人教A文科数课时试题及解析（7）基本不等式B

PAGEPAGE3课时作业(三十七)B[第37讲基本不等式][时间：35分钟分值：80分]eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．已知a，b∈R，下列不等式中不正确的是()A．a2＋b2≥2abB.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)C．a2＋4≥4aD.eq\f(4,b2)＋b2≥42．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－43．设x，y∈R，且x＋y＝4，则5x＋5y的最小值是()A．9B．25C．50D4．已知0<x<eq\f(1,3)，则x(1－3x)取最大值时x的值是________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．若正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最大值4B．ab有最小值eq\f(1,4)C.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)D．a2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)6．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.eq\f(9,2)D.eq\f(11,2)7．若logeq\r(2)x＋logeq\r(2)y＝8，则3x＋2y的最小值为()A．4B．8C．4eq\r(6)D．8eq\r(6)8．设f(x)＝|2－x2|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是()A．(0,2)B．(0,2eq\r(2))C．(0,4)D．(0，eq\r(2))9．已知函数f(x)＝x＋eq\f(p,x－1)(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．10．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．11．设a＞0，b＞0，且不等式eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．12．(13分)(1)已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求证：eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(a＋b2,x＋y)，指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))))的最小值，指出取最小值时x的值．eq\a\vs4\al\co1(难点突破)13．(12分)如图K37－1，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)设AD＝x(x≥0)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．图K37－1课时作业(三十七)B【基础热身】1．B[解析]对于基本不等式成立的前提条件是a、b必须都非负．2．C[解析]∵x<0，∴－x>0，∴x＋eq\f(1,x)－2＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2·eq\r(－x·\f(1,－x))－2＝－4，等号成立的条件是－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1.3．C[解析]5x＋5y≥2eq\r(5x＋y)＝2eq\r(54)＝50，当且仅当x＝y＝2时，5x＋5y得最小值是50.4.eq\f(1,6)[解析]因为0<x<eq\f(1,3)，所以0<1－3x<1，所以x(1－3x)＝eq\f(1,3)[3x(1－3x)]≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋1－3x,2)))2＝eq\f(1,12)，当且仅当3x＝1－3x，即x＝eq\f(1,6)时，x(1－3x)取得最大值．【能力提升】5．C[解析]由基本不等式，得ab≤eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(a＋b2－2ab,2)，所以ab≤eq\f(1,4)，故B错；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4，故A错；由基本不等式得eq\f(\r(a)＋\r(b),2)≤eq\r(\f(a＋b,2))＝eq\r(\f(1,2))，即eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，故D错．6．B[解析]依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2eq\r(x＋12y＋1)＝6，∴x＋2y≥4，即x＋2y的最小值是4.7．D[解析]由logeq\r(2)x＋logeq\r(2)y＝8，得logeq\r(2)xy＝8，所以xy＝16，且x>0，y>0，所以3x＋2y≥2eq\r(6xy)＝8eq\r(6)，当且仅当3x＝2y，xy＝16时，取得最小值8eq\r(6).故选D.8．B[解析]若0＜a＜b＜eq\r(2)，则有f(a)＞f(b)，与f(a)＝f(b)矛盾；若eq\r(2)＜a＜b，则有f(a)＜f(b)，与f(a)＝f(b)矛盾，故必有0＜a＜eq\r(2)＜b，因此由|2－a2|＝|2－b2|得2－a2＝b2－2，∴a2＋b2＝4，故eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))＝eq\r(2)(a＝b时取等号)，∴0＜a＋b＜2eq\r(2).9.eq\f(9,4)[解析]由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋eq\f(p,x－1)＋1≥2eq\r(p)＋1，当且仅当x＝eq\r(p)＋1时取等号，则2eq\r(p)＋1＝4，解得p＝eq\f(9,4).10．18[解析]由基本不等式得xy≥2eq\r(2)eq\r(xy)＋6，令eq\r(xy)＝t得不等式t2－2eq\r(2)t－6≥0，解得t≤－eq\r(2)(舍去)，或者t≥3eq\r(2)，故xy的最小值为18.11．－4[解析]由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0，得k≥－eq\f(a＋b2,ab)，而eq\f(a＋b2,ab)＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－eq\f(a＋b2,ab)≤－4，因此要使k≥－eq\f(a＋b2,ab)恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.12．[解答](1)证明：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)＋\f(b2,y)))(x＋y)＝a2＋b2＋a2eq\f(y,x)＋b2eq\f(x,y)≥a2＋b2＋2eq\r(a2\f(y,x)·b2\f(x,y))＝(a＋b)2，故eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(a＋b2,x＋y)，当且仅当a2eq\f(y,x)＝b2eq\f(x,y)，即eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)时上式取等号．(2)由(1)得f(x)＝eq\f(22,2x)＋eq\f(32,1－2x)≥eq\f(2＋32,2x＋1－2x)＝25，当且仅当eq\f(2,2x)＝eq\f(3,1－2x)，即x＝eq\f(1,5)时上式取最小值，即f(x)min＝25.【难点突破】13．[解答](1)在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°⇒y2＝x2＋AE2－x·AE.①又S△ADE＝eq\f(1,2)S△ABC⇒eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)x·AE·sin60°⇒x·AE＝2.②将②代入①得y2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))2－2(y＞0)，∴y＝eq\r(x2＋\f(4,x2)－2)(1≤x≤2)．(2)如果DE是水管y＝eq\r(x2＋\f(4,x2)－2)≥eq\r(2·2－2)＝eq\r(2)，当且仅当x2＝eq\f(4,x2