福建省龙岩市2022-2023学年高一年级下册学期期末教学质量检查数学试卷（含答案）

福建省龙岩市2022-2023学年高一下学期期末教学质量检查数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、已知复数2=。+31,z=2+bi（a,8eR）,则。+/?=（）

A.-lB.lC.-5D.5

2、已知向量a，b，满足忖=3,忖=4,a与0的夹角的余弦值为:，则向量。在向

量。上的投影向量为（）

99

A.。B.3aC./

416

3、从长度为1,3,7,8,9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形

的概率为（）

A」12B.rC.-3D.-L4

5555

4、已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为王，/，x3,,%,经计算全

40

班数学平均成绩1=90,且324400,则该班学生此次数学成绩的标准差为（）

1=1

A.20B.2A/5C.10D.V10

5、如图，在正方体ABC。-44GA中，E,E为正方体内（含边界）不重合的两个动

点，下列结论错误的是（）

A.若EwBQ,FGBD,则EFLAC

B.若E&BD,,FGBD,则平面，平面48G

C.若EGAC,FeCD],则E尸〃A，

D.若EeAC,F&CDt,则平面ABC；

6、闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991

年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称

之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图

（如图），纪念碑的最顶端记为A点，纪念碑的最底端记为8点（3在A的正下

方），在广场内（与6在同一水平面内）选取C,。两点，测得CO的长为15米，

ZACB=45°,NCBD=30。，NAT>B=30。，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑

高度为（）

A.14米B.15米C.16米D.17米

7、已知等边三边形A8C的边长为4,。为8C的中点，将沿AO折到

△AO4,使得△4C。为等边三边形，则直线与AC所成的角的余弦值为（）

A._立B.OC.-D.1

224

8,在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

cos?3+cos5cos（A—C）=sinAsinC,a=2C>,则△ABC周长的取值范围是（）

A.（66,6+6G）B.（3+3^,6+673）

C.（3+3百,96）D.（673,973）

二、多项选择题

9、已知复数z满足z-（l-3i）=10,则（）

A.|z|=710

B.z的虚部为3i

C.z-3（cos^+isind=1

D.复数z在复平面内对应的点位于第二象限

10、新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者

和确诊病例.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则

（）

A.本地新增阳性人数最多的一天是10日

B.本地新增确诊病例的极差为84

C.本地新增确诊病例人数的中位数是46

D.本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数

11、已知”是边长为1的正六边形ABCDEE所在平面内一点，

t=（MA+MC）（MB+MD）,则下列结论正确的是（）

A.当M为正六边形A3CDEF的中心时，「=•!BI的最大值为4

2

C1的最小值为—DI可以为0

4

12、如图，水平放置的正方形ABC。边长为1,先将正方形ABC。绕直线A3向上旋转

45°,得到正方形ABG。，再将所得的正方形绕直线向上旋转45。，得到正方形

A28Go2,则（）

A.直线4G〃平面ABC。

B.D2到平面ABCD的距离为匕立

C.点A到点2的距离为3-0

D.平面48G2与平面ABC。所成的锐二面角为60°

三、填空题

13、方程X2+2x+3=0在复数范围内的根为.

14、数据13,11,12,15,16,18,21,17的第三四分位数为.

15、为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我''——党的二

十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精

神知识的问题.己知甲同学答对的概率是:，甲、丙两位同学都答错的概率是：，乙、

丙两位同学都答对的概率是:•若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学

中至少2位同学答对这道题的概率为.

16、如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CO是平行四边形，DBA.AB,

=03=3P=PC=2.记四面体P-BCD的外接球的球心为。，M为球。表面上的一

个动点，当NM4O取最大值时，四面体M-A3。体积的最大值为.

四、解答题

17、在△ABC中，AC=BC=6fAB=4,=AAB（O</1<1）.

2

（1）当4二耳时，用CA，CB表不CP；

（2）求CR（C4+C3）的值

18、如图，在直三棱柱ABC-ABC中，ZABC=90°,AA,=AB=4,8C=3.

(1)求三棱柱ABC-ARC的侧面积；

(2)设。为AC的中点，求证：〃平面BCQ.

19、已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个.从中任取一球，得到红球

或黄球的概率是3,得到黄球或蓝球的概率是

42

(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；

(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.

(i)写出该试验的样本空间Q；

(ii)设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，

判断这个游戏是否公平，请说明理由.

20、某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐.为了解该

企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用

流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如图：

若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题.

(1)求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；

(2)在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数

据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M,方差为

10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M,方差为40000.

(i)已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样

本方差分别为：加，Is：；n,亍，s；,记总的样本平均数为石，样本方差为小.证

明：52=—sj+(x_q]+〃^+｝一吟]1.

(ii)用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差.

21、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是边长为3的正方形，侧面PBC_L底

面ABCD.

(1)若NP3C=90。，求证：AC1PD；

(2)若AC与平面PCD所成角为30。，求点A到直线PC的距离.

7T

22、在田。中，角48,C的对边分别为小，，，点。在边相上，4二,

BD=CD,AD=2.

