°，∴OF＝EF＝×6＝3，在Rt△EOF中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，∴EG＝2OE＝2×3＝6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、含30°角直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关