陕西省汉中市汉台区2023-2024学年高二上学期期末校际联考数学试题（含答案解析）

2023~2024学年度第一学期期末校际联考试题高二数学注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集定义即可求解．【详解】因为,所以.故选：B．2.在空间直角坐标系中，若，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示计算即可.【详解】由题意可知的坐标为.故选：A3.下列函数在上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式逐项判断可得答案.【详解】对于A，因为函数的定义域为，故A错误；对于B，因为函数在上单调递增，故B错误；对于C，因为函数在上单调递增，故C错误；对于D，因为函数在上单调递减，故D正确.故选：D.4.圆的圆心和半径分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可.【详解】由，所以圆心和半径分别为.故选：D5.若椭圆的焦距为2，则实数的值为（）A.3 B.3或5 C.5或8 D.8【答案】B【解析】【分析】结合椭圆性质，分焦点在轴、轴上计算即可得.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，有，故，当椭圆的焦点在轴上时，有，故.故选：B.6.展开式中的系数为（）A.45 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助二项式定理展开式的通项公式计算即可得.【详解】对，有，令，解得，有.故选：C.7.袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（）A.0.25 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】B【解析】【分析】分别设事件“第一次取得白球”和“第二次取得红球”，由条件概率计算公式求解即可求解.【详解】设第一次取得白球为事件，第二次取得红球为事件，所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为：.故选：B.8.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.详解】，，

，，，，.故选：A.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据排列数与组合数性质与计算公式一一判定即可.【详解】根据组合数公式可知，显然两式相等，故A正确；根据排列数公式可知，故B正确；易知，显然两式不等，故C错误；，显然两式相等，故D正确.故选：ABD10.同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的随机事件不可能是（）A.第一枚掷出5点，第二枚掷出2点 B.第一枚掷出3点，第二枚掷出3点C.第一枚掷出1点，第二枚掷出2点 D.第一枚掷出6点，第二枚掷出2点【答案】ABC【解析】【分析】根据随机事件的相关概念逐一判断各个选项即可.【详解】因为记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，所以第一枚掷出5点，第二枚掷出2点时，，第一枚掷出3点，第二枚掷出3点时，，第一枚掷出1点，第二枚掷出2点时，，第一枚掷出6点，第二枚掷出2点时，，所以表示的随机事件不可能是A,B,C，可能是D.故选：ABC11.设两条不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】利用空间向量研究空间位置关系一一判定选项即可.【详解】对于A项，由，为不同的直线，可知，且，则，故A错误；对于B项，若，则且，又为不同的直线，所以，故B正确；对于C项，若，则且，又，所以，故C正确；对于D项，若，则，所以，故D正确.故选：BCD12.已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线上的一个动点，下列结论正确的有（）A.若的面积为20，则 B.双曲线的离心率为C.的最小值为1 D.若为直角三角形，则【答案】BC【解析】【分析】根据双曲线的性质、两点距离公式及三角形面积公式计算一一判定选项即可.【详解】由题意可知，即，若面积为20，则，故A错误；根据双曲线方程可知的离心率，故B正确；易知，则，又或，所以时有，或时，故，时取得等号，故C正确；若为直角三角形，易知当时，此时，则，故D错误.故选：BC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物9本，英语类读物8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有________种．【答案】24【解析】【分析】由分类加法计数原理即可得.【详解】由分类加法计数原理可得.故答案为：.14.已知正方体的棱长为与相交于点，则的值为________．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量坐标公式求解.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，因为易知O为中点，所以，所以，，所以故答案为：15.某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为________．【答案】0.012【解析】【分析】利用全概率公式计算即可.【详解】设事件“取得一件次品”事件：“取得次品是甲厂生产”，：“取得次品是乙厂生产”，由题意可知,所以由全概率公式知取得次品的概率为.故答案为：16.已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么三位渐升数有________个，其中比516大的三位渐升数有________个．【答案】①.84②.10【解析】【分析】根据定义结合加法原理计算即可.【详解】完成这件事需选出3个数，要满足“渐升数”需分类来解.当百位上的数字为1，十位上的数字为2时，个位上的数字有7种选法；当百位上的数字为1，十位上的数字为3时，个位上的数字有6种选法；…；当百位上的数字为1，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法.由加法原理得百位上的数字为1的三位“渐升数”有（个）.同理，百位上的数字为2的三位“渐升数”有（个），百位上的数字为3的三位“渐升数”有（个），百位上的数字为4的“渐升数”有（个），百位上的数字为5的三位“渐升数”有（个），百位上的数字为6的三位“渐升数”有（个），百位上的数字为7的三位“渐升数”有1个.根据加法原理得共有（个）“渐升数”.百位上的数字为5，6，7的三位“渐升数”均比516大，故比516大的三位“渐升数”有（个）.故答案为：84；10四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知两点．（1）求直线的斜率和倾斜角；（2）求直线在轴上的截距．【答案】（1），（2）1【解析】【分析】（1）根据题意，由直线的斜率公式计算可得的值，进而分析可得答案；（2）根据题意，由（1）结论求出直线的方程，据此分析可得答案．【小问1详解】根据题意，直线的斜率为，倾斜角为，由两点，得斜率，则，即．小问2详解】由（1）知，直线的斜率，则其方程为，即，令，则直线在轴上的截距为1．18.已知空间向量．（1）若，求实数与的值；（2）若，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由共线向量定理得：，代入坐标求解即可；（2）由于，则，求出的值即可得出.【小问1详解】根据题意，故可设，则，解得．【小问2详解】因为，且，所以，解得．得，所以．19.已知函数．（1）求函数的最小正周期和对称中心；（2）求函数的单调递减区间；（3）当时，求函数的最值．【答案】19.最小正周期为，对称中心为20.单调递减区间为21.最小值为，最大值为【解析】【分析】（1）由正弦型函数的周期性及对称性计算即可得；（2）由正弦型函数的单调性计算即可得；（3）由正弦型函数的值域计算即可得.【小问1详解】，函数的最小正周期为．令，则，函数的对称中心为．【小问2详解】令，则，函数的单调递减区间为．【小问3详解】，．．的最小值为，最大值为.20.某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．（1）求进行3局比赛决出冠亚军的概率；（2）若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果；（2）利用分布列步骤求解并求得期望.【小问1详解】甲3局全胜的概率为,乙3局全胜的概率为，进行3局比赛决出冠亚军的概率为【小问2详解】的可能取值为1，2，，，故的分布列为：12故．21.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求点B到平面PCD的距离；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.【小问1详解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又两两互相垂直,所以，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，D(3,6,0),A(0,6,0)设平面的一个法向量所以，即令，可得记点到平面的距离为，则【小问2详解】由(1)可知平面的一个法向量为平面的一个法向量为设二面角的平面角为由图可知，.22.已知抛物线过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点；（3）在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析（3）存在，点【解析】【分析】（1）根据抛物线过点，代入运算得解；（2）设直线，与抛物线联立方程组，得到根与系数关系，结合，坐标运算得解；（3）假设存在满足条件的点，使得，