(1)BD=—b,求c；

3

(2)若。=2&，求△ABC的面积.

参考答案

1、答案：A

解析：

2、答案：D

解析：因为向量力,b,满足1利=3,si=4,a与/，的夹角的余弦值为3,所以向量

4

a在向量上的投影向量为a"b=|a|・|/?|cos〈a,A〉b=3x4x]》=9..

\b\\b\~\b^~44~16

3、答案：B

解析：

4、答案：D

解析：

5、答案：C

解析：

6、答案：B

解析：

7、答案：D

解析：

8、答案：B

解析：由cos?B+cos3cos(A-C)=sinAsinC得

cosB[cosB+cos(A-C)J=sinAsinC,

因为A+3+C=7r,所以cos3[—cos(A+C)+cos(A—C)]=sinAsinC,

jr

2cosBsinAsinC=sinAsinC,因为0<A,C<—,所以sinA>0,sinC>0,

2

Iircihc

所以c°ss=5'所以八屋由正弦定理得初=蓊=砧

0AG

asinC

所以7asinBX?3c=--------

b=--------=------------=-------sinA

sinAsinAsinA

所以△ABC的周长为

,32V3sinC。/-

。+/?+c=-------1--------------F2。3=+3+

sinAsinA

0<A<-4"

2n.7iitAn.ITA.

因为，二>一<A<一二>—<—<一二>2—>/3<tan—<1,

八2兀，兀6212242

0<-----A<—

32

所以△ABC的周长为=。+人+<:@(3+36,6+6省)，故选B

9、答案：AC

解析：

10、答案:ABC

解析：

11、答案:ACD

解析：

12、答案:BD

如图，可将正方形ABGA放于两个全等正方体的公共面

上，由已知可得直线4G与平面A3CO相交，所以A错误；

过2作3"//CQ，2到平面ABCD的距离等价于“到平面ABC。的距离，根据等

,由此得&到平面ABC。的距离为1+夜,故B正确;

积关系得%YBC=%M8C

2

5=67万，故C错误;

连接92、AD2,在中，AD?=dAD；+DQ?

因为平面ABCD〃平面MQGP，所以平面与平面ABC。所成的锐二面角可转

化为平面4BG2与平面MD|GP所成的锐二面角，求得锐二面角的平面角为60°,故

D正确.综上BD正确.

13、答案：—1±V2z

解析：

14、答案：17.5

解析：这组数据共8个数，从小到大排列是11,12,13,15,16,17,18,21,

8x2=6,所以第三四分位数是第6个数和第7个数的平均数，即卫生竺=175

42

,7

15、答案：—

12

解析：设甲同学答对的的事件为A,答错的事件为不，设乙同学答对的的事件为8,

答错的事件为至乙同学答对的的事件为&答错的事件为「，

因为甲同学答对的概率是：，甲、丙两位同学都答错的概率是J,乙、丙两位同学都

26

答对的概率是:，

1——__11

所以P(A)=7，P(AB)=P(A)P(B)=-P(BC)=P(B)P(C)=N，

2693

171

解得尸(5)=3，P(3)=§,P(C)=-,

所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为：

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-x-x-+-x-x-+-x-x-+-x-x-

232232232232

7

~n'

16、答案：勺回

15

解析：依题可得：四面体P-BCD的外接球的球心。为BC中点，外接球半径

「=血，要使NM40取到最大值，则NAMO=90。，即AM与球。相切时，所以

sinZMAO=—-

A0

在△ABO中，

AO2=AB2+BO2-2ABBOcosZABO=4+2-2-2->/2cosl350=\Q^

所以=

2

所以sin/M4O=f=g=g,所以AMUJA。-产=Ji。—2=20

AOV105

过M作垂足为H,所以点M在以〃为圆心M”为半径的圆上

又M”=A"-sinNM4O=20x@=^^

55

所以四面体M—钻。体积的最大值=LS580.M7=LL2-2•亚=生叵

3△"q32515

_12

17、答案：(1)-CA+-CB

33

(2)64

2一2一

解析：(1)当a=—时，AP=—AB

33

2712

CP=CA+AP=CA+-AB=CA+-(CB-CA)=-CA+-CB

3333

(2)法一：CP=CA+AP=CA+AAB=CA+A(CB-CA)=(l-A)CA+^CB

CACB=W4cos/ACB=6x6x36+^~16=28

:.CP(CA+CB)=[(1-4)CA+ZCB]-(CA+CB)

22

=(1-2)C4+(\-^)CACB+ACACB+ACB

=36—36X+28—28/1+284+36/1=64

法二:取AB中点D,

则CA+CB=2C£＞，且CD_LAB,

所以CP(C4+CB)=2CPCD=2CD2

因为AC—BC=6,AB=4,

所以CO=436-4=V32,

所以CP(C4+CB)=64

18、答案：（1）48

(2)证明见解析

解析：(1)因为三棱柱ABC-A4G为直三棱柱，

所以侧面BCG5，844,与，CAAG，均为矩形，

因为AB_LBC,所以底面ABC,A均为直角三角形，

又因为A4,=A8=4,BC=3,

所以AC=VAB2+BC2="2+32=5，

所以三棱柱ABC—4gG的侧面积为(A8+BC+AC).A4]=(3+4+5)x4=48.

