2022-2023学年北京市大兴区高一年级下册期中考试数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年北京市大兴区高一下册期中考试数学模拟试题

(含解析)

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项.

1.复数(l+i)(l-i)=()

A.0B.1C.2iD.2

c"-④Dʌ/ð÷V2

∙-V4

3.已知向量Z=(l,2),⅛=-(2-,〃?)，若ι∕∕B,则加=()

A.-ɪB.T4C.4D.1

4.函数/(x)=sin2x-cos?的X最小正周期是()

π

A.-B.πC.24D.44

2

5.已知复数Z满足z∙i+l-2i=0,则在复平面内Z对应的点的坐标为()

A.(1,2)B.(-1,-2)

C.(2,1)D.(-2,1)

6.设平面向量，6，"均为非零向量，则"704)=0”是“=”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.在平面直角坐标系XOy中，角α与角耳均以OX为始边，它们的终边关于X轴对称，若

Sina=；,则cos(a-/?)=()

C∙HD.L

A.1B.--

999

8.在。中，α=4,b=5,c=69则sin(∕+6)=()

A.近B.ɜC不D,也

84416

9.已知ΔJ5C是边长为2的等边三角形，。是边BC上的动点，E是边4C的中点，则布•亚

的取值范围是()

A.[-2√3,θ]B.[θ,2√3]C.[-3,0]D.[0,3]

10.已知函数/(幻=25泊(妙+夕)(o>0,0<9<1^的部分图象如图，/(xl)=∕(x2)=-∣,

第二部分(非选择题共IlO分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.复数1+i的共输复数为

12.已知平面向量B满足同=2,W=I,且£与B的夹角为与，则,+*.

13.在“8C中，若CSin8=JibcosC,则NC=.

___I_.___

14.已知“5C,AB=I,/C=l,ABAC=∖^点。满足">=5(∕8+∕C),点E满足

AE=£D>则N8∕C=,EA-EC=.

15.己知函数/(x)=2sinx+cos2x,给出下列四个结论:

①/(X)为奇函数;

②/(X)在区间［0,2π)内有2个零点;

③/(x)的周期是π;

3

④/(x)的最大值为

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知Sina=I∙,α∈(θ,^1.

(1)求sin(；-aj的值；

⑵求tan(2。-；)的值.

17.已知复数z=α+i(αeR),i为虚数单位.

⑴若囱=1,求。的值；

(2)若三为实数，求。的值；

1+1

(3)若Z是关于X的实系数方程χ2+fer+2=O的一个复数根，求α,b的值.

18.已知函数/(x)=√Jsin2‹υx-cos20x(O<0<2),再从条件①、条件②、条件③中选择一个

作为已知.

条件①：函数/(X)的图象经过点(早2)；

条件②：函数/(x)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到；

条件③：函数/(》)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

⑴求/(x)的解析式；

(2)求/(x)的单调递增区间；

(3)当xe[θ,[[时，关于X的不等式/(x)≤m恒成立，求实数加的取值范围.

19.如图，在中，Z5=y,AB=2,/C=26，点。在BC边的延长线上，且80=6.

⑴求N/C8；

(2)求ANe。的周长.

20.在4/BC中，λ∕3sin^β+^=-cos^β+.

(1)求8的值；

222

(2)给出以下三个条件：Φα-⅛+c+3c=0;②α=√L6=1;③SΜc=等3若这三

个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题:

(i)求sin/的值；

(ii)求//8。的角平分线5。的长.

21.在“8C中，NC=θ,CB=a,CA=b.

⑴设点P为边48靠近点A的三等分点，CP=λCA+(∖-λ)CB(AeR),求2的值;

⑵设点，…，月_是线段NB的〃等分点，其中"cN*,n≥2.

(i)当"=5时,求I函+函+函+苗I的值；(用含α,46的式子表示)

(ii)求"(函+函+…+西)的值.(用含"，。,瓦。的式子表示)

答案解析

1.D

【分析】根据复数的乘法法，准确计算，即可求解.

