2023年高考数学客观题三 向量

专题三向量

【考试内容】向量的概念;向量的表示法;向量的运算及运用

【近7年新课标卷考点统计】

试卷类型2016201720182019202020212022

全国卷（甲语一5555555

全国卷（乙卷）55105555

新高考全国IK55

新高考全国II着~55

重要考点回顾

一、平面向量

■(-)向量的概念

I1.向量:既有大小又有方向的量,向量不能比较大小,但向量的

模可以比较大小.

I2.零向量:长度为O的向量,记为0,其方向是任意的,O与任意向

量平行,

13.单位向量:模为1个单位长度的向量.

14.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量,

5.相等向量:长度相等且方向相同的向量.

(二)向量的表示

I1.几何表示:用一条有向线段表示向量.如丽,E或等.I

I2.坐标表示:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为坐标

,终点A坐标为(x,y),

I则(XU)称为函的坐标,记为OA-(χ,y)∙

I当向量起点不在原点时,向量通坐标为终点坐标减去起点坐

J1),B(X2,)∕2),

则A^二(X2-打为-力)・

注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.

（三）向量的运算

L每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言.

主要内容列表如下：

运算图形语言符号语言坐标语言

Ir记。4=(x,γ),OB=(x,y)

OA+OB=OC1122

1

贝JOA+OB=(x1+x2,yl+y2)

OB-OA=AB

加法与OB-OA=(x2-xi,y2-yl)

减法

b

OA+AB^OB

.

实数与向.AB=痴.记α=(x,y)

量的乘积A----------------------------------------BΛ∈R贝IuQ=GU∕y)

两个向量［己（）力二（，乃）

a∙b=∖a∖∙∖b∖cos<a,b>α=xιUιX2

的数量积贝ɪjɑ•力=XIX2+为乃

.

2.向量的运算律

I加法:①α+办=A+α(交换律);②(α+办)+c=α+(A+c)(结合律)，

实数与向量的乘积:①2(。+ft)-λa+劝;②(2+〃)a-λa+μa;

③2(∕∕α)=("∕)α

H两个向量的数量积:①α∙办="α;②(2α)6=α∙(劝)=∕l(α∙A);

③(a+b)∙c=a∙c+b∙c

I注意:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实

数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向

量的运算，

例如(a+bp二展±2a∙b+b2

3.两个向量数量积的重要性质：

I①解=|02即⑷=求向量的长度)；

I②求向量的夹角:已知两个非零向量α与仇作&=。,而二仇.

则NZo5=。(0。<0<18Oo)叫做向量。与力的夹角，

a`b^1^2+y13Z2

cos8=cos<α∕>=777^=/2EI22

IaHbl√X12+y12∙√X22+y22

I特别注意:当且仅当两个非零向量。与力同方向时,。=0。；当且

仅当α与。反方向时,。=180°.同时O与其他任何非零向量之间不谈

夹角这一问题.

（四）向量的应用

L两个向量平行的充要条件

符号语言:。〃力u>α二M（8≠0）

坐标语言为:设非零向量0二（1处）力二（X2，乃），则

a//⅛<≠>（X1Ul）=Xa2，,2）=%1>2-31=O

2.两个向量垂直的充要条件

符号语言:aL，=a5=0

坐标语言:设非零向量α=(%ι,%),A=(X2,%),则8Q⅞¾+VM=0

二、空间向量

(_)空间向量及其运算

L空间向量的有关概念

⑴空间向量:在空间中,具有大小和方向的量；

(2)相等向量:方向相同且模相等的向量；

⑶共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合;

(4)共面向量:平行于同一平面的向量.

2.空间向量中的有关定理

I(1)共线向量定理:对空间任意两个向量“/s≠θ),α〃8=存在

丸£尺使。=劝；

I(2)共面向量定理:若两个向量α,办不共线,则向量P与向量α力共

面=存在唯一的有序实数对(Zy)使P=Xa+W；

I(3)空间向量基本定理:如果三个向量α也C不共面,那么对空间

任一向量P，存在一个唯一的有序实数组｛x,y,z｝使得P=Xa+W+2C,

其中｛α∕,c｝叫做空间的一个基底.

