人教版初中数学同步7年级上册第13讲直线、射线、线段(学生版+解析)

第13讲4.2直线、射线、线段直线、射线、线段的概念及表示方法；直线及线段的性质；线段的和差倍分关系。知识点01线段、射线、直线名称不同点联系共同点延伸性端点数线段不能延伸2线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线都是直的线射线只能向一方延伸1直线可向两方无限延伸无点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示，如点A一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l，或者直线AB一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面)，如射线l，射线AB一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l，线段AB点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。②点在直线外，或者说直线不经过这个点。1．如图，在直线l上的点是()A．点A B．点B C．点C D．点D2．下列写法正确的是()A．直线AB、CD交于点m B．直线a、b交于点m C．直线a、b交于点M D．直线ab、cd交于点M3．根据直线、射线、线段的性质，图中的各组直线、射线、线段一定能相交的是()A． B． C． D．4．轩轩同学带领自己的学习小组成员预习了“线段、射线、直线”一节的内容后，对图展开了讨论，下列说法不正确的是()A．直线MN与直线NM是同一条直线 B．射线PM与射线MN是同一条射线 C．射线PM与射线PN是同一条射线 D．线段MN与线段NM是同一条线段5．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是()A．a B．b C．c D．d6．如图所示，图中共有条直线，条射线，条线段．7．图中共有线段条．8．如图，在平面内有A，B，C三点．(1)画直线AB；画射线AC；画线段BC；(2)在线段BC上任取一点D(不同于B，C)，连接AD，并延长AD至点E，使DE＝AD；(3)数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？知识点02线段的性质(1)线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。(2)两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。(3)线段的中点到两端点的距离相等。(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。(5)线段的比较：1.目测法2.叠合法3.度量法9．如图，由A到B有①、②、③的三条路线，最短的路线是①，理由是()A．线段有两个端点 B．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离10．如图，从A地到B地有①，②，③三条线路，最短的线路是.(填序号)11．从甲地到乙地有3条路，但小明说这三条路都不是最短的，小明的依据是：．12．如图，点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是．13．如图，在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小，并简要说明理由．(保留作图痕迹)知识点03直线的性质(1)直线公理：经过两个点有且只有一条直线。(2)过一点的直线有无数条。(3)直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。(4)直线上有无穷多个点。(5)两条不同的直线至多有一个公共点。经过两点有一条直线，并且只有一条直线；两点确定一条直线；点C线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。类似的还有线段的三等分点、四等分点等。直线桑一点和它一旁的部分叫做射线；两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。14．在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．平面上有A，B，C，D四点，经过任意两点画一条直线，最多能画()条直线．A．3 B．4 C．5 D．616．若平面内有三个点A、B、C，过其中任意两点画直线，那么画出的直线条数可能是()A．0，1，2 B．1，2，3 C．1，3 D．0，1，2，317．在平面上有三点，过其中任意两点画直线，可画直线的条数为条．18．用一枚铁钉把一根木条钉在小黑板上，发现细木条可以转动，若把细木条钉稳，至少需要钉2枚钉子，这是因为．19．我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线．若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是；若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是；若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是．知识点04线段的和差倍分关系及大小关系线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。MABM是线段AB的中点AM=BM=AB(或者AB=2AM=2BM)MAB20．如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是()A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定21．下列说法中正确的是()A．若AP＝AB，则P是AB的中点 B．若AB＝2PB，则P是AB的中点 C．若AP＝PB，则P是AB的中点 D．若AP＝PB＝AB，则P是AB的中点22．如图，CB＝4cm，DB＝7cm，点D为AC的中点，则AB的长为()A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm23．如图，C是线段AB的中点，D是CB上一点，下列说法中错误的是()A．CD＝AC﹣BD B．CD＝BC C．CD＝AB﹣BD D．CD＝AD﹣BC24．分别在线段AB的延长线和线段AB的反向延长线上取点C、D，使BC＝AB，AD＝2AB，则AC：BD等于()A． B． C． D．25．如图线段AB＝3cm，延长线段AB到C，使BC＝2AB，那么AC＝cm．26．