专题2-2 圆与直线：求圆方程切线、相交弦 （解析版）

专题2.2圆与直线：求圆方程，切线、相交弦一、热考题型归纳【题型一】求圆的方程1：求圆基础【题型二】求圆的方程2：外接圆型【题型三】求圆的方程3：内切圆型【题型四】求圆的方程4：有弦长求圆方程型【题型五】求圆的方程5：切线型求圆【题型六】求圆的方程6：最值型求圆【题型七】点与圆位置关系求参【题型八】到直线距离为定值的圆上的点【题型九】直线与圆相交弦长求参【题型十】最短弦应用【题型十一】圆内三角形面积【题型十二】圆内四边形面积【题型十三】原切线【题型十四】圆外点切线【题型十五】切点弦【题型十六】切点弦长及其最值二、培优练热点考题归纳【题型一】求圆的方程1：求圆基础【典例分析】1.．（2022秋·湖南衡阳·高二校考期中）关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于的奇数都是三个素数之和，如，.若从中任取个不同的素数组成点，其中，且组成的所有点都在圆上，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据所有可能的结果，利用向量垂直的坐标表示可证得，由此可得圆心为中点，并求得半径，由圆心和半径可得圆的标准方程.【详解】由题意知：所有可能的结果为：，，，，，，则，圆的圆心为中点，半径，圆的标准方程为：.故选：D.2.（2022·全国·高三专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（

）A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝0【答案】A【分析】设所求圆的方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，用λ表示出圆心，代入直线x-y-4＝0，求出λ，从而可求出所求圆的方程．【详解】根据题意知，所求圆经过圆x2+y2+6x-4＝0和圆x2+y2+6y-28＝0的交点，设其方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圆心坐标为，，又由圆心在直线x-y-4＝0上，所以--4＝0，解得λ＝-7，所以所求圆的方程为：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，故选：A．【提分秘籍】圆的一般方程表示的圆的圆心为，半径长为．【变式演练】1.（2023春·陕西榆林·高二校联考期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆经过点，，可得线段的中点为，又，所以线段的中垂线的方程为，即，由，解得，即，圆的半径，所以圆的方程为.故选：A.2.（2022·高二课时练习）某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据圆的平面几何性质可知圆心在的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求出半径即可得解.【详解】因为圆经过两点，所以圆心在中垂线上，联立解得圆心，所以圆的半径，故所求圆的方程为，故选：D3.（2021·高二课时练习）在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点、，圆经过、，且圆心在轴上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】求出点、的坐标，设圆心坐标为，由可求出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆的方程.【详解】易知，直线交轴于点，交轴于点，设圆心的坐标为，由可得，解得，所以，圆的半径为，因此，圆的方程为，即为.故选：A.【题型二】求圆的方程2：外接圆型【典例分析】1.（2021·全国·高二单元测试）过点作圆两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则的外接圆方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由切线性质得O、A、B、P四点共圆，为直径，求得圆心坐标和半径可得圆方程即为所求．【详解】由题意知O、A、B、P四点共圆，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为.故选：A.2.（2022·江苏·高二课时练习）已知中，，，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为______．【答案】【分析】圆心到点的距离即为半径，可得到外接圆的方程，联立圆的方程与直线的方程，得到点坐标，利用直线方程两点式即可求解.【详解】因为的外接圆圆心为，所以的外接圆半径为，即的外接圆方程为．联立，解得，或，所以或（与点重合），舍，所以直线的方程为，即．故答案为：.【提分秘籍】圆的标准方程：圆心为，半径长为r的圆的标准方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2