【详解】由复数的运算法则，可得(l+i)(l-i)=l-i+i-(-i)2=2.

故选：D.

2.B

【分析】由二倍角的正弦公式求解即可.

■'V-hjj▼.兀兀1.7IlIl

【讲解】SmFeOSF=5s1nd=5x5=a.

故选：B.

3.B

【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】由G//B，则lx%-(-2)χ2=0,得加=-4.

故选：B.

4.B

【分析】化简/(x)解析式，由此求得/(x)的最小正周期.

【详解】/(x)=-cos2x,最小正周期为7=夸=乃.

故选：B

5.C

【分析1由题意可解出z=2+i,则可得到复平面内Z对应的点的坐标为(2,1).

【详解】因为z∙i+l-2i=0,所以z=qa=(T：2i)i=2+i,

从而复平面内Z对应的点的坐标为(2,1),

故选：C.

6.B

【分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】由5=3得加_工=6,得7R-W)=0;反之不成立.

故“£・0-工)=O"是%=c”的必要不充分条件.

故选：B.

本题主要考查判断命题的必要不充分条件，涉及向量数量积，属于基础题型.

7.D

【分析】由题意，求出α与P的关系，再运用二倍角余弦公式求解.

【详解】由题意作下图：

/3=2π-a,COS(C-〃)=cos(2α-2π)=cos2ɑ=l-2sin2ɑ=—；

故选：D.

8.A

【分析】根据余弦定理求得CoSC=结合三角函数的基本关系式，利用SinQ+8)=SinC,

8

即可求解.

【详解】因为α=4,b=5,c=6,由余弦定理可得COSC='一°、=4七-二£.=1,

2ah2×4×58

又O<C<兀，贝IJSinC=JI-COS20=之互，

8

又因为4+B+C=π,所以sin(4+B)=SinC=—.

故选：A.

9.C

【分析】利用基底的思路结合共线向量表示出屁.通=3/1-3,然后根据丸的取值范围计算

即可.

设丽=X品，则7r[0,l],

展.诟=；怦+网卜就-网

22

=^λBA-~BC-∣∑4∣+λ∣BC∣-5J∙βc)

=∣(22-4+42-2)

=32-3,

所以而•功的取值范围为[-3,0].

故选：C.

10.C

【分析】首先结合已知条件和图像求出/(x)的解析式，然后利用函数的对称关系求出为与々

之间的关系式，然后通过/&)=-：求出Sincxl+J)=-：,进而即可求出COSf(x2-xl).

2364L6_

【详解】结合题意可知，/(0)=2sine=lnsin*=;,

丁OV3<一,∙*∙(p——,

26

152π2π

又由图像可知，-T>2=T='>5=0<G<3,

22ω5

SS7ΓS7tτr2

又由/(一)=2sin(-0+—)=O,UP-ω+-=kπ,即G=-----+-kπ,%∈Z,

22626155

从而①=£,故/'(X)=2Sin(WX+5)，

336

JTTTTT

令一x+—=——!■左∕τnx=l+3左，％∈Z,

362

从而/(M的对称轴为X=1+3%,%∈Z,

7

由图像可知，X=Xl与X=X2关于1=一2对称，即玉+W=-4=工2=-4一须，且再∈(-],一2),

因为/(x∣)=2sin(gx∣+g)=-∣∙=>sin(gx∣+ɪ)ɪ-ɔ

362364

所以cos[J(七一X∣)]=cos[g(-4-2x∣)]=cos(gx∣+J+g)=-sin(gx∣+J)=?.

66362364

故选：c.

11.1-i

【分析】根据共朝复数定义直接写出已知复数的共粗复数即可.

【详解】由共轨复数得定义：复数1+i的共貌复数为1-i.

故1-i

12.√3

【分析】利用平面向量数量积运算公式进行出(£+5/=3,从而求出B+5∣=6.

［详解】（〃+4=47^÷⅛2+2tz∙A=∣+∣0÷2∣I^eosʃ=4+1+41-ɪJ=2,

故,+q二石.