如图，C是线段BD的中点，AD＝3，AC＝7，则AB的长等于．27．如图，已知B、C在线段AD上．(1)图中共有条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：ACBD(填：“＞”、“＝”或“＜”)；②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．28．如图，已知B、C在线段AD上．(1)图中共有条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：ACBD(填：“＞”、“＝”或“＜”)；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．1．下列各图中，表示“射线CD”的是()A． B． C． D．2．如图，下列给出的四条线段中，最长的是()A．线段a B．线段b C．线段c D．线段d3．下列语句中正确的个数有()①直线MN与直线NM是同一条直线②射线AB与射线BA是同条射线③线段PQ与线段QP是同一条线段④直线上一点把这条直线分成的两部分都是射线A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．过平面上三个点中的任意两点画直线，可以画出的直线共有()A．1条 B．1条或3条 C．1条或4条 D．3条5．如图，点C把线段MN分成两部分，其比为MC：CN＝5：4，点P是MN的中点，PC＝2cm，则MN的长为()A．30cm B．36cm C．40cm D．48cm6．如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD＝6，且AD+BC＝AB，则CD等于()A．10 B．8 C．6 D．47．如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为．8．如图，在直线l上依次有A、B，C三点，则图中线段共有条，射线共有条．9．如图，设图中有a条射线，b条线段，则a+b＝．10．如图，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC＝cm．11．长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB＝1：2，则线段AC的长度为．12．如图，在平面内有A，B，C三点，根据下列语句画图：(1)画直线AC，线段BC，射线AB；(2)在线段BC上任取一点D(不同于点B，C)，连接线段AD；(3)数数看，此时图中线段共有条，写出这些线段．13．如图：A、B、C、D四点在同一直线上．(1)若AB＝CD．①比较线段的大小：ACBD(填“＞”、“＝”或“＜”)；②若BC＝AC，且AC＝12cm，则AD的长为cm；(2)若线段AD被点B、C分成了3：4：5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．14．如图①，已知点M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA运动，运动方向如箭头所示．(1)若AB＝10cm，2＜AM＜4，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，则：AM＝AB．(3)如图②，若AM＝AB，点N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．第13讲4.2直线、射线、线段直线、射线、线段的概念及表示方法；直线及线段的性质；线段的和差倍分关系。知识点01线段、射线、直线名称不同点联系共同点延伸性端点数线段不能延伸2线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线都是直的线射线只能向一方延伸1直线可向两方无限延伸无点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示，如点A一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l，或者直线AB一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面)，如射线l，射线AB一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l，线段AB点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。②点在直线外，或者说直线不经过这个点。1．如图，在直线l上的点是()A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：如图，在直线l上的点是点B．故选：B．2．下列写法正确的是()A．直线AB、CD交于点m B．直线a、b交于点m C．直线a、b交于点M D．直线ab、cd交于点M【解答】解：A．直线AB、CD交于点M，故原说法错误；B．直线a、b交于点M，故原说法错误；C．直线a、b交于点M，说法正确；D．直线AB、CD交于点M，故原说法错误；故选：C．3．根据直线、射线、线段的性质，图中的各组直线、射线、线段一定能相交的是()A． B． C． D．【解答】解：根据直线、射线、线段的延伸性，知C一定能够相交．故选：C．4．轩轩同学带领自己的学习小组成员预习了“线段、射线、直线”一节的内容后，对图展开了讨论，下列说法不正确的是()A．直线MN与直线NM是同一条直线 B．射线PM与射线MN是同一条射线 C．射线PM与射线PN是同一条射线 D．线段MN与线段NM是同一条线段【解答】解：A、直线MN与直线NM是同一条直线，原说法正确，故本选项不符合题意；B、射线PM与射线MN不一定是同一条射线，原说法错误，故本选项符合题意；C、射线PM与射线PN是同一条射线，原说法正确，故本选项不符合题意；D、线段MN与线段NM是同一条线段，原说法正确，故本选项不符合题意；故选：B．5．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是()A．a B．b C．c D．d【解答】解：利用直尺画出图形如下：可以看出线段a与m在一条直线上．故答案为：a．故选：A．6．如图所示，图中共有2条直线，13条射线，6条线段．【解答】解：图中共有2条直线，即直线AB、BC；13条射线，即射线AC、CA、BC、CB、DC、AB、DB，还有6条不可以表示的；6条线段，即线段AB、AD、BD、AC、DC、BC．故答案为：2，13，6．7．图中共有线段10条．【解答】解：由图得，图中的线段有：AB，BC，CD，DE，AC，BD，CE，BE，AD，AE一共10条．故答案为：10．8．如图，在平面内有A，B，C三点．