当时，方程为，表示以_原点O为圆心、半径为r的圆．【变式演练】1.（2021·全国·高二专题练习）已知三角形的三边所在直线为，，，则三角形的外接圆方程为________【答案】【解析】先由三条直线两两联立，求出三角形的三个顶点坐标，再设所求圆的一般方程，根据待定系数法，即可求出结果.【详解】由解得；由解得；由解得；根据题意，可得所求圆的方程过点，，，设所求圆的方程为，则，解得，即所求圆的方程为.故答案为：.2.（2022·全国·高二课时练习）已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A（2a，2），B（－4，a），C（2a＋2，2），则△ABC的外接圆的方程是________．【答案】（x＋3）2＋y2＝5【解析】先根据已知求出a=-2,再求出外接圆的半径和圆心坐标，即得解.【详解】由题意，得2a＝－4，∴a＝－2，∴△ABC外接圆的半径为,圆心为（－3，0），∴△ABC外接圆的方程为（x＋3）2＋y2＝5.故答案为：（x＋3）2＋y2＝5.3.（2021·全国·高二专题练习）已知曲线与x轴交于M，N两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设外接圆的方程为，分别令，结合韦达定理求得D,E,F,代入即可求得圆的方程.【详解】设外接圆的方程为，点Q是的外接圆与y轴的另一个交点，分别令，则，．设，则，又曲线与x轴交于M，N两点，则，，，，，所以，，故外接圆的方程．故选：C.【题型三】求圆的方程3：内切圆型【典例分析】1.（2018·江苏省如皋中学高三阶段练习）已知圆C：，不经过点C的直线：与圆C相交于，二点，求的内切圆的面积最大值为__________.【答案】【分析】如图，设三角形内切圆的圆心为点,设内切圆的半径为,再通过分析得到当最大时，点C到直线AB的距离CE=CD+DE最大.由题得当时，点C到直线AB的距离最大，再根据三角形的内切圆性质求出内切圆的半径即得解.【详解】如图所示，设三角形内切圆的圆心为点,因为AC=BC,所以.设内切圆的半径为,在直角三角形中，最大，则两圆的圆心距CD最大，因为DE=DF,所以当最大时，点C到直线AB的距离CE=CD+DE最大.因为直线过定点（0,1），圆C（1,0），当时，点C到直线AB的距离最大，此时点C到直线AB的距离为，直线AB的斜率为，.由△ABC的内切圆得所以的内切圆的面积最大值为.故答案为：2.（2018·山西·太原五中高二阶段练习（文））如果三角形的顶点分别是，，，那么它的内切圆方程是______.【答案】【分析】利用截距式求得的方程为.设内切圆的圆心为，且，则半径为后，求得的值，可得圆心和半径，从而求得它的内切圆方程.【详解】利用截距式求得的方程为，即.∵为直角三角形，∴设内切圆的圆心为，且，则半径为，解得，∴圆心为，半径为3，故内切圆方程是.故答案为：.【提分秘籍】三角形内切圆，是三角形内角角平分线的交点。可以通过过角平分线上点到两边距离相等来进行求解【变式演练】1.（2022·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知三点，，，则的内切圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合题意设出圆心，再利用圆心到直线与到直线的距离相等列出一个等式，即可求出圆心，即可进而求出半径，得到答案.【详解】易知是等腰三角形，且，∴圆心在直线上，设圆心，易得直线的方程为，直线的方程为，则，解得，则内切圆的半径为，∴所求圆的方程为.故选：D.2.（2022·全国·高二单元测试）已知三角形三边所在直线的方程分别为、和，求这个三角形的内切圆圆心和半径．【答案】圆心；半径为.【分析】由三角形所在位置设出其内切圆圆心坐标，利用三角形内切圆性质列方程，求解作答.【详解】依题意，由得直线与的交点，由得直线与的交点，由得直线与的交点，显然，且，即是等腰直角三角形，则直线平分，设的内切圆圆心为，，则，解得，即，半径，所以这个三角形的内切圆圆心和半径分别为圆心，.【题型四】求圆的方程4：有弦长求圆方程型【典例分析】1.（2020·全国·高三专题练习）若圆过点，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为A．或B．或C．或D．或【答案】A【详解】由于圆过点，故圆心在直线上，设圆心坐标为，由圆的弦长公式得，解得，或.故圆心为或，半径为为或，故选.【点睛】本题主要考查圆的方程的求解，考查数形结合的思想方法，考查利用圆的弦长公式和弦长求参数的值.题目知道圆上两个点，根据圆的对称性可判断出圆心的纵坐标，设出圆心的坐标，利用两点间距离公式得到半径的表达式，利用弦长公式建立方程，由方程解出圆心的横坐标.2.．（2022秋·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考期中）已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】由题意设圆的标准方程为，由圆与直线相切得，在由圆截直线的弦长为得，联立解出即可解决问题.【详解】由题设所求圆的圆心为，半径为，标准方程为因为圆与直线相切，所以有圆心到该直线的距离为半径，即：，也即