3.两个向量的数量积

(1)非零向量。力的数量积。0=Iall"cos<α/>.

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(瓶)•办=23。)；

②交换律:α∙A=A∙α;

③分配律:α∙(A+c)=α∙A+α∙c.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设向量α=(%ι*1)力=(“2/2)，则

(l>+6=(x1+x2,^ι+γ2,z1+z2);

(2)α-⅛=(xι-x2J1-J2,z1-z2);

(3)Aa=(AXl万1，曲)；

(4)a^=x1x2+y1y2+z1z2;

(5)若为零向量,且a~L8=α仍=O=XlX2+y∕2+z1Z2=O;

(6)若。≠0,且Q//b<^a=λb^xi=λx2,yi=Ay2,Zl=Az2;

(7)IaI=Jq=JX；+y；+zj；

ab

∙XX9+xvɔ+z1z9

(8)cos<a,⅛>=^-=1LUL一；

22222

⑷㈤JX1÷√÷Z1√X2÷^2÷Z2

(9)点A=(七,%/1),5=(x2,)⅛Z2)，

222

则QAB=IAWI=A∕(X2-Z1)+(J；2-y1)+(Z2-Z1);

(IO)共面向量定理Ma,。共面=P=Xa+y办(X,y£R);

P,A,5,C四点共面^CP=xCA+yCB

=OP=OA+xCA+yCB

=OP-xOA+yOB+zθd(其中Jr+y+z=1)

(∏)空间向量基本定理尸=Xa+y办+2c(x,y,z∈R)(不共面的三个向量

a,。,C构成一组基底,任意两个向量都共面).

(二)立体几何中的向量方法

L设直线/,加的方向向量分别为α也平面ɑ步的法向量分别为〃』,则

⑴平行:

线线平行:小〃/=〃〃力=α=左伙左£区且上0)

线面平行:/〃α=αJ-"=α∙”=O

面面平行:a〃β<^>u∕/了=〃=五(左£区且后0)

(2)垂直：

线线垂直:/，•小QaJL8u>α∙0=0

线面垂直:/_La=a〃u^>u-ka(k^R⅛^≠0)

面面垂直:Q-L夕="-Lu="∙u=O

2.空间角的求法

⑴异面直线所成的角

设分别是两异面直线/力的方向向量,则

。与。的夹角P_____________/1与3所成的角。_________

（0,兀）■

范围（θ,ɔ]

________________2______________

Qa∙bIeι

求法cosB=COSe=ICOS/=I∙bI

忆Igl∖a∖∖b∖

(2)求直线与平面所成的角

设直线/的方向向量为平面α的法向量为凡直线/与平面Q所成的

a∙n

角为优则SilIe=COS<α,∕>∣=∣∣∣∣•

⑶求二面角的大小

①如图(a)√4氏CO分别是二面角a-//的两个面内与棱/垂直的直线,

则二面角的大小。=<A反E>.

②如图(b)(c),%,%分别是二面角的两个半平面S的法向量,

则二面角的大小。满足ICoS0∣=∣cos<"W2>∣,二面角的平面角大小

是向量为与〃2的夹角(或其补角).

3.用向量法求空间距离

[⑴点到直线的距离I

I已知直线/的单位方向向量为",A是直线/上的定点,尸是直线/外

一点.设G=α,则向量G在直线/上的投影向量R=O点尸到

直线/的距离为PQ=Jα2—(0・/)2.

I(2)点到平面的距离

已知平面。的法向量为是平面。内的定点,尸是平面α外一点.

过点P作平面。的垂线/,交平面。于点。,则点尸到平面。的距离为

→

∖AP∙n∖

PQ二

∖∏∖

考点训练

1.已知点A((M),5(3,2),向量分=(-4,-3),则向量品二(

A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-l,4)D.(l,4)

【解析】:ZB=OB-OyI=(3，1)，∙∙∙BC=∕C-√1B=(-7,-4).故选A.

2.若向量α,A满足⑷=l"=l,α与方的夹角为60°,则a，。+。仍=(

A,-B,-C.l+@D.2

222

【答案】B

【解析】a∙a+a∙b=∖a∖2+∖a∖∙∖b∖cos60o=1+[=∣.故选B.