故6

π

13.-##60°

3

【分析】利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用同角三角函数的关系可求得结

果.

【详解】因为CSinB=JJbCosC,

所以由正弦定理得sinCSinB=JJsinBcosC，

因为3∈（0,兀），所以SinB≠0,

所以SinC=VJcosC,

所以tanC=V3，

因为。€（0,兀），

所以。=:，

3

4√π

故W

14.巴-ɪ

316

【分析】先确定。，E点的位置，再根据数量积的运算规则求解.

【详解】由题意作下图：

其中点。是BC的中点，点E是工。的中点：

■-ɪ,∖I

AB∙AC=AB∙ACcoSNBAC=1,/.cosZBAC=—,Z.BAC∈（0,π）,.*.NBAC=—,

EA=-DA=一一（AB+JCYEC=EA+AC=--AB+-AC

24、/44f

.•京反=-；（在+可］在3同=吊（2在证43元一珂=吊

故和^T6

15.②④

【分析】根据三角函数的有关性质逐项分析.

【详解】对于①，/(-x)=2sin(-x)+cos(-2x)=-2sinx+cos2x≠-f(x)f不是奇函数，错

误;

2

+∣,令

对于②，/(x)=2SinX+l-2sin2X=-21sinX—∙/(x)=0,

2

∙∙∙∣sinx∣≤l,解得SinX=匕且，对应的X值分别在第三象限和第四象限有一个，正确;

2

对于③，/(x+π)=2sin(x+π)÷cos2(x+π)=-2sinx+cos2x≠ʃ(ɪ),错误;

对于④，由②的分析知，/（x）的最大值为］，正确;

故②④.

⑥⑴奈

(2)?

【分析】（1）先求出COSC,再根据两角差的正弦公式求解;

（2）先求出tan2α,再根据两角差的正切公式求解.

,,Λ

【详解】⑴因为Sina=片a∈(0,-∣),所以CoSa=JI-Sin?α=,

匕匚卜］./兀∖∙兀兀.√24√23√2

J7T以sɪn(——a)=sin-cosa-cos-sina=——×-------×-二——；

444252510

3424

(2)因为sin20=2sinαcosa=2x—x—=—

5525

7

cos2α=2cos2α-l=2×-----1=

2525

Csin2224

所以tan2a=--------=一,

cos2a7

tan2a-tan—*

所以tan(2α-^)=--------------公=J=IZ

4.π24

41+tan2atanl+31∙

47

17.(1)0

(2)1

【分析】(I)直接列方程求解即可;

7

(2)把z=α+i(α∈R)代入1一化简，然后由虚部为零，可求出。的值;

(3)把z="+i(o∈R)代入方程化简，然后列方程组可求出6的值.

【详解】(1)因为∣z∣="7W=l,所以α=0.

/C、H&Z(a+i)(l-i)61+1ɪ-ɑ,

(2)因为TTrEV=三十亍Iλ为头数，

所以ICa=0，解得Q=L

2

(3)因为Z是关于X的实系数方程χ2+H+2=o的一个复数根，

所以(α+i):+b(α+i)+2=0,

整理得a?+ab+l+(2a+b)i=0,

a2+ab+∖=O

所以

2a+b-0

18.(l)∕(x)=2sin^2x--

(2)—+kτι,—+ku.k∈Z

'[63

⑶[2,+8)

【分析】(1)化简函数得/(x)=2sin(2ox-F),

6

若选①，则把(早2)代入函数中可求出0的值，则可求出解析式，

若选②，则由三角函数图象平移规律可求出。的值，

若选③，则3=^,求出周期，再利用周期公式可求出。的值；

(2)由」TT+T2T⅛TπT≤2x-^≤二+2E可求出函数的单调增区间；

262

(3)利用正弦函数的性质求出/(x)在Xe0,j上的最大值，从而可求出实数〃?的取值范围.