①又圆截直线的弦长为，设圆的圆心为到直线的距离为，所以，由有

②联立①②可得：，所以所求得圆的标准方程为故选：C.【提分秘籍】直线与圆相交时的弦长求法几何法利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2解题代数法若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式法设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])【变式演练】1.（2021秋·河北衡水·高三校考期中）不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由曲线方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得的值，从而得到直线方程，进而得到与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程.【详解】曲线的方程可整理为：，则曲线为圆心为，半径为的圆；圆心到直线的距离，，解得：或，又不经过坐标原点，，即，与坐标轴的交点坐标为，，直线与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为中点，半径，所求外接圆方程为，即.故选：A.2.2019秋·江西南昌·高二江西师大附中校考阶段练习）已知圆的圆心坐标为，且轴被截得的弦长为，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知条件可知圆心到轴距离为，运用勾股定理和弦长公式求出圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】已知圆的圆心坐标为，则圆心到轴距离为，又因为轴被截得的弦长为，则运用勾股定理可得，所以圆的方程为.故选：.【题型五】求圆的方程5：切线型求圆【典例分析】1．（2020·北京·高三专题练习）已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设圆心，利用点到直线距离可构造方程求得，根据点的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程.【详解】∵圆的圆心在直线上，则可设，∵圆与轴正半轴相切与点，且圆的半径，.到直线的距离，，解得：或，或，在直线的左上方，，，，∴圆的标准方程为：.故选：D.2.（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）过、两点，且与直线相切的圆的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析可知，圆心在直线上，设圆心为，根据圆与直线相切以及圆过点可得出关于的等式，解出的值，即可得出所求圆的方程.【详解】因为、，则线段的垂直平分线所在直线的方程为，设圆心为，则圆的半径为，又因为，所以，，整理可得，解得或，当时，，此时圆的方程为；当时，，此时圆的方程为.综上所述，满足条件的圆的方程为或.故选：C.【提分秘籍】求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.【变式演练】1.（2022秋·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校考期末）圆心在x轴负半轴上，半径为4，且与直线相切的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，设圆心为坐标为，，由直线与圆相切的判断方法可得圆心到直线的距离，解得的值，即可得答案．【详解】根据题意，设圆心为坐标为，，圆的半径为4，且与直线相切，则圆心到直线的距离，解得：或13（舍，则圆的坐标为，故所求圆的方程为，故选：A2.（2022秋·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知直线xy+4＝0与圆心为（2，0）的圆C相切，则圆C的方程为（

）A．（x﹣2）2+y2＝3 B．（x﹣2）2+y2＝9C．（x+2）2+y2＝3 D．（x+2）2+y2＝9【答案】B【分析】求出点(2,0)到直线xy+4＝0的距离，可得出圆C的半径，进而可求得圆C的方程.【详解】由于直线xy+4＝0与圆C相切，则圆C的半径，因此，圆C的方程为故选：B3.（2021秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）已知半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】设圆的方程为，解方程即得解.【详解】由题意可设圆的方程为，则根据两圆内切，得，所以，所以，即圆的方程为或．故选：D【题型六】求圆的方程6：最值型求圆【典例分析】1.（2022·高二课时练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出过圆心与直线垂直的直线方程，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离可得所求圆的半径，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，利用、可得答案.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的上，所以，且，解得（不符合题意，舍去），故所求圆的方程为.故选：C．2.（2022·全国·高二专题练习）已知圆C的半径为，其圆心C在直线上，圆C上的动点P到直线的距离的最大值为，则圆C的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直线方程可知恒过定点，结合条件可得圆心C到直线的距离的最大值为，由几何知识可知CA垂直直线时，圆心C到直线的距离的最大，利用两点间距离公式即求.【详解】∵直线，∴，令，得，∴直线恒过定点，∵圆C上的动点P到直线的距离的最大值为，∴圆心C到直线的距离的最大值为，又圆心C在直线上，∴可设，当直线CA垂直直线时，圆心C到直线的距离的最大，∴，解得，故圆心，∴圆C的标准方程为.故选：A.【变式演练】1.（2020·全国·高三专题练习）圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为A． B．C． D．【答案】C【详解】圆心在曲线上，设圆心坐标为，半径，当半径最小时，圆的面积最小，由基本不等式得，当a=1时等号成立，此时半径的最小值为，故圆的面积最小时，圆心为，半径为，所以圆的方程为，故选：C2.（2021·高二课时练习）已知过点(0，2)的圆的圆心在直线上，则圆的面积最小时圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用点到直线的距离求出半径的最小值，由两直线的交点坐标求出圆心坐标，从而得到圆的方程；【详解】解:据题设分析知，圆半径的最小值，此时圆的圆心为直线与直线（直线)的交点．联立方程，解得，所以所求圆的方程是故选：A3.（2021·山东·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（

