高一数学寒假（人教B版 第一册）第01讲 集合与常用逻辑用语（教师卷）

第01讲集合与常用逻辑用语【易错点总结】集合的概念1.集合的概念元素：把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母a、b、c表示.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母A、B、C表示.集合中元素的特征：确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.注意：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记做；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记做.熟记数学中一些常用的数集及其记法符号名称含义N非负数集或自然数集全体非负整数组成的集合N*或正整数集所有正整数组成的集合Z整数集全体整数组成的集合Q有理数集全体有理数组成的集合R实数集全体实数组成的集合注意：当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。集合的分类与表示集合的分类：（1）按元素的数量分为有限集、无限集、空集；（2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合.表示方法：（1）自然语言描述法.（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。（3）描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为｛x∈A｜P(x)｝，这种表示集合的方法称为描述法．二、集合间的基本关系子集和真子集子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作：读作：“A包含于B”(或“B包含A”)符号语言：任意Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.A⊆B可以用图表示为：真子集：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集.记作：（或).空集空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有∅⊆A集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B.子集的个数若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m-1)个，非空真子集有(2m-2)个；三、集合的基本运算并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|x∈A，或x∈B};Venn图表示:交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset)，简称为集合A的补集，记作：即；补集的Venn图表示：四、充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．3.从集合角度看充分、必要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A=B，则p，q互为充要条件若∅或∅，但则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件五、全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2.存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．3.含有一个量词的命题的否定﹁一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．【考点剖析】考点一：集合的概念1．现有以下说法，其中正确的是①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【详解】在①中，接近于0的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选D．2．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}含有两个元素；④集合是有限集．其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2C．3 D．0【答案】D【详解】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确；②当a＝0时，0∈N，所以②不正确；③因为由x2－2x＋1＝0，得x1＝x2＝1，所以{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，所以③不正确；④当x为正整数的倒数时，∈N，所以是无限集，所以④不正确．故选：D考点二：集合的基本关系3．已知集合，，则下列关系正确的是（

）A．M＝N B．MNC．N⊆M D．NM【答案】B【详解】由集合，，可知M是N的真子集，故A、C错误，B正确；集合、之间不是元素与集合的关系，故D错误.故选：B.4．给出以下5组集合：①M＝{(－5，3)}，N＝{－5，3}；②M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；③M＝，N＝{0}；④M＝{}，N＝{3.1415}；⑤M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}.其中是相等集合的有（

）A．1组 B．2组C．3组 D．4组【答案】A【详解】对于①，M＝{(－5，3)}中只有一个元素(－5，3)，N＝{－5，3}中有两个元素－5，3，故M，N不是相等集合；对于②，M＝{1，－3}，N＝{3，－1}，集合M和集合N中的元素不同，故M，N不是相等集合；对于③，M＝，N＝{0}，M是空集，N中有一个元素0，故M，N不是相等集合；对于④，M＝{}，N＝{3.1415}，M和N中各有一个元素，但元素不相同，故M，N不是相等集合；对于⑤，M和N都只有两个元素1，2，所以M和N是相等集合.故选：A.考点三：集合的基本运算5．设全集，集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，故选：D．6．已知集合，集合，则下列关系式正确的是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【详解】解：，，，故A不正确；，故B不正确；或，或或，故C不正确；或，故D正确．正确的是D．故选：D．考点四：充分条件与必要条件7．若为实数，则是的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由题意，若，则或，故充分性不成立；若，则，故必要性成立.因此，是的必要不充分条件.故选：B8．“x=3”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不必要也不充分【答案】A【详解】由可得，即或则“x=3”是“”的充分不必要条件故选：A考点五：全称量词与存在量词9．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】命题“，”的否定是“，”故选：B.10．已知命题，若为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】命题为真命题，则，解得或故选：B【基础过关】一、单选题1．一次函数与的图像交点组成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】联立方程组，解得，所以两函数图象的交点组成的集合是.故选：C.2．已知集合，则（