乙乙

3.若向量。=(1,1),。=(2,5)«=(34)满足条件(8°/)・。=30,则%=(

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析1(800)∙c=3O,8α∙c-万c=30,

即8(1*3+x)-(2×3+5x)=3O,

24+8x-6-5x=30,

3x=12,

犬=4.故选C.

4.如图,设P是^ABC所在平面内的一点，/+B4=2BP,则（)

A∙∕M+P⅛ZZ0B∙PC+PΛ=°

D++ZZ

C∙P⅛+PCςZ0∙PΛP⅛PC0

【答案】B

【解析】：品-BP==BP-BA

，沆喻正第%即忌+后.故选艮

5.如图AABC中9AB边的高为CD,若&=α,%=上α∙A=OjaI=1,

网=2,则G=()

【答案】D

【解析】如图,∙∙∙α6=0,

_________I44

22

・.AD-Vc√4~CD~14---^9

・•・*(即筋=IAB⅜-⅛)⅛⅜.≡D.

6.已知向量。=(1,0)力=(0,1),。=①+。(攵£2,"二〃-。,如果。〃d,

那么()

A.k=1且C与d同向B%=1且C与d反向

C.Z=-1且C与4同向口.女二-1且。与/反向

【答案】D

【解析】•・•向量α=(L,O)力=((M),

若左=1,则c=α+O=(l,l),d=α-A=(l,-l),

显然,c与d不平行,排除A,B.

若女=・1,则c=-α+b=(-l,l),d=α-5=(l,-l)Wc∕/d且C与d反向,排除C.

故选D.

7.设x∈R,向量α=(x,l)力=(1,-2),且。_1_"则|〃+加=()

A.√5B.√ioC.2√5D.10

【答案】B

【解析】因为〃IA所以有α∙力二1-2=0,得X=2,则α+A=(3,-l),

22

故Iα+。I=Λ∕3+(-1)-VlO.故选B.

TT

8.若向量α力满足IaI=I,|。|=2,且。与力的夹角为三则∖a+b∖-

因为网。=Tr

∣α+0∣2=(α+))2=∣°F+2+2°.1+4+2x1×2×cos-D=7,

故∣α+)∣=√7.

9.已知向量⑷=3,∣"=2.若。0=3,则〃与方夹角的大小为

【答案】V

【解析】设。与。的夹角为仇则有COS3蒜二言二4

又g先兀,所以。二尊

10.已知向量。=(2,1),0。=10,|°+。|=5鱼,则网=()

A.√5B.√ioC.5D.25

【答案】C

【解析】V50=∣α+⅛∣2=∣α∣2+2α∙⅛+∣⅛∣2=5+20+∣⅛∣2,

・•・网二5.故选C.

∏∙平面向量。与。的夹角为60°,α=(2,0),网=1,则∣α+2A∣=(

A.√3B.2√3C.4D.12

【答案】B

【解析1因为Ia+2。I=J(Q+2b)2=λ∕ɑ2+4α-b+4L=

√22+4×2×1×cos60o+4×12=2√3∙故选B.

12.已知向量α=(l,2)力=(-2√n),且。〃儿贝∣j2α+38=(

A.(-5,-10)B.(-4,-8)

C.(-3,-6)D.(-2,-4)

【答案】B

【解析】因为向量α=(1,2)力二(-2,加),且。〃b,

所以1><根-2><(-2)=0,所以根二-4,

于是2α+30=2(l,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).故选B.

13.已知向量84二&j），5。=（¥弓）则/45。=（）

A.30oB.45oC.60oD.120o

【答案】A

->—>

⅜⅞⅛

【解析】由题意得COSZABC-b^'bc^

∖BA∖↑BC∖1X12

所以NABC=30。.故选A.

14.已矢口向量α=(l,2)力=(1,0),。=(3,4).若2为实数,(〃+23〃。,贝1]

11

A.-B.-C.lD.2

4Z

【答案】B

【解析】因为α+劝=(1,2)+2(1,0)=(1+7,2),

又(α+劝)〃c,于是3X2-4∙(l+Q=0,

所以丸弓故选B.

乙

15.已知向量α=(l,O)∕=(l,l),则与2α+。同向的单位向量的坐标表

示为.

