中考数学复习指导：数形结合思想的应用

数形结合思想的应用数形结合的思想是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合；或是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，通过“以形助数”和“以数辅形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化．利用数形结合思想解题主要涉及两大类：(1)利用几何图形直观表示数，常借助数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形的问题，常需建立方程（组）或建立函数关系式等．本文选取几例，说明数形结合思想在解题中的应用，供参考．一、在数与式问题中的应用例1下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为_______．分析第一个图案为4个窗花＋1个窗花，第二个图案为6个窗花＋2个窗花，第三个图案为9个窗花＋2个窗花，…从而可以探究第n个图案所贴窗花数为(2n＋2)＋n＝3n＋2个．点评将图形语言转化为解题所需的数据，以形想数，从而发现规律得出结果．二、在方程与不等式中的应用例2已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是_______．分析解x－a≥a，得x≥2a；①解5－2x>1，得x<2． ②因为该不等式组有解，由①、②得该不等式组解集为a≤x<2，如图2．用数轴表示为由图2，可得实数a的取值范围是－3<a≤－2．点评借助数轴将代数问题转化为图形，利用图形更直观地观察出实数a的取值范围．例3在直角坐标系中直接画出函数y＝的图象，若一次函数y＝kx＋b的图象分别过点A（－1，1），B(2，2)．请你依据这两个函数的图象写出方程组的解．分析由图象可知，方程的解为：或．点评通过作一次函数的图象，可以直观地确定出方程组的解．体会到方程组的解与图象上点的坐标密切关系，品味出数形结合思想的内在的魅力．三、在函数问题中的应用例4某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图4中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录（如图5）提供的信息，解答下列问题：(1)求销售量x为多少时，销售利润为4万元；(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率那么，在OA，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）分析(1)根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4÷(5－4)＝4万升；(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.5－4＝1.5（万元），所以销售量为1.5÷(5.5－4)＝1（万升）．所以点B的坐标为(5，5.5)，得到线段AB所对应的函数关系式为y＝1.5x－2(4≤x≤5)．从15日到31日销售5万升，利润为1×1.5＋4×(5.5－4.5)＝5.5（万元），所以本月销售该油品的利润为5.5＋5.5＝11（万元），所以点C的坐标为(10，11)．则线段BC所对应的函数关系式为y＝1.1x(5≤x≤10)．(3)线段AB．点评在解决函数问题时，应注意观察函数图象的形状特征，理解图表中有用的信息，充分从函数图象中挖掘已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解．四、在概率统计中的应用例5甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有3，4和5；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有6和7．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．(1)取出的3个小球上恰好有两个偶数的概率是多少？(2)取出的3个小球上全是奇数的概