湖北省武汉市硚口区2023-2024高三年级上册学期起点质量检测数学试卷（含答案）

2023年研口区高三年级起点质量检测

高三数学试卷

考试时间：2023年7月25日下午14：00------16:00试卷满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.集合4={》修一3x-4<0},5={x|l<x<5},则集合AUB等于

A・[-1,5)B.(-1,5)C.(1,4]D.(1,4)

2.若复数z=|3i—l|+士，则复数z的虚部为

1+1

A.当B.一士C.-D.--

2222

3.甲组有4名护士，1名医生；乙组有6名护士，2名医生.现需紧急组建医疗小队，若从甲、乙两组

中各抽调2名人员，则选出的4名人员中恰有1名医生的不同选法共有

A.130种B.132种C.315种D.360种

4.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖,清代称攒尖,

通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分,

多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部

分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为3也米，

侧棱长为5米，则其体积为()立方米。

A.2472B.24C.72痣D.72

5.公司邀请用户参加某产品的试用并评分，满意度为10分的有1人，满意度为9分的有1人，满意

度为8分的有2人，满意度为7分的有4人，满意度为5分和4分的各有1人，则该产品用户满意度

评分的平均数、众数、中位数、85%分位数分别为

A.8分，7分，7分，9分B.8分，7分，7分，8.5分

C.7.2分，7分，7分，9分D.7.2分，7分，7分，8.5分

6.过点(-乎,0)且倾斜角为十的直线/交圆/+产-6y=0于4B两点,则弦相的长为

A.4/B.2啦C.2亚D.VlO

7.设函数段)=3*+b,函数人x)的图像经过第一、三、四象限，则g(b)=/(6)一穴6—1)的取值范围为

A.(0,-)B.(-8,2)C.(一8,今D.(0,3

9933

&若函数{)=}:衿。)有两个零点，则m的取值范围为

A.(-8,|)B.(0,|)C.{|}D.(j,+~)

二'选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知棱长为2的正方体4BCD-431GA中，过8。1的平面a交棱于点与交棱C&于点凡

则

A.BF=EDXB.不存在E,F,使得EF1平面DBBR

C,四边形段RE可能为菱形D.平面a分正方体所得两部分的体积相等

10.已知函数/(x)=2sin®x+e)0＞。,|。|＜5的部分图象，则

I27

A.。=2

c兀

B.(p=-

C.点仔,0)是〃x)图象的一个对称中心

D./(x)的图象向左平移3个单位后所对应的函数为偶函数

11.已知双曲线。:必一。=1,用工为双曲线的左、右焦点，若直线/过点玛，且与双曲线的右支交于

〃,N两点，下列说法正确的是

A.双曲线C的离心率为百

B.若/的斜率为2,则"N的中点为(&12)

C.若/甲则△肛B的面积为3石

D.使△跖巧为等腰三角形的直线/有3条

12,设函数＞=/(%)的定义域为R，且满足/(l+x)=/(lf)，/(%一2)+/(-%)=°，则下列说法

正确的是

A.y=/(x+l)是偶函数B.y=/(%+3)为奇函数

C./(%)是周期为4的周期函数D./(1)=0

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.正六边形49CDE尸的边长为4,点尸满足后=在+就，则而.万=.

14.网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者

认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“h1”表示2015年，

“x=2”表示2016年，且x为整数，依次类推；y表示人数)：

X12345

y(万人)2050100150180

根据表中的数据，可以求出务==42,若预测该公司的网购人数能超过300万人,

55-5x9

则x的最小值为.

15己知705出6=1+785，贝心10(2，+生)=

・6-----------,

16.已知直线48是曲线丁=-1及抛物线y=2px(p>0)的公切线，切点分别为

X

A(xI,y1),B(x2,y2)(x2>0),则再乂=,若您|=4^,则。=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛斯｝满足：a3=7,a5+s=26,｛斯｝的前〃项和为£•

⑴求斯及S”；

(2)令儿=」一("GN)求数列｛瓦｝的前n项和T„.