）A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16【答案】B【分析】先求得直线恒过点P(－1，2)，因此圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大，由此可求得圆的方程得选项.【详解】由整理得，所以直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2)，如图．所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选：B.【题型七】点与圆位置关系求参【典例分析】1.（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得；由点在圆的外部可知：，得.故.故选：C2.（2023秋·甘肃酒泉·高三统考期末）若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式求解，并注意方程表示圆所满足的条件.【详解】因为点在圆：的外部，所以，解得，又方程表示圆，所以，解得，故实数a的取值范围为．故选：C【提分秘籍】点与圆的关系求参数，若点在圆内，则点到圆心的距离小于半径；若点在圆上，则点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，则点到圆心的距离大于半径，判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知点在圆的外部（不含边界），则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】本题首先可根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点到圆心的距离大于半径，最后根据两点间距离公式即可得出结果.【详解】圆，即，圆心，半径，因为点在圆的外部，所以点到圆心的距离大于半径，即，解得，故选：B.2.（2020秋·河北邯郸·高二校联考期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将已知圆的方程化为标准方程，找出圆心的坐标和半径，并求出满足圆成立的条件时的范围，利用两点间的距离公式求出的值，比较和半径的大小关系，列出关于的不等式，即可求得答案.【详解】把圆的方程化为标准方程为：，可得圆心的坐标为，半径，且，即.根据题意点在圆外，即，即有，整理可得，即，计算可得或，又，可得或，则实数的取值范围是.故选:.3.（2019秋·贵州贵阳·高二统考阶段练习）已知圆，若过点可作圆的两条切线，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出方程是表示圆的范围，根据条件点在圆外，代入圆方程左式大于零，再求出可的取值范围，二者取交集，即为所求的结果.【详解】，化为，方程表示圆故或

①过点可作圆的两条切线，故在圆外，

②由①②可得，的取值范围是或.故选：B【题型八】到直线距离为定值的圆上点求参【典例分析】1．（2023·河北唐山·模拟预测）已知直线，圆，若圆上恰有三个点到直线的距离都等于，则（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【分析】由于圆心到直线的距离为，根据圆上恰有三个点到直线的距离等于，可以得到圆心到直线的距离，可得半径的值.【详解】圆心，则点C到直线的距离，又因为圆C上恰有三个点到直线的距离为，所以圆心到直线的距离，即.故选：C．2.（2023·全国·高二专题练习）已知直线和圆，则“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆心的距离范围即可求解.【详解】圆的方程可化为，其圆心坐标为，半径为，当时，直线，圆心到直线的距离，此时圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，故充分性成立；当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1时，圆心到直线的距离，所以，解得，故必要性成立，所以“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的充要条件.故选：C.【提分秘籍】解决圆上点到直线距离为定值的点的个数，可以以下几个图形来理解和计算.注意，不同的数据，图形会有出入，思维不变。【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）若圆上恰有一个点到直线的距离为1，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，因为圆上恰有一个点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离为3，所以有.故选：A.2.（2023秋·山东·高二山东师范大学附中校考期末）若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作图，根据几何意义分析求解.【详解】如图，与直线平行的距离为1的直线有2条：，圆C：的圆心是，依题意及图：圆与必有2个交点，与相离，圆心C到的距离，；故选：C.3.（2023春·甘肃张掖·高二统考阶段练习）若圆上存在四个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】根据圆的标准方程得到圆心、半径，由题设可知到的距离，即可求m的取值范围.【详解】由题设，且半径，又圆上存在四个点到的距离为，∴到的距离，可得.故选：C【题型九】直线与圆相交弦长求参【典例分析】1．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）直线与圆相交于、两点，若，则等于（

）A．0 B． C．或0 D．或0【答案】D【分析】求出到圆心的距离和圆心到直线的距离，即可求出的值.【详解】由题意，∵，∴到圆心的距离为，∴圆心到直线的距离为：，即.解得：或，故选：D.2.（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知过坐标原点的直线l与圆相交于M，N两点，当线段MN的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（

）A．12 B．13 C．25 D．26【答案】C【分析】确定圆心和半径，求得MN的长的最小值和最大值，确定满足题意的所有整数值的个数，结合圆的对称性，即可确定答案.【详解】由题意知的圆心为，半径为，当直线l经过圆心时，MN最长，此时；当直线l与圆心和原点的连线垂直时，MN最短，此时，；故的范围为，由于，则包含共13个整数，其中为的最小值，此时l只有一条，取其他整数时，对应的直线l皆有2条，这2条直线关于直线对称，如图，