(1)画直线AB；画射线AC；画线段BC；(2)在线段BC上任取一点D(不同于B，C)，连接AD，并延长AD至点E，使DE＝AD；(3)数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？【解答】解：(1)如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；(2)如图，线段AD和线段DE即为所求；(3)图中共有8条线段，6条射线．知识点02线段的性质(1)线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。(2)两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。(3)线段的中点到两端点的距离相等。(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。(5)线段的比较：1.目测法2.叠合法3.度量法9．如图，由A到B有①、②、③的三条路线，最短的路线是①，理由是()A．线段有两个端点 B．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离【解答】解：从A到B有①，②，③三条路线，最短的路线是①，其理由是：两点之间，线段最短，故选：C．10．如图，从A地到B地有①，②，③三条线路，最短的线路是①.(填序号)【解答】解：从A地到B地有①，②，③三条线路，最短的线路是①，其依据是：两点之间，线段最短．故答案为：①．11．从甲地到乙地有3条路，但小明说这三条路都不是最短的，小明的依据是：两点之间线段最短．【解答】解：根据图的信息，三条线路不是最短的，理由是两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．12．如图，点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是两点之间，线段最短．【解答】解：点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．13．如图，在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小，并简要说明理由．(保留作图痕迹)【解答】解：如图．理由：两点之间，线段最短．知识点03直线的性质(1)直线公理：经过两个点有且只有一条直线。(2)过一点的直线有无数条。(3)直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。(4)直线上有无穷多个点。(5)两条不同的直线至多有一个公共点。经过两点有一条直线，并且只有一条直线；两点确定一条直线；点C线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。类似的还有线段的三等分点、四等分点等。直线桑一点和它一旁的部分叫做射线；两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。14．在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识．故选：A．15．平面上有A，B，C，D四点，经过任意两点画一条直线，最多能画()条直线．A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：分三种情况：①四点在同一直线上时，只可画1条．；②当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画4条．；③当没有三点共线时，可画6条．；故选：D．16．若平面内有三个点A、B、C，过其中任意两点画直线，那么画出的直线条数可能是()A．0，1，2 B．1，2，3 C．1，3 D．0，1，2，3【解答】解：如图，可以画3条直线或1条直线，故选：C．17．在平面上有三点，过其中任意两点画直线，可画直线的条数为1或3条．【解答】解：如图所示，分两种情况讨论：①当A、B、C三点不全都在同一直线上时，过其中任意两点可以画三条直线；②当A、B、C三点在同一直线上时，过其中任意两点可以画一条直线；综上所述，可以画出直线的条数有1或3．故答案为：1或3．18．用一枚铁钉把一根木条钉在小黑板上，发现细木条可以转动，若把细木条钉稳，至少需要钉2枚钉子，这是因为两点确定一条直线．【解答】解：要在墙上钉稳一根横木条，至少要钉两个钉子，这样做的根据是两点确定一条直线，故答案为：两点确定一条直线．19．我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线．若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是1；若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是1或3；若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是1或4或6．【解答】解：①根据直线公理：经过两点有且只有一条直线可知：若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是：1；②当三点在同一条直线上时，可以画1条直线，当三点不在同一直线上时，可以画3条．故平面上有三个点，若过两点画直线，则可以画出直线的条数为1或3条．③如图所示：分别根据四点在同一直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线可知：平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为1或4或6．故答案为：1；1或3；1或4或6．知识点04线段的和差倍分关系及大小关系线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。MABM是线段AB的中点AM=BM=AB(或者AB=2AM=2BM)MAB20．如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是()A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定【解答】解：由图可知，A′B′＜AB；故选：C．21．下列说法中正确的是()A．若AP＝AB，则P是AB的中点 B．若AB＝2PB，则P是AB的中点 C．若AP＝PB，则P是AB的中点 D．若AP＝PB＝AB，则P是AB的中点【解答】解：A答案错误，当P点在BA的延长线上时不成立．B答案错误，当P点在AB的延长线上时不成立C答案不成立，没有强调A、B、P三点在同一直线上用排除法得：D答案正确．故选：D．22．