【答案】仔叵回)

VioioJ

【解析】由向量α=(l,0)力=(1,1),得2α+0=(3,l).

设与20+0同向的单位向量为C=(X,y),

3√10

X=-----

则二;—解得10‘故C=(字假

√10

V=——

J10

16.设区。都是非零向量,下列四个条件中,使言二白成立的充分条件

I以I∖tJ∖

A.∣α∣=团且Q〃办B,a=-b

C.a∕/bD.a=2b

【答案】D

【解析】高尚分别是与〃力同向的单位向量看=白成立的充要

IIlulI“JlUl

条件是〃与〃同向.故选D.

17.已知向量α=(l,2)∕=(2,-3).若向量C满足(c+α)〃力,c_L(a+。),则

C=()

【答案】D

【解析】c+α=(%+l,y+2),因为(c+a)〃"所以率①,

Z—ɔ

0+4(3,-1),因为c~a+3,所以3%-y=0②，

由①②得产-焉二-1故选口.

9，3

18.已知平面向量α=(l,-3),A=(4,-2)√lα+。与〃垂直,则2=()

A.-lB.lC.-2D.2

【答案】A

［解析］2α=(Λ,-32),2a+⅛=(λ+4,-3∕l-2),

因为2α+。与α垂直,所以(2α+0)∙α=0,

即(2+4)∙l+(-32-2)∙(-3)=0,解得A=-I.故选A

19.设向量α=(l,cos。)与b=(-l,2cos0)垂直,则COS2。等于(

AwB.-C.0D.-1

22

【答案】C

【解析】因为向量α=(l,cos9)与。=(-1,2COS。)垂直，

所以IX(-l)+cos8∙2cos8=0,

2cos20-l=O,

cos2。=0.故选C.

20.已知是边长为1的等边三角形,点。,石分别是边A氏JBC的

中点,连接。E并延长到点凡使得。£=2EE则3•薪的值为（）

A.-fBɪC.1D.-

8848

【答案】B

【解析1设易=@，品=瓦∙,∙∕⅛=需;=*。），赤=I法=∣S-α）,

TTlTɪ3/>、53

”=4。+。/二-尸+lS-a）=?+/1，

-

»÷—>51ɜ1ɔ53—1

•∙A『Rr=-a∙b4-一b~--一~∣.

∕iΓDC44848

故选B.

21.空间直角坐标系中,已知点P(3,2-5),点。与点P关于平面Xo2对

A.(-3,2,5)B.(3,-2,5)C.(3,2,-5)D.(-3,-2,-5)

【解析】空间直角坐标系中,点尸(3,-2,.5),

•・•点。与点尸关于平面XoZ对称，

・•・。点的坐标是(32-5).故选C.

22.已知直线/的一个方向向量加=(2,-1,3),且直线/过A((U3)和

5(-1,2,Z)两点,则广Z=(

3

A.0B.lC.-D.3

【答案】A

【解析】i4⅛=(-l,2-y,z-3).几=km.

：・-∖=2k2-y=-k,z-3=3k.

解得Z=-1=z=∣.

乙乙

.∙.y-z=O∙故选A.

23.已知向量α=α+l,0,2)m=(6,2∕z-l,2A).若。〃①则2与〃的值可以

A.2,∣B.-翡C.-3,2D.2,2

乙ɔ乙

【解析】因为向量α=(2+1,0,2)/=(6,2〃-1,22),α〃b,

所以2〃-1二0,解得心⅛⅛解得丸=2或43

所以A与〃的值可以是2；或-3].故选A.

乙Λ乙

24.在三棱锥尸-A5C中为必的中点,M⅛5C上,且5N=2NC,则（）

->1—>1—>2—>ŋ→_1→1→4→

A.MN=-2PA+3PB+3PCE∙MN=-5P4WPB+]PC

->1-勺1->2->C→.1→1→2→

C∙MN=PAFPB+/CD∙MN=-5P∕+]PB-5PC

【答案】A

【解析】由M为B4的中点,N在5C上,且5N=2NC,

-

→→—>—>1—>—>21-">(p⅛-∕⅛+∣(∕⅛T⅛)

MN=MA+AB+BN=5产力+ΛBBC=QPA+

=-⅛+jp⅛+∣PC∙故选A∙

25.若向量α=(2,-3,l)和。=(1,羽4)满足条件。仍=0,则X的值是(

A.-lB.0C.lD.2

【答案】D

【解析】因为向量α=(2,-3,l)和。=(l,x,4)满足条件α∙0=0,

即2-3x+4=0,解得户2.故选D.