故当线段MN的长为整数时，所有满足条件直线的条数为，故选：C【提分秘籍】位置关系相交相切相离公共点个数2个_1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离D<rD=rD>r代数法：由消元得到一元二次方程的判别式>0=0<0【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）若直线与直线被圆截得的弦长之比为，则圆C的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圆心分别到两条直线的距离，根据勾股定理求出两条直线被圆截得的弦长，根据弦长之比为列式求出，可得圆的半径，从而可得圆的面积.【详解】圆C的标准方程为，所以圆心到直线的距离为，到直线的距离分别为，所以直线被圆截得的弦长为，直线被圆截得的弦长为，由题意可得，解得，满足，所以圆C的半径为，面积为.故选：B．2.．（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）已知直线是圆的一条对称轴，设直线与轴的交点为，将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，则直线被圆截得的弦长为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由条件求列方程求，确定圆心坐标，圆的半径，再求圆心到直线的距离，利用弦长公式求直线被圆截得的弦长.【详解】根据题意，得点在直线上，所以，所以，故圆的圆心坐标为，半径为，由直线得直线与轴的交点为，所以，所以圆心到直线的距离为，故直线被圆截得的弦长为.故选：C.3.（2022秋·江苏南通·高二统考期中）已知圆，圆，过点两条互相垂直的直线，，其中与圆交于A，B，与圆交于C，D，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先写出过定点的两条直线方程，并求得圆心到对应直线的距离，结合弦长公式，，以及，列式求直线的斜率，最后求弦长的值.【详解】设，到直线AB，CD的距离分别为，，若过定点的直线分别为和，则，不满足条件，当两直线的斜率都存在时，设直线，斜率分别为，，则，直线，方程分别为，，由点到直线距离公式可得：,，又，，整理可得，所以．故选：A【题型十】最短弦应用【典例分析】1.（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）圆被过点的直线截得的最短弦长为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据点与圆、直线与圆的位置关系即可求得最短弦长.【详解】圆，圆心，半径所以，故点在圆内，则当直线垂直于过C，P的直径时，最短弦长.故选：C.2.（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（

）A．5 B．4 C．10 D．2【答案】C【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可.【详解】由，，即过定点，由得，半径，则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小，最小值为.故选：C

【提分秘籍】过圆内定点，最长弦为直径，最短的弦是垂直于过该店直径的弦。【变式演练】1.（2023春·江苏常州·高一华罗庚中学校考期末）若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简直线方程化为，得到直线恒过定点，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题意，直线可化为，当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点，由圆的方程知，圆心为，半径，当直线时，取得最小值，且最小值为，如图，此时弦长对的圆心角一半的正切值为，故圆心角为，所以劣弧长为.故选：B.2.（2019秋·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习）已知直线l：和圆C：相交于A，B两点，则弦长的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】首先确定直线所过的定点，判断定点与圆的位置关系，进而确定弦长最小时定点与圆心所在直线与已知直线的位置关系，应用几何法求弦长最小值.【详解】由题设，，则，得，即直线l过定点，又，即在圆C内，且圆C中圆心，半径为2，故时，直线与圆的相交弦最短，而，所以弦长的最小值.故选：B3.（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知点，，若直线关于的对称直线与圆：交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线关于直线的对称直线，由于直线恒过点，当且仅当时，圆心到直线的距离最大，取最小值可得答案.【详解】∵，∴直线关于直线的对称直线为，可得，即直线恒过点，由得点在圆内，圆：的圆心，圆的半径为，当且仅当时，圆心到直线的距离最大，取最小值，由，得，所以：，圆心到直线的距离，.故选：C.【题型十一】圆内三角形面积【典例分析】1.（2022秋·江西·高二统考阶段练习）已知直线与圆相交于，两点，则的面积为（

）A．2 B． C． D．与有关的不确定值【答案】C【分析】计算圆心到直线的距离，，再计算面积得到答案.【详解】圆心到直线的距离，..故选：C2.（2021秋·福建龙岩·高二校联考期中）设直线与圆相交于、两点，且的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形的面积公式可求得，可得出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求得的值.【详解】由三角形的面积公式可得，可得，，故，则为等腰直角三角形，所以，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得.故选：D.【变式演练】1.（2022秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知直线与圆相交于、两点，点在圆上，且满足，则满足条件的点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题首先可确定圆心与半径，然后求出圆心到直线的距离以及弦长，再然后求出点到直线的距离，最后根据两侧圆上的点到直线的最大距离分别为和即可得出结果.【详解】，，圆心，半径，则圆心到的距离，弦长，设点到的距离为，则，解得，因为两侧圆上的点到直线的最大距离分别为和，所以满足条件的点个数为，故选：D.2.（2016秋·云南大理·高二阶段练习）设直线与圆相交于两点，若，则圆的内接正三角形的面积为(

)A．4 B．8 C． D．【答案】C【分析】根据题意求解圆心到直线的距离，利用弦长公式求解的值，进而得到圆的半径，即可得到内接正三角形的边长，即可求解其面积.【详解】解：圆心到直线的距离为，圆的半径，根据直线与圆相交的弦长公式，所以有：，解得：，所以圆的半径为．设该圆的内接正三角形的边长为，则，所以，所以正三角形的面积为.故选：C3.（2022秋·辽宁大连·高二大连八中校考期末）直线与圆相交于两点M，N，若满足，则．【答案】【分析】由点到直线的距离公式，结合已知可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得,然后可解.【详解】因为，所以，所以，圆心到直线的距离因为，所以，所以故答案为：【题型十二】圆内四边形面积【典例分析】1.（2021秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与圆交于，两点，已知四边形为菱形，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】四边形为菱形，则对角线与垂直平分，易得线段OC中点在直线上，从而得到直线方程，进而利用垂径定理，即可得到结果.【详解】圆，圆心，半径，若四边形为菱形，则对角线与垂直平分，记，则，又在直线上，∴，即，∴直线AB为：∴C到直线距离为：，∴，故选：A2.（2021秋·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）过圆内一点作两条相互垂直的弦AB和CD，且，则四边形ACBD的面积为（