如图，CB＝4cm，DB＝7cm，点D为AC的中点，则AB的长为()A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【解答】解：由题意知，CB＝4cm，DB＝7cm，所以DC＝3cm，又点D为AC的中点，所以AD＝DC＝3cm，故AB＝AD+DB＝10cm．故选：D．23．如图，C是线段AB的中点，D是CB上一点，下列说法中错误的是()A．CD＝AC﹣BD B．CD＝BC C．CD＝AB﹣BD D．CD＝AD﹣BC【解答】解：∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC＝AB，A、CD＝BC﹣BD＝AC﹣BD，故本选项正确；B、D不一定是BC的中点，故CD＝BC不一定成立；C、CD＝BC﹣BD＝AB﹣BD，故本选项正确．D、CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，故本选项正确；故选：B．24．分别在线段AB的延长线和线段AB的反向延长线上取点C、D，使BC＝AB，AD＝2AB，则AC：BD等于()A． B． C． D．【解答】解：∵BC＝AB，AD＝2AB，∴设BC＝x，则AB＝2x，AD＝4x．∴AC＝AB+BC＝3x，BD＝AD+AB＝6x．∴AC：BD＝1：2．∴C选项符合题意，故选：C．25．如图线段AB＝3cm，延长线段AB到C，使BC＝2AB，那么AC＝9cm．【解答】解：∵AB＝3cm，BC＝2AB，∴BC＝3×2＝6(cm)，∴AC＝AB+BC＝3+6＝9(cm)．故答案为：9．26．如图，C是线段BD的中点，AD＝3，AC＝7，则AB的长等于11．【解答】解：∵AD＝3，AC＝7∴CD＝4．∵点C是线段BD的中点∴BD＝2CD＝8AB＝BD+AD＝3+8＝11．故应填11．27．如图，已知B、C在线段AD上．(1)图中共有6条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC＝BD(填：“＞”、“＝”或“＜”)；②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．【解答】解：(1)∵B、C在线段AD上，∴图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD．共6条．故答案为：6；(2)①若AB＝CD，则AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．故答案为：＝；②∵AD＝20，BC＝12，∴AB+CD＝AD﹣BC＝8，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴，，∴，∴MN＝BM+CN+BC＝4+12＝16．28．如图，已知B、C在线段AD上．(1)图中共有6条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC＝BD(填：“＞”、“＝”或“＜”)；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．【解答】解：(1)图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6．(2)①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案为：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20(cm)1．下列各图中，表示“射线CD”的是()A． B． C． D．【解答】解：观察图形可知，表示“射线CD”的是．故选：B．2．如图，下列给出的四条线段中，最长的是()A．线段a B．线段b C．线段c D．线段d【解答】解：方法1：用圆规张角间距离比较线段长短，∴线段d最长；方法2：用直尺比较四条线段的长短，∴线段d最长；故选：D．3．下列语句中正确的个数有()①直线MN与直线NM是同一条直线②射线AB与射线BA是同条射线③线段PQ与线段QP是同一条线段④直线上一点把这条直线分成的两部分都是射线A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①直线MN和直线NM是同一条直线，正确；②射线AB和射线BA是同一条射线，不正确，二者端点不同；③线段PQ和线段QP是同一条线段，正确；④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线，分成的两部分少了端点，不正确，综上所述，正确的是①③．故选：B．4．过平面上三个点中的任意两点画直线，可以画出的直线共有()A．1条 B．1条或3条 C．1条或4条 D．3条【解答】解：这3点在一条直线上，可画出1条直线；不在一条直线上可画出3条直线．故选：B．5．如图，点C把线段MN分成两部分，其比为MC：CN＝5：4，点P是MN的中点，PC＝2cm，则MN的长为()A．30cm B．36cm C．40cm D．48cm【解答】解：∵MC：CN＝5：4，∴设MC＝5xcm，CN＝4xcm，∴MN＝MC+CN＝5x+4x＝9x(cm)，∵点P是MN的中点，∴PN＝MN＝xcm，∴PC＝PN﹣CN，即x﹣4x＝2，解得x＝4(cm)，所以，MN＝9×4＝36(cm)，故选：B．6．如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD＝6，且AD+BC＝AB，则CD等于()A．10 B．8 C．6 D．4【解答】解：∵AD+BC＝AB，∴5(AD+BC)＝7AB，∴5(AC+CD+CD+BD)＝7(AC+CD+BD)，∵AC+BD＝6，∴CD＝4，故选：D．7．如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为两点确定一条直线．【解答】解：∵准星与目标是两点，∴利用的数学知识是：两点确定一条直线．故答案是：两点确定一条直线．8．如图，在直线l上依次有A、B，C三点，则图中线段共有3条，射线共有6条．【解答】解：在直线l上依次有A、B，C三点，则图中线段有AB、AC、BC这3条；射线有：射线AC、射线BC、射线BA、射线CA及以点A为端点向左侧延伸、以点C为端点向右延伸的射线，共6条．故答案为：3、6．9．如图，设图中有a条射线，b条线段，则a+b＝12．【解答】解：根据图中可知，共有6条射线，6条线段，即a＝6，b＝6，∴a+b＝6+6＝12．故答案为：12．10．如图，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC＝6cm．【解答】解：CD＝DB﹣BC＝7﹣4＝3cm，AC＝2CD＝2×3＝6cm．故答案为：6．11．长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB＝1