）A． B．C． D．R【答案】D【详解】由题意可得，，则.故选：D.3．《三字经》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成为器物”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】“打磨玉石”不一定“成为器物”，故充分性不成立，但“成为器物”一定要“打磨玉石”，故必要性成立，所以“打磨玉石”是“成为器物”的必要不充分条件.故选:B.4．若命题p：“，”是真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题可知，，则有，因为，所以，因为，当且仅当即时等号成立，所以，故选:C.5．已知集合，，则子集的个数为（

）．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【详解】解：集合，，则集合中含有3个元素，故集合的子集个数为．故选：D．6．设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为p是q的充分不必要条件，所以，所以，即实数a的取值范围是.故选：B.7．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（

）A．120 B．144 C．177 D．192【答案】B【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，则，，不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为，即，，由容斥原理：，解得：，故选：B.8．已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.因为，所以，，.当时，关于x的方程无解，所以；当时，是关于x的方程的根，所以；当时，是关于x的方程的根，所以.故实数的取值构成的集合为.故选：D二、多选题9．已知全集，集合、满足⫋，则下列选项正确的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】因为⫋，所以，，因此选项A错误，B正确；因为⫋，所以存在，因此有，所以，因此选项C不正确；因为⫋，所以都有，而，所以，因此选项D正确，故选：BD10．下列说法正确的是（

）A．命题“，”的否定是“，”B．存在，使得是真命题；C．若命题“，”为假命题，则实数n的取值范围是D．已知集合，则满足条件的集合B的个数为15【答案】AC【详解】对于A：命题“，”的否定是“，”，即选项A正确；对于B：因为，即方程无实数解，也无有理数解，即存在，使得是假命题，即选项B错误；对于C：若命题“，”为假命题，则若命题“，”为真命题，即无实数解，则，解得，即选项C正确；对于D：因为，所以，又因为，所以满足条件的集合有无数个，即选项D错误.故选：AC.三、填空题11．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为__________．【答案】【详解】由题意得，，全集，所以，所以图中阴影部分表示的集合为.故答案为：12．已知命题p：，.若命题为真命题，则实数a的最大值是______.【答案】－4【详解】因为命题p：，，所以命题：，，因为命题为真命题，所以在上恒成立，令，对称轴为，所以在上单调递增，所以，所以，所以实数a的最大值为，故答案为：.四、解答题13．已知集合，集合．(1)求；(2)设，若，求实数的取值范围．【答案】(1)，或，(2)【详解】（1）由题得，集合，集合所以或，所以.（2）由（1）得或由题得，，因为，所以，解得．所以实数的取值范围是．14．命题：“，”，命题：“，”，若，都为真命题时，求实数的取值范围．【答案】【详解】由，当时，二次函数单调递增，所以有，因为为真命题，所以有；因为为真命题，所以方程有实数根，因此有，或，因此要想，都为真命题，只有，或，解得，或，所以实数的取值范围为.15．已知全集，集合，集合.条件①；②是的充分条件：③，使得.(1)若，求；(2)若集合A，B满足条件___________.（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）若，则，（2）（2）若选①因为所以，则，所以所以实数的取值范围为.若选②是的充分条件，则，则，所以所以实数的取值范围为.若选③，使得，则，则，所以所以实数的取值范围为.【能力提升】一、单选题1．已知集合，，，则（

）A． B． C．或 D．【答案】C【详解】因为，，所以或，所以或．故选：C．2．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【详解】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.故选：A3．已知x、y都是实数，那么“”的充分必要条件是（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，，故“”是“”的充分不必要条件，不符合题意；对于B，，即“”是“”的充要条件，符合题意；对于C，由得，或，，不能推出，由也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于D，由，不能推出，由也不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意；故选：B.4．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：不等式成立的充分条件是，设不等式的解集为A，则，当时，，不满足要求；当时，，若，则，解得.故选：A.5．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于集合，有解得