）．A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【分析】结合圆的几何性质以及勾股定理求得，由此求得四边形的面积.【详解】圆即，圆心为，半径.在圆内.，设分别是的中点，则，由于，所以四边形是正方形，所以，所以，所以四边形的面积为.故选：D【变式演练】1.（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，计算出、，即可求得四边形的面积.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，，故点在圆内，如下图所示：则，过点的弦过圆心时，弦长取最大值，即，当过的弦与垂直时，弦长取最小值，即，此时，此时，四边形的面积为.故选：C.2.（2021·江苏·高二专题练习）若过原点O的动直线l将圆分成两部分的面积之差最大时，直线l与圆的交点记为A，B，直线l将圆E分成两部分的面积相等时，直线l与圆的交点记为C，D，则四边形ACBD的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得当直线时，弦AB将圆E分成两部分的面积之差最大，当直线l过圆心即与OE重合时，直径CD将圆E分成两部分的面积相等，进而得出四边形ACBD的面积.【详解】当直线l过圆心即与OE重合时，直径CD将圆E分成两部分的面积相等.如图所示，连接，设，过作的垂线，垂足为，则为的中点且.故，故即，由四边形可得记劣弧弓的面积为，，则弦AB将圆E分成两部分的面积之差为：，因为在上为减函数，故在为减函数，故当时，弦AB将圆E分成两部分的面积之差最大.此时与重合，即.圆心到原点O的距离为，半径为，所以，因为，所以.故选:A.3.（2022秋·福建泉州·高二校考期中）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化圆的方程为标准方差，求出圆心M的坐标与半径，最长的弦即为圆的直径，最短的弦和垂直，且经过点O，由垂径定理求得，从而可求四边形的面积.【详解】化圆为，可得圆心坐标为,半径为3.由圆的性质可得，最长的弦即圆的直径，故.因为，所以.弦最短时，弦与垂直，且经过点O,此时.故四边形的面积为.故选:B.【题型十三】圆切线【典例分析】1．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）圆在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案.【详解】因为，所以在圆上，的圆心为，故，设圆在点处的切线方程斜率为，故，解得，所以圆在点处的切线方程为，变形得到，即.故选：A2.（2023·全国·高二专题练习）已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用过圆上点的切线的性质可得，利用点表示出切线方程，结合l的横纵截距相等，即得解【详解】由题意，点在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；点在圆上，故，即故直线l的方程为：令令当l的横纵截距相等时，又解得：即，即故选：A【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知圆，直线l过点且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为M､N，则（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】由点在圆上，所以点为切点，利用圆的切线和圆心于切点的连线垂直，可求得斜率，利用点斜式即可求得切线方程，再求点的坐标，利用两点间距离公式即可得解.【详解】解：由圆，得圆心，半径，又因为为切点，所以，所以直线的斜率为，所以，即直线，则令，则，故选：C.2.（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆的圆心，半径.因为，所以点在圆上，所以过点的圆的切线与直线垂直，设切线的斜率，则有，即，解得.因为直线与切线垂直，所以，解得.故选：B.3.（2020·全国·高三专题练习）过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由直线与圆相切，得到切线方程，令直线方程中的可得答案.【详解】当直线与x轴垂直时，则与圆不相切，不垂直时，设直线方程为，因为与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以直线方程为，当时，.故选：D.【题型十四】圆外点切线【典例分析】1.．（2023春·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）过点向圆引切线，则其切线方程为.【答案】或【分析】根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，然后结合点到直线的距离公式，即可得到结果.【详解】当切线斜率不存在时，切线方程为，当切线斜率存在时，设切线方程为，即，再根据圆心到切线的距离等于半径可得，解得，此时切线方程为.故答案为：或2.（2022·全国·高三专题练习）已知曲线y=与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是．