26.在下列条件中,使点M与AsC一定共面的是（）

AoM=OA-OB-OCii-OM=sOA+3θB+2θC

c∙MA+MB+MC^D.0M+04+OB+0C=U

【答案】C

【解析】对于A,由0M=0力-0§-0c，得I-I-I=-I≠L

不能得出MASC四点共面；

++++1

对于B，由盛=IOA1OB⅛^⅛⅜∣≠'

所以"小,SC四点不共面；

对于由=°，得易

C,^IA+Λ⅛+MC=Λ⅛-Λ⅛,

则MAM8,MC为共面向量，即MA乃,C四点共面；

对于D，由c⅛+A+o⅛+鼠=。,得晶=-（α+而+O^）,其系数和

不为1,所以MA乃C四点不共面.故选C.

27.在四面体。A5C中,空间的一点M满足0命三&+[o⅛+2oC,若

而,Λ⅛,Λ⅛共面时=■（）

A∙l.Bl.⅛■D⅛.

【答案】D

【解析】由赢λ⅛,λ⅛共面知《+*=1，解得%=⅛故选D.I

28.已知空间三点A((M,2),3(1,3,5),C(2,5,4/)在一条直线上,则实数

Z的值是

A.2B.4C.-4D.-2

【答案】C

【解析】二(2,4,2/),

Y空间三点A(0,1,2)乃(1,3,5),C(2,5,4∕)在一条直线上，

则存在实数肛使得晶=mAB^

2=m,

4=2m,解得加=2,女=-4.故选C.

f2-k=3m,

29.已知向量α=(0,3,3)和。=(-1,1,0)分别是直线/和冽的方向向量,则

直线/与根所成的角为()

冗C冗

Aa,6B∙1DW

【答案】C

【解析】Y向量α=(0,3,3)和。=(-1,1,0)分别是直线/和用的方向

向量，

a∙b_3_1

cos<α,⅛>=∣α∣∙∣∂∣^√18×√2-2,

/.<a,b>三,直线/与根所成的角为故选C.

ɔɔ

30.若向量α=(l,-l,2)*=(2,l,∙3),则∣α+"=()

A.√7B.2√2C.3D.√1O

【答案】D

【解析】•・•向量。=(1,-1,2),斤(2,1,・3),

Λα+6=(3,0<l),

∙'∙∣α+。Iɪʌ/ɜ2+O2+(―I)2—VlO-故选D.

31.长方体ABCD-A向GDI的底面是边长为1的正方形,高为2MN

分别是四边形BHiGC和正方形ApBlGQ的中心,则向量京与加

ʌ3√10g7√10ɑ5√34D√IU

IO30346

【答案】B

【解析】以。为原点,D4为九轴QC为y轴QDl为Z轴建立空间直

角坐标系乃(1,1,0),M&l,I)Q(OQo),N&]2),Z

嬴二(-gθ,l),∕(⅛2),

设向量向M与质的夹角为仇

→→

BM-DN

则COSθ="→→"

∖BM∖∙∖DN∖

故向量晶与卤V的夹角的余弦值为咨.故选B.

30

32.若直线/的方向向量根=(%,-1,2),平面。的法向量"=(-2,24),且

直线/J_平面氏则实数X的值是H()

A.lB.5C.-lD.-5

【答案】C

【解析】直线/的方向向量m=α,-ι,2),

平面。的法向量"=(2-2,4),且直线L平面区

ς

∙*-2=-2H4,解得X=-L

・•・实数X的值是-1.故选C.

33.已知向量”=(-2,l,3)力=(-1,2,1)若〃，(α-M),则实数2的值为()

1414

A.-2B.-C.--D.2

53

【答案】D

［解析］a4⅛=(-2+Λl-22,3-A).

V0±(a-26),

・•・α∙(αUO)=-2(-2+2)+(1-22)+3(3U)=0.

解得实数2=2.

故选D.