所以三棱柱ABC-A与G的侧面积为48.

A*--------

⑵:，与户妾BG交BC、于或。

连接OD,

G""'C

因为四边形BCG4为矩形，

所以。为qc的中点，

因为。为AC的中点，所以。W/A8.

所以Age平面8CQ,QDu平面6G。，

所以A片〃平面5CQ.

19、答案：(1)2,1,1

(2)(i)Q={(U),(1,2),(l,a),(1,份，(2,1),(2,2),(2,a),(2㈤，(氏1),

(tz,2),(a,a),(a,b),(瓦1),S,2),(b,a),(/

(ii)不公平，理由见解析

解析：(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A,B,C,

P(A)+P(8)+P(C)=1

3

由于A,B,。为两两互斥事件，根据已知得＜P(A)+P(B)=T,解得

4

P(8)+P(C)=：

2

P(A)=；

<P(3)=J,所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,1,1；

4

P(C)=J

［4

(2)(i)由(1)知红球、黄球、蓝球个数分别为2,1,1,用1,2表示红球，用。

表示黄球，用人表示蓝球，机表示第一次取出的球，〃表示第二次取出的球，(加,〃)表

示试验的样本点，

则样本空间C={(1,1),(1,2),(l,a),(1,份,(2,1),(2,2),(2,«),(2,b),(a1),

(a,2),(a,a),(a,b),(仇1),(6,2),(b,a),(b,b)}.

(ii)由(i)得〃(Q)=16,记“取到两个球颜色相同”为事件M,“取到两个球颜色不相

同，，为事件N,则〃(")=6,所以p(M)=9=3

168

35

所以P(N)=1—P(M)=1—7=三

oo

53

因为所以此游戏不公平.

OO

20、答案：(1)中位数在［300,400)内，众数380

(2)(i)证明见解析

(ii)平均数1000M,方差50000

解析：(1)估计这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数450,由频率分布直

方图可知流量少于300M的所占比例为30%,流量少于400M的所占比例为55%,所

以抽取的100名员工近一周每人手机日使用流量的中位数在［300,400)内，且中位数为

300+(400-300)x

0.55-0.3=380

(2)(i)证明：根据方差的定义，总样本的方差为

m,、）"，、o

s2=—

2■四司

m+nZ=1J=1

之(4—九+工一3)一+才(匕-y+y一啰)-

m+ni=lj=\

=----工（％-幻2+22（%一幻"一0）+工（工一。）2+工（乂-力2+22（»_〉）（丫一助+20-0）2

+〃Li=i/=1;=1j=lJ=|j=\

，由£（七-X）=£玉一〃2尤=0,可得

/=1/=1

工2（方=2缶-0）£（%-%）=0

i=l7i=l'

同理可得£＞（匕-司「-同=。

六1

因此52=^LSd+沙洞

m+n/=1;=1

1

+〃52+1y-69

m利2

m+n

（ii）估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数为

-20x800+40x1100

co=---------------=1000M

20+40

由（i）知，估计该大型企业全体员工手机日使用流量的方差为

（））2

=20[10000+800-1000[+4040（）（）0+0100-i000]|=50000

21、答案：（1）证明见解析

⑵乎

解析:

PBC

所以依，底面ABCD

又因为ACu平面ABC。,

所以AC_LP3.

在正方形ABC。中，AC1BD,PBRBD=B,

BDu平面PBD,PBu平面PBO

所以AC，平面PBD

因为PDu平面尸8。所以AC_LPD.

(2)如图，因为AB〃Cr>,ABa平面PC。，CDu平面PC。

所以AB〃平面PC。

所以A到平面PC。的距离,

即为3到平面PC。的距离.

过8作3M_LPC,垂足为M

由AC与平面PCO所成的角为30。，得:

..3…00=BMk=亚BM=51,所_以*=3五苧

因为侧面P3C，底面ABCD,侧面PBC\'底面ABCD=BC,

AB1BC,ABu平面ABC。

所以AB，平面PBC,PCu平面PBC所以AB_LPC

又BM工PC,ABBM=B

所以PCJ_平面ABM,A"u平面ABM

所以尸CJ.4M

所以AM的长度即为点A到PC的距离.

所以AM=^AB1+BM2=J9+-=殛

V22

所以点A到PC的距离为班.

2

22、答案：(1)c=2+VIU,或c=2+亚

2

(2)4或3-0

解析：（1）在△ACD中ZA=f,AD=2,CD=BD=—h,由余弦定理得,

43

CD2=AD2+AC2-2AD-ACcosA=22+b2-4bcos-=4+b2-2岳

4

=4+/—2&。，化简得2〃一9后+18=0,

解得6=30，或6=逑

所以50=好〃=立、30=丽，或60=立〃=逑=®.

333322

所以c=A8=AO+80=2+W，或。=A5=AO+5O=2+®,

2

综上