【答案】【分析】先化简曲线方程得到曲线为以为圆心，半径为1的上半圆，直线恒过点，画出图像，求解两个临界状态，过和两点的直线斜率，以及设过且与半圆相切的直线斜率，数形结合即得解【详解】由曲线可得为以为圆心，半径为1的上半圆直线kx−y+k−1=0过点，如图过和两点的直线斜率；设过的直线与半圆相切，结合图像可知，显然斜率存在，故圆心到直线的距离等于半径，即解得或（舍去，与下半圆相切）结合图像，故要使曲线y=与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是故答案为：【提分秘籍】点(x0，y0)在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知圆和圆，则过点且与都相切的直线方程为.（写出一条即可）【答案】或（写出一条即可）【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可.【详解】若过M的切线斜率不存在，即为，此时显然与两圆都相切；若过M的切线斜率存在，不妨设为，则到的距离分别为，即.综上过M与两圆都相切的直线为：或故答案为：或（写出一个即可）2.（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知圆C:，直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，则满足上述条件的直线l共有条.【答案】4【分析】画出圆的图像，根据图像观察可得答案.【详解】由已知圆C：，圆心，半径作出圆的图像如下：根据图像观察可得：存在4条直线与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等其中是过坐标原点的直线，是斜率为-1的直线故答案为：4.3.（2011秋·广东梅州·高三统考期末）已知直线经过坐标原点，且与圆相切，切点在第四象限，则直线的方程为.【答案】【分析】首先根据直线经过坐标原点将直线设为，然后根据直线与圆相切即可得到算式，再然后通过切点在第四象限即可得出直线的方程．【详解】设直线的斜率为，因为直线经过坐标原点，所以令直线的方程为，即，因为直线与圆相切，所以直线到圆心的距离等于半径，圆的方程为，即，圆心，半径为，，，，所以直线方程为，因为切点在第四象限，所以直线方程为．【题型十五】切点弦【典例分析】1.（2021·全国·高二课时练习）已知圆,过直线上第一象限内的一动点作圆的两条切线，切点分别为,过两点的直线与坐标轴分别交于两点，则面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由切线的性质，结合四点共圆判断可得O，A，M，B四点共圆，求得圆方程，由两圆方程相减可得相交弦AB方程，由题意可得面积，结合基本不等式求得最值.【详解】因为AB为切点，所以OA⊥AM，OB⊥BM，所以O，A，M，B四点共圆，设M（，），则其圆心O'（，），方程为（x）2+（y）2，整理得x2+y2﹣xx0﹣yy0＝0，与圆O：x2+y2＝1的方程作差得x+y＝1，又AB是圆O与圆O'的公共弦，即直线AB的方程为x+y＝1，又过两点的直线与坐标轴分别交于两点，得P（，0）Q（0，），又+＝2，∴，当且仅当=＝1等号成立，则面积为，∴面积的最小值为故选：B.2.（2021·江西·高三阶段练习（文））已知圆О的方程为，过圆О外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平面几何知识可知点O，A，P，B在以OP为直径的圆上，求出该圆的方程，再将两圆的方程相减，即可得到直线AB的方程．【详解】由题意知点O，A，P，B在以OP为直径的圆上，易求该圆的方程为，AB为圆与圆的公共弦，将这两圆的方程相减，得，即AB的方程为.故选：B．【提分秘籍】切点弦方程求解，可以有如下两种思路1.公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.【变式演练】1.（2021·安徽·合肥市第八中学高二阶段练习（理））过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由可得圆心，设点，根据题意可得点在以为直径的圆上，求出该圆的方程与已知圆的方程相减即可求解.【详解】由可得圆心，设点，则，因为，是圆的两条切线，切点分别为，所以，，所以点在以为直径的圆上，圆心为设为中点，半径为，所以圆的方程为，而直线为两圆公共弦所在的直线，由可得，由可得，两圆方程相减可得：，所以直线的方程为，故选：A.2.（2022·江苏·高二课时练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】考虑斜率不存在和斜率为0的两种情况，计算切点，得到切线方程.【详解】，即，圆心为，半径.当斜率不存在时，直线与圆相切，切点为；当斜率为0时，直线与圆相切，切点为.故直线方程为斜率，直线方程为，即.故选：A.3.（2021·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案．【详解】根据题意，设为直线上的一点，则，过点作圆的切线，切点分别为、，则有，，则点、在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为C，，半径，则其方程为，变形可得，联立，可得圆C和圆O公共弦AB为：，又由，则有，变形可得，则有，解可得，故直线恒过定点，点在圆上，则点到直线距离的最大值为．故选：B．【题型十六】切点弦长及其最值范围【典例分析】1.（2022秋·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为，则（

