高一数学寒假（人教B版 第三册）第10讲 正弦函数的图像与性质（学生卷）

第10讲正弦函数的图像与性质【学习目标】1.能借助教材实例理解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值、零点．重点提升数学抽象核心素养．2．能借助单位圆、科学计算器了解正弦函数的图像，能利用五点法作简单的与正弦函数有关的函数图像．重点培养直观想象核心素养．3.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，重点提升直观想象核心素养．4．掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤，重点培养逻辑推理核心素养．5.能根据正弦型函数(如y＝Asin(ωx＋φ)形式)的部分图像确定其解析式，重点培养直观想象核心素养．6．掌握正弦型函数的性质并能解决相关问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养．【知识导航】知识点一正弦函数的性质你能利用前面学过的正弦线(如图)探究y＝sinx的主要性质吗？1．探究函数的值域？2．研究函数y＝sinx的奇偶性．3．研究函数y＝sinx的周期性？4．探究y＝sinx的单调性．1．周期函数(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个________，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为________函数，________称为这个函数的周期．(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个________就称为f(x)的最小正周期．[点拨]对周期函数的进一步理解(1)周期函数的定义是对定义域内每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)时不能说T是f(x)的周期；(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，强调的是对自变量本身加的非零常数T才是周期，如f(5x＋T)＝f(x)恒成立，T并不是函数f(x)的周期；(3)若f(x)是周期为T的周期函数，则y＝f(x)的图像每隔|T|个单位重复出现，这是周期函数的图像特征．2．y＝sinx的性质定义域R值域________周期性周期函数T＝2π单调性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上递增，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上递减奇偶性奇函数，其图像关于________对称零点零点x＝________知识点二正弦函数的性质y＝sinx的图像利用描点法，结合正弦函数的性质，你能画出y＝sinx在一个长度为2π的闭区间上的图像吗？y＝sinx的图像及其对称性y＝sinx的图像对称轴对称中心轴对称图形，其对称轴为x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，中心对称图形，其对称中心为(kπ，0)，k∈Z知识点三正弦型函数的图像变换在同一坐标系中作出y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,6)))，y＝3sinx，y＝eq\f(1,3)sinx，y＝sin3x，y＝sineq\f(1,3)x，y＝sinx的图像(图略)并回答下列问题．1．观察y＝sinx，y＝3sinx，y＝eq\f(1,3)sinx的图像，思考由y＝sinx的图像如何得到y＝Asinx(A＞2．观察y＝sinx，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,6)))的图像，思考由y＝sinx的图像如何得到y＝sin(x＋φ)的图像？3．观察y＝sinx，y＝sin3x，y＝sineq\f(1,3)x的图像，思考由y＝sinx的图像如何得到y＝sinωx(ω＞0)的图像？1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响2．ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响知识点四函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质1．求函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的定义域、值域、周期．2．探究函数y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的单调递增区间和对称轴．1．正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质名称性质定义域R值域[－A，A]周期性T＝eq\f(2π,ω)对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)对称轴x＝eq\f(kπ,ω)＋eq\f(π－2φ,2ω)(k∈Z)奇偶性当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时是偶函数单调性由2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得单调递增区间由2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，解得单调递减区间(整体代换思想)2．正弦型函数y＝Asin(ωt＋φ)，(A＞0，ω＞0)中参数的物理意义eq\a\vs4\al([点拨])三角函数的最值与周期性之间的关系由三角函数图像可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期T，相邻最大值与最小值之间的区间长度为eq\f(T,2)，相邻的最值点与零点之间的区间长度为eq\f(T,4).【知识预习】考点一：正弦函数的性质与图像1．根据函数的图像，可得方程的解为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）2．设函数，下列结论不成立的是（

）A． B．C．最小正周期是 D．3．函数，的图像与直线的交点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．34．三角函数在区间上的图像为（）A． B．C． D．5．在上，满足的的取值范围是A． B． C． D．考点二：正弦型函数的性质与图像6．函数的周期、振幅、初相分别是A．，， B．，， C．，3， D．，3，7．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（

）A． B．C． D．8．已知函数最小正周期为，其图象的一条对称轴是，则此函数的解析式可以是A． B．C． D．9．已知函数，恒成立，且的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（

）A． B．C． D．10．函数在闭区间（

）.A．上是增函数 B．上是增函数C．上是增函数 D．上是增函数【对点训练】一、单选题1．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．2．满足的x的集合是（

）A． B．C． D．或3．的单调增区间是（

）A． B．C． D．4．函数的图象的一个对称轴方程是（

）A． B． C． D．5．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．6．为了得到函数的图象，可以将函数图象上所有的点（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度7．函数的图像如图所示，则（

）A． B． C． D．8．若函数图象的一个最高点为，由这个点到相邻最低点的一段图象与轴相交于点，则这个函数的解析式是（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列关于函数的说法正确的是（

）A．在区间上单调递增B．最小正周期是C．图象关于点成中心对称D．图象关于直线对称10．已知函数的图象关于点对称，则（

）A．B．直线是曲线的一条对称轴C．D．在区间上单调递增三、填空题11．已知是奇函数，则__________．（写出一个值即可）12．函数，的值域为___________.四、解答题13．已知函数（）的最小正周期为.(1)求的值；(2)求函数的单调递减区间.14．的部分图象如图所示．（1）写出的最小正周期及的值；（2）求的单调递增区间.15．已知函数的最小正周期．(1)求函数单调递增区间和对称中心；(2)求函数在上的值域．【提升作业】一、单选题1．函数与函数的图像的交点个数是（

）A．3 B．6 C．7 D．92．函数为增函数的区间是（

）A． B． C． D．3．已知函数是偶函数，则的值为（

）A． B．1 C．1或-1 D．4．已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．若函数在处取得最小值3，那么的值为（

）A． B． C． D．二、填空题6．已知函数，若存在，有，则的最小值为______．7．函数的图象为，现有三个论断：（1）图象关于直线对称；（2）函数在区间内是增函数；（3）