斯2-1

__cjnB

18.已知a,b,c分别为△ZBC的三个内角4B,C的对边，比=意%々

⑴求4

(2)。为3c边上一点，DALBA,且80=3。。，求cosC的值.

19.如图，在四,.锥P_4BCD中，A尸40为等边三角形，”为尸4的中点，尸。_L48，平面尸力。，

平面ABCD.

(1)证明：平面MCD_L平面尸4S；

(2)若ADHBC,AD=2BC,CD=2AB,求平面MCD与平面P5C夹角的余弦值.

20.有编号为1,2,3,18,19,20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1个绿球，其余箱子均

为2个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球

放入第三个箱子，以此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记

乃为从第i个箱子中取出黄球的概率.

(1)求夕2，。3；

(2)求必

21.已知椭圆。:[+A=3>6>0)的离心率为逅，点心生，追)在椭圆。上.

ab333

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点"(2,0)的直线与椭圆。交于43两点，求S/OH的最大值.

22.已知函数/(x)=3(1-x)ln(l+x)+sin处

⑴求曲线歹=/卜)在点(0，/(0))处的切线方程；

⑵若，(x)=/〃在[05上有两个不等的实数根西，电，证明：|石-%2区1-芸・

2023年研口区高三年级起点考高三数学答案

一、选择题：1.A2.D3.B4.B5.C6.A7.A8.B

二、选择题：9.ACD10.ACD11.BCD12.AB

97

三、填空题：13.2414.815.—16.-1；8衣及

四、解答题：

17.（1）设等差数列｛&｝的首项为公差为d,因为〃3=7,的+。7=26,

所以。]+2d=7,2a]+10d=26,（2分）解得s=3,d=2.（3分）因为+（〃—l）d,

S〃="（。；斯）,所以斯=2〃+1,（4分），£=〃（〃+2）,（5分）

（2）因为。〃=2〃+1,所以a/—1=4〃（〃+1）,（6分）因此d=―[=上〃+].