【详解】(1)/(%)=V3sin2<υx-cos2d>x=2sin(2<yχ-―),

6

选①：函数/(X)的图象经过点仔,2),则2sin(20x'.)=2,

所以26υχN-E=E+及π,%wZ,贝Ij0=1+3左,左∈Z.

362

JT

由0<o<2,可得G=1,则/(x)=2sin(2x——)；

6

选②：函数/(X)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到，

即/(X)=2sin(2ox-F)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到,

6

则G=1,贝∣J∕(X)=2sin(2x-5).

6

选③：函数/(X)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为g,

2

2兀

则函数的最小正周期为兀，故2勿=一=2,.∙.o=l,

π

TT

故/(ɪ)=2Sin(2/--).

(2)令z=2x-J,因为y=sinz的单调递增区间是-g+2E,^+2Aπ

6L22

且由一百+2Aπ<2x--<-+2kπ,得一二+Aτt≤x≤—+kπ,k∈Z.

26263

所以，/(x)=2sin(2x-F)的单调递增区间是-→⅛→Aπ,⅛∈Z.

6[_63

(3)当x∈0]时，2X-YEπ5πJlJsin(2x--≡j∈--1,1,

6,T2

⅛∕(x)=2sin(2x--^j∈[-l,2],

Tr

又当x∈0,-时，关于X的不等式/*)≤沈恒成立，故加≥2,

即实数加的取值范围为[2,+8).

π

19.(1)-

O

⑵2+26+2«

【分析】(I)在AZlBC中，利用正弦定理即可求解；

5TT

(2)由(1)可求得CD=2,ZACD=,在A/C。中，利用余弦定理可求CD,从而可求AACD

的周长.

ACAB

【详解】（1）在。中，由正弦定理

sinBsinZACB

又∕8=g,AB=I,∕4C=2√3.

所以SinNNCB=生铲=；.

因为N4C8∈(0√r),所以NZC8=夕Tr或5TT

66

若N4CB=学,则NNCB+/8=等+?＞兀，与三角形两角和定理矛盾，故舍去,

663

TT

所以N4C8=V.

6

(2)在“8C中,因为NBRC=π-NB-N4CB=]

所以“8C是直角三角形，又/8=2,AC=2也，

所以BC=y∣AB2+AC2=4，

又因为5。=6,所以8=2,

5JT

因为NJa)=π-4C8=-,

6

所以在AZCZ)中，由余弦定理4)2=C42+C02-2C4∙CZ)COSN4CZ)

得/£)2=28，所以4)=2√7,

所以，”C。的周长为2+20+2".

20.(1)8号

(2)正确条件为①③，G)SirU=迈，(ii)BD=-

148

【分析】（1）利用和角正弦公式可得2sin（8+gj=o,结合三角形内角和性质即可求8的

值；

（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长,

最后由正弦定理求sin/；

（ii）由角平分线性质求得N/8。=],再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出

sinAADB,再根据正弦定理求BD的长.

【详解】⑴由题设扇“8+看卜时8+升25亩（8+务0,

r_πCπ4π

而：<8+;<-,

333r

所以8+W=π,故5=勺；

33

(2)若①②正确，则/+3C+2=(C+1)(C+2)=0,得C=-I或C=-2,

所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，

若②③正确，则SA““=1"sinC=曳l,可得SinC=二＞1,即②为错误条件,

△ABC242

综上，正确条件为①③，

(i)⅛2accosB=a2+c2-b29则c(3-4)=O,即α=3,

又SABC=~acsin3="",可得c=5,

Δ∕⅞0C24

所以9-"+25+15=0,可得6=7,则-^7=~^=∙⅛,

sinAsinB√3

4√r∙λ35∕J

∏xsinA=----;

14

(ii)因为Sin/=迈且∕e]θ,1],得COSZ=Jl-Sin2/=U,

14I3)14

TT

由5。平分//8C得448。=§,

在△仙中，sm∕"5=sm(4如/)=与***竽,

‹3√3

5×-----

BDAB15

在AZBO中，由得BD=—科-

sin4s