34.已知向量α=(0,2,1)力=(-1,1M,若α力分别是平面α步的法向量，

且。_LS,则机=()

A.-lB.lC.-2D.2

【解析】Y向量。=(0,2/)/=(-1,1,根),。,。分别是平面％夕的法向

量,且。_1夕，

・^・ɑ•。=2+根=0解得根=-2.故选C.

35.在长方体ABCD√L画GQ中43=8C=2√L4I=1,则直线BG与

平面5当。1。所成角的正弦值为（

A.渔B.巫C.巫D.巫

3255

【答案】D

【解析】在长方体中,A5=5C=2,AA]=1,以。为

原点QA为元轴QC为y轴,。3为Z轴建立空间直角坐标系，

B(2,2,0),Cι(0,2,1),D(O,O,O),D1(O,O,1),Z

品1=(2(U),而=(2,2,0),血=((W),

设平面叫DDl的法向量〃=g,z),2二^

则卜.DB=2x+2y=。,蚣勺,得"®,。),庐畛一，

(n・DD1=z=0,X

设直线与平面5星DDl所成角为仇

则直线Hg与平面5与。。1所成角的正弦值为

sin0=呼叫巫.故选D.

∖BC1∖∙∖n∖'5X√25

36.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖

席,如下图,在鳖月需尸-ABC中,必，平面45仁43_13。,且以三45二

BC=I,则二面角A-PcB的大小是()

Z

悟案A】.30CoB.45oIC.60oID.9b0o"

【解析】•・•在鳖席P-ABC中,以，平面ABe'、、∖

4¾⅛ς2**vCβlrwfc"∙≡⅜*

ABLBC,且Λ4=AB=BC=1,

・•・以3为原点,5C为无轴,区4为y轴,过5作平面A5C的垂线为Z轴建立

空间直角坐标系,则A((M,0),C(I9O9O)9B(O9O9O)9P(O9I9I)9

£二(0,0,-1),而=Ql-I),而=(1,-1,-D,

【解析】设平面B4C的法向量〃=(X,y,z),

则］njPA=-z=O,取χ=ι,得〃=(jo),

In∙PC=x—y—z=0,

设平面PBC的法向量加二m,b,c),y

则［rn-PB=-b-c=O,取6=1,得In=((U-1),

Izn∙PC=a—b—c=0f

设二面角A-Pc-3的大小为“

贝0工。

ɪjeos8=∖墨τn∖'∖？n∖=√/2×√2=2,=60°.

・•・二面角A-PCg的大小为60°.故选C.

37.（多选题）在AABC中,A5=AC5C=4Q为BC的中点,则以下结论

正确的是

ABirAb=AhB∙G=*⅛+/）/k

+

c-BA-BC=8D-∖ABAC∖=∖AB-AC∖/\

【答案】BCBZ―1——

【解析】•・•⅛∆ABCΦHB=ACBC=4,。为BC的中点，

Λ+=

BD^AD^BDDABA=√⅛,故A错误;访=∣（y⅛+品•）,故B正确;

BABC^BD^DA^'BC^BC,BC+DA'BC^B^2=8,故C正确；

丁盛+启=2∣GI,后友|二|品|,D不一定成立.故选BC

38.(多选题)已知向量”=(2,-l)力=(-3,2),c=(l,l),则()

A.a∕∕bB.(α+8)JLcC.a+b-cD.c=5α+38

【答案】BD

【解析】•・・向量α=(2,-l),斤(32),c=(l,l),∙∙.∙⅜≠[,

—ɔZ

・,・°力不平行,故排除A；

;(α+O)∙c=(-l,l)∙(l,l)=-l+I=O,故(a+。)JLC,故B正确;

∙.∙a+)=(-l,l),故C不正确；

∙.∙5a+3方=(1,1),故D正确.故选BD.

39.(多选题)已知正方形ABC。的边长为2,向量α,A满足又二2α,

A.∣⅛∣=2√2B.a±b

Cab=2D.(4a+6)±6

【答案】AD

【解析】由条件可得。=G-加=访，所以网=∣δB∣=2√∑故A正确;

a二)⅛,与而不垂直,故B错误;a∙O=U^∙晶=2故C错误；

4a+b=y⅛+筋二后,根据正方形的性质有Aea瓦),所以(4a+0)L,

故D正确.故选AD.