4〃（w+1）4

4-把一十一制

（7分）.故。=bi+岳+…

4

/-、，所以数列｛与｝的前〃项和T.（10分）

4（〃+1）n4（〃+1）

18.（1）由^—-=得（。一c）（sin4+sinC）=（b+c）sin6,

b+csin%+sinC

由正弦定理得（a—c）（a+c）=3+c）b,（2分）即层一°2=/>2+曲，由余弦定理/=〃

+c2-2bccos4,得cosA———.（4分）由于0<A<n,所以/———.（5分）

23

（2）由（1）可知4=2三，所以NC/D=2三--=—.根据正弦定理，在△◊£）中，有

3326

CDhBD

T=--------------，（6分）在△84。中，有T=----------------，（7分）又N4DB

sin-sinZADCsjn2LsinZADB

62

o

+ZADC=n,所以sinZADB=sinNADC.又BD=3CD,所以b=2c,（8分）所以

3

由余弦定理可得，a2^b2+c2-2bccosA^—+c2-2X~x（-3=g。2,（10分）

939

mlV19f.rp；△a2+b2~c27^/19

贝ija—~-c,所以cosC---------------=——.（12分）

3lab38

19.（1）设/。的中点为E，连接PE,因为AP4D为等边三角形,所以PEJ.AD,

又因为平面PAD_L平面ABCD,平面PADc平面ABCD=4D,且PEu平面PAD，

所以尸EJ_平面Z8CD,因为Z8u平面Z8C。，所以PEL（2分）

又PD上AB,PDCPE=P,PRPEu平面4£）,所以N8人平面刃。，（3分）

又因为MDu平面&O,所以因为在等边三角形A/M。中，”为PN的

中点，所以因为4Bn4P=N，4B,4Pu平面P4B，所以MD_L平面

PAB，（4分）因为MDu平面MCD,所以平面MCZ）J_平面尸ZB：（5分）

试卷第1页，共4页

（2）连接CE,由（1）知，Z8工平面P/。，因为ZDu平面P/O，所以，

因为ADIIBC,AD=2BC,CD=2AB,所以四边形48CE为矩形，

即CEtAD,BC=AE=DE,CD=2AB=2CE,所以ZCDE=30°,设6C=a,

/7

AD=2a,尸E=NE-tan60°=&，AB=CE=DEtan300=—>以E为原

3

点，分别以EC、ED、EP所在直线为x、丁、z轴建立空间直角坐标系，（6分）

B

（n、（h、

所以4（0,-a,o）,P（0,0,缶卜C—,0,0,B—,-a,0,。（0,凡0）,

、3JI34

”°‘4'与）’所以流=[“瞿,一半）,丽=陪一手，

而=（与,_凡_e），PC=J7A

学,0,一百。，（7分）设平面MCD和平面尸SC

的法向量分别为々=（X],y”zJ,r2=（工2，必*2），则

一777；a也a

n\=+2y'—丁马=0%•PB=――-%一ay2—=0

<,<:，即

一TTri3ay/3a

ni-MD=-yl---z1=0曲,PC---%2—--0

罚=后|02=0Hn.

1厂,12,取乂=1,z2=1,则〃।=（百,1,JJ）,（9分）n2=（3,0,1）,

.Z]=j3乂[X2-3z2

…八、……//二\_〃「后373+73_2>^10

川才f以…/同可亚-35，

所以平面A/CZ）与平面P8C夹角的余弦值为逑巫.

（12分）

35

23^

20解：⑴从第二个箱子取出黄球的概率鸟一

353-

、238

从第三个箱子取出黄球的概率巴=——）•—=一

315515575

3212

（2）由题意可知，^+1=j/>+j（l-^）=j^+j,（8分）

111_7

匕「5=《化—”（9分）又6=丁（io分）

试卷第2页，共4页

告+3,川分）

***^20+-.(12分)

2

21.解：（1）由离心率为逅a2:b2:。2=3:1:2,（1分）设椭圆方程C：E+W=1,

33b°b1

将点（迪，也）代入方程，可得〃=1,（3分）故方程为片+/=1.（4分）

333

x=ny+2

)/+3犬=3'代入消元得

(3〃2+i)j?+i2〃y+9=0,由△>()得〃2—i>o.必+8=——弓—,

3"+1

9、〜|0-0-2|2、

必必=「一，(6分)原点到/相的距离/=/，0分)

3〃+1Jl+〃2Jl+〃2

2

\AB\=^Jl+n\yt-y2\,

]____2______________

SNOB).+/瓦-必|-/二|必-%|=/(弘+%)2-4%先

2A/1+〃

<2,当且仅当f=d,即〃2=1.时,

令Z=—1>0,

…”一233

面积取到最大值.（12分）

■X—1

22.（1/（X）=sin7tr-3（x-l）ln（x+l）r(x)=71COS7LY-3----31n(x+1)

（2分）所以/'（0）=兀+3,又因为"0）=0,（3分）

所以〃力在x=0处的切线方程为y=（兀+3）x.（4分）

（2）依题意得/（x）=加在［0』上有两个不等的x“xz，而

x-1、6

fix')=TICOS---31n(.v+l)=TicosJir-3+——--31ii(x+l),（5分）

).6•J2.3x+9

令/(x)=G(x),则G'(x)=-TCSinTtx---------7-----=-7C~Sin7LX-

(x+1)x+l

因为对任意的xe[0,1],sinm>0,所以任意的xe[0,1],G'(x)<0恒成立,所以f(x)=G(x),

在［0,1］上单调递减，而/（0）=兀+3,，（1）=一元一3hi2<0,

试卷第3页，共4页

由零点存在性定理，存在x°e(O,I),使得F(%)=0，

于是xe[O,Xo),八%)>0,xe(x0,l],f(Xo)<O,

因此/(x)在[0,x0)上单调递增，在(X。』(/』上单调递减，

在x=x0取到极大值f(,r)