）A．2 B． C． D．7【答案】D【分析】根据题意，得到直线过圆心，求得，得到，结合圆的弦长公式，即可求解.【详解】由圆，可得，所以圆心，半径为，又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心，即，解得，即，则，所以切线长为.故选：D.2.（2023·全国·高二课堂例题）若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】可以用两种方法求最小值：（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，利用函数求最值；（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．【详解】方法一：由，得，依题意得圆心在直线上，即，整理得

①．易知由点向圆所作的切线长

②，将①代入②，得．又，所以当时，．方法二：因为过圆外一点的圆的切线长、半径和该点到圆心的距离满足勾股定理，即，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意知圆心，半径，点满足，即点在直线上；所以点与圆心的距离的最小值即圆心到直线的距离，易求得，所以切线长的最小值为．故选：C【提分秘籍】切点弦长问题，多通过切点三角形，转化为到圆心的距离问题【变式演练】1.（2023·全国·高三对口高考）已知点，动圆C与直线切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点满足的条件是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】设分别与圆C相切于Q、R,根据圆的切线长定理,可推出.【详解】由已知,设分别与圆C相切于Q、R,根据圆的切线长定理,有,，所以或.

故选：C2.（2023·全国·高二专题练习）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.【详解】圆：中，圆心，半径设，则，则,当时，，故选：C3.．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐八一中学校考期末）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，则最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据圆的性质结合条件可得四边形的面积为，然后利用点到直线的距离即得.【详解】圆C：的圆心为，半径，因为四边形的面积为，所以当四边形的面积最小时，取得最小值，此时最小，此时与直线垂直，因为到直线的距离为，所以，所以最小值为4.故选：B.一、单选题1．（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长．【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，

则，设点，由，得，化简并整理得：，于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为，所以M点的轨迹长为.故选：A.2．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知O为坐标原点，过点作直线（不全为零）的垂线，垂足为，当变化时，的最小值为（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】根据题意，得到直线恒过点，结合，求得点的轨迹方程，结合点与圆的位置关系，即可求解.【详解】因为直线，可得，由方程组，解得，即直线恒过点，有因为过点作直线的垂线，垂足为，设，可得，所以，可得，整理得，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，又由，所以.故选：B.3．（2021秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用圆的性质及“将军饮马”模型计算最值即可.【详解】

如图所示，易知，两圆半径分别为，取点关于横轴的对称点A，则，在横轴上任取一点，连接，连接交横轴于P，交圆于E(圆上靠近横轴一点)，连接交圆于F(圆上靠近横轴一点)，则，当且仅当，，对应重合时等号成立，此时的最小值为.故选：D4．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为径的圆C与直线交于另一点.若，则A点的横坐标为（

）A． B．3 C．3或 D．2【答案】B【分析】由已知得，求得的方程，进而得，设，则，从而根据平面向量的数量积求出结果.【详解】如图，由已知得，则，所以的方程为．

由解得．设，则，从而．所以，解得或．又，所以，即点A的横坐标为3．故选：B．5．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省阜南实验中学校考开学考试）已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再求出点P到直线距离的最大值作答.【详解】圆的圆心，半径，直线的方程为：，于是点到直线：的距离，而点在圆上，因此点到直线距离的最大值为，又，所以面积的最大值为.故选：D

6．（2023春·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知，是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分，数形结合求出的最大值和最小值，进而求出比值.【详解】化简得，由，得.因为，所以或.当时，；当时，.所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.根据圆的性质知：当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是.

故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过分类讨论得到曲线的具体情况，结合图形，利用圆的性质，得到线段和的最值，即可得到它们的比值.7．（2023·全国·高二专题练习）已知，为圆上两个不同的点（为圆心），且满足，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律求解作答.【详解】依题意，，由，得，解得，所以.故选：C8．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（

）A．13 B．11 C．9 D．8【答案】D【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，

圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1，可知，所以，故求的最小值，转化为求的最小值，设关于直线的对称点为，设坐标为，则，解得，故，因为，可得，当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.9．（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出圆关于直线的对称圆的方程，由对称圆与圆有公共点可得答案．【详解】圆的圆心为，设关于直线的对称点为，所以，解得，关于直线的对称点为，由题意得，以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点，所以，解得：.故选：B．

10．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根据题意可得点在圆内部和圆周上，点的轨迹是以的直径的圆，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，则，易得，再结合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案.【详解】因为，设动点满足，所以点在圆内部和圆周上，因为动点满足，所以点的轨迹是以的直径的圆，如图，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，则，若点在圆上时，两点重合，两点重合，若点在圆内时，则，所以，当且仅当点在圆上时，取等号，则，当且仅当三点共线时，取等号，因为，当且仅当重合时，取等号，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号，此时，所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时，取等号，所以的最大值为.故选：C.11．（2023春·江西赣州·高二江西省大余中学校考期中）若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断直线与圆的位置关系，再过点P作圆的两条切线，由图形可得，从而利用直线上的动点到圆心的最小距离求得的最大值，由此得解.【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，设PA、