40.(多选题)已知向量易=(1,-3),茄=(-2,1)&=Q+3∕8),若点ABC

能构成三角形,则实数何以为()

A.-2B.∣C.lD.-1

【答案】ABD

【解析】•・•向量0>(l,-3),0⅛=(-2,l),儿=(什3/8),

・・・元=(-2,1)-(1,-3)=(34),娠=(什3/8)-(1,-3尸(什2产5),

・・,点AfC能构成三角形,・•・y⅛≠乙*

(-3,4)≠(■什2)∕(%-5)),解得Z≠l.

・・.实数%可以为∙2,},-l.故选ABD.

Nt

41.（多选题）若向量α=（-l儿-2）力=（2,・：M）,α与b的夹角为120。，则2

A.17B.-17C.-lD.1

【答案】AC

【解析】Y向量。=（-1）,-2）/=（2,-1/）,〃与。的夹角为120°,

.∙.COS120°二第=⅛⅛⅛,解得A=-I或2=17.故选AC

∖a∖'∖b∖√5+λ2∙√6

42.（多选题）已知P为直线/的方向向量,加,%分别为平面α/的法向

量QS不重合）,那么下列选项中,正确的是（）

A.ni∕/n廿OJlBB"]_L%2=a_L夕

C.v∕//=/〃aD.u_L〃]=/〃a

【答案】AB

【解析】V为直线/的方向向量小,〃2分别为平面α步的法向量

（α∕不重合），

则〃1〃%=。〃夕,％_1_%=。_1_夕）〃〃〃。或∕ua

因此AB正确.故选AB.

43.(多选题)正三棱柱ABC-A^iG中小Li=WA5则()

A.AG与底面ABC所成角的正弦值为2

乙

B.AG与底面ABC所成角的正弦值为更

12

C.AG与侧面44向8所成角的正弦值为^

D.AG与侧面AAIaH所成角的正弦值为^

【答案】BC

[解析】如图,取Ala中点为瓦AC中点为E并连接EE则EBi,

EC],E厂三条直线两两垂直,则分别以这三条直线为X轴,y轴,Z轴建

立如图所示空间直角坐标系.

设AB—2,则AA∖=2yp^.

ΛA1(0rl,0)ʃ1(0J,0)Λ(0‹l,2√3)^(0J,2√3),B1(√3A0)^

底面A5C的其中一个法向量为加工(0,0,2/),

・•・Ag与底面A5C所成角的正弦值为

→

m∙AC

1I上芦

∣cos<m,i4c1>∣=∣4×2√3∣2

∖m∖∙∖AC1∖

故A错B对.

【答案】BC

【解析】取4耳中点为κ,则点K的坐标为（*_支0）,

・・・侧面AAVBpB的其中一个法向量为无I二

・•・Ag与侧面AA]515所成角的正弦值为

→→

AC1-KC1

cos→→

∖<ACrKC1>∖=

∖AC1∖∙∖KC1∖

故C对D错.故选BC.4

44.（多选题）已知点P为4A5C所在平面内一点,且易+2届+3而

=0,若石为AC的中点尸为4C的中点,则下列结论正确的是（）

A.向量以与病可能平行

B.向量与PC可能垂直

C.点P在线段£/上

D.PE：PF=I：2

【答案】BC

【解析1Tp4+2p8+3pc=0,

ΛPΛ+PC+2⅛+

•・•£为AC的中点/为BC的中点，

・・2PE+2X2尸产=0,∙∙PE二2靠

・•.P为隹的三等分点（靠近点用,即PE：尸尸二2：1,故C正确,D错误;

・•・向量易与无不可能平行，故A错误；

当l4^7∣=2∣RlWl而?|二刍几I时晌量易与无垂直,故B正确.

Oɔ

故选BC

45.（多选题）已知向量g,g是平面α内的一组基向量,。为α内的定点,

对于α内任意一点P,当晶=Xel+ye2时,则称有序实数对（x,y）为点P

的广义坐标,若点4B的广义坐标分别为（XlM）,（如为），关于下列命］

题正确的是（）

汽1+/2yi+y2∖

2,2J