中考数学复习指导：巧用杠杆原理求解几何比值问题

巧用杠杆原理求解几何比值问题利用初二物理中介绍的杠杆平衡原理：“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”可妙求几何线段的比值，现举数例说明如下：一、课本习题例1已知：如图1，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点，求AF：FC．解①观察以D为支点的系统BDC．由于DB＝DC，故B.C点各挂a牛顿重物，D点受力2a牛顿，这时系统BDC才能达到平衡状态．②观察以E为支点的系统DEA．由EA＝ED，故在A处挂2a牛顿重物，系统DEA才能达到平衡．由于D点受力2a牛顿，因此E点受力4a牛顿．③观察以E为支点的系统BEF．由于B点受力a牛顿，E点受力4a牛顿，故F点受力3a牛顿，这时系统BEF才能达到平衡状态．④观察F为支点的系统AFC．由于A点受力的2a牛顿，C点受力为a牛顿，F点受力为3a牛顿，正好F点受力为A点和C点受力之和，因而系统AFC处于平衡状态，所以有2a．AF＝a．FC，∴AF：FC＝1：2．二、中考试题例2已知：如图2，△ABC中，AE：EB＝1：3，BD：DC＝2：1，AD与CE相交于点F，则的值为()(A) (B)1 (C) (D)2解①观察系统BDC．若在B点挂a牛顿，则由于BD：DC＝2：1，所以需在C点挂2a牛顿，这样系统BDC就能达到平衡状态，此时支点D受力应为3a牛顿．②观察系统AEB．由于AE：EB＝1：3．且B点受力a牛顿，故A点受力应为3a牛顿，这样要使系统AEB达到平衡状态，那么支点E受力应为a＋3a＝4a（牛顿）．③观察系统AFD．因为A点受力3a牛顿，D点受力3a牛顿，故要使系统，4FD达到平衡状态，则支点F受力应为3a＋3a＝6a（牛顿）．④观察系统CFE．由于C点受力2a牛顿，E点受力4a牛顿，所以2a＋4a＝6a（牛顿），正好等于支点F的受力，因而系统CFE处于平衡状态．从而有三、解竞赛题例3如图3，△ABC中，AD是BC边上的中线，F为AD上的一点，且AF：FD＝1：5．连结CF并延长交AB于点E，则AE：EB等于()(A)1：6 (B)1：8(C)1：9 (D)1：10解①观察以D为支点的系统BDC．由于D为BC边的中点，故DB＝DC，所以B.C点各挂a牛顿重物，D点受力为2a牛顿，这时系统BDC才能达到平衡状态．②观察以F为支点的系统DFA．由于AF：FD＝1：5，故由杠杆平衡原理知：2a牛顿·FD＝x·AF，故x＝10a牛顿，即A点受力为10a牛顿，要使系统DFA达到平衡，那么F点受力为12a牛顿．③观察以F为支点的系统CFE．由于C点受力a牛顿，F点受力12a牛顿，因此，要使系统CFE平衡，那么E点受力为11a牛顿，此时E点受力正好是系统AEB的A点和B点受力之和，所以有：AE．10a＝BE·a．AE：BE＝1：10．故选D．例4如图4，已知△ABC中，，，AD.BE交于点F，则的值是()(A) (B)(C) (D)解①观察系统BDC．若在B点挂3a牛顿重物，由于BD：DC＝2：3，所以需在C点挂2a牛顿重物．这样系统BDC就能达到平衡状态，此时支点D受力应为5a牛顿．②观察系统AEC．由于AE：EC＝3：4．且C点受力为2a牛顿，故由杠杆平衡原理知x·AE＝2a．EC，∴x＝a牛顿，即A点受力为a牛顿．因此，要使系统AEC达到平衡状态，则支点E受力应为a牛顿＋2a牛顿＝a牛顿．③观察系统BFE．因为B点受力3a牛顿，E点受力a牛顿，故要使系统BFE达到平衡状态，则支点F受力为3a牛顿＋a牛顿＝a牛顿．④观察系统AFD，由于A点受力为a牛顿，D点受力为5a牛顿，所以a牛顿＋5a牛顿＝a牛顿，正好等于支点F的受力，因而系统AFD处于平衡状态．从而有综上可知：应用杠杆平衡原理解几何比值问题，虽然有点繁，但方法富有规律，若用纯几何方法求解，则不仅要作辅助线，而且还要通过三角形的相似，经过比例变形及运算才能求得结果．这类问题之所以能用杠杆平衡原理来解，其关键在于可将图形中的