2023-2024学年科大附中数学高二年级上册期末联考模拟试题含解析

2023-2024学年科大附中数学高二上期末联考模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过抛物线V=6x焦点R的直线与抛物线交于A,3两点，人尸=3所，抛物线的准线/与无轴交于点C，则ABC

的面积为（）

A.6A/2B.6君

C.3V2D.36

2.设aeH,贝U“a=l”是“直线/i：ax+2y—1=0与直线4：x+（a+Dy—〃=0”平行的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件

3.设直线/：or+（a—2）y+l=0,Z2:x+ay-3=0.±/2,则"的值为（）

A.0或1B.0或—1

C.1D.-1

221

4.已知点耳，工是椭圆C：工+==1（。〉6〉0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为了的直

ab4

线上，△尸月耳为等腰三角形，且N68P=150。，则C的离心率为（）

3—1

A.---------B.-

63

DT

6

5.若向量。二(1,2,0),6=(—2,0,1),贝!JO

/人1

A.cos\62,b/——B.

2

D.iE

C.allb

6.已知向量a=(x,l),6=(4,x),贝!J"x=2”是“a〃匕”的。

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知向量a=(无2,5)与b=(Ly—3)平行，则()

A.孙=2B.x-2y=15

C.x+2y=15D.孙=一2

8.曲线y=e'+l上的点到直线无一丁―2=0的距离的最小值是。

A.3B.近

C.2D.2拉

9.设向量a=(x,l,l),b=(i,y,l),c=(2,-4,2),且。,。，b//c>则，+,=()

A.272B.V10

C.3D.4

10.已知向量。=(—1,2,3),力=(2,-1,—4),则下列向量中，使寸能构成空间的一个基底的向量是()

A.c=(-2,1,4)B.c=(l,l,-1)

C.c=(-8,7,18)D.c=(—1,2,-4)

11.圆d+j?-2x+4y-4=0的圆心坐标与半径分别是()

A.(l,-2),2B.(-l,2),2

C.(1,-2),3D.(-l,2),3

12.现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，3表示

事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P(叫A)=()

14

A.-B.-

37

-23

C.—D.一

34

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知椭圆「+卓=1(。〉人〉0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是片，F2,且

2-J311

的面积为甘点尸为椭圆上的任意一点，则西+西的取值范围是.

14.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三"人中，抽取90人进行问

卷调查.已知高一被抽取的人数为36,那么高二被抽取的人数为

15.在空间直角坐标系。一孙z中，向量3=(1,3,—2)为平面ABC的一个法向量，其中A。,—1J),3(3,1,4),则向

量AB的坐标为

16.如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上

一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落时，将随机的向两边等概率的落下.当有大量

的小球都落下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球.现有5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛4｝的首项4=1,且满足a=+i=f1("eN*).

(1)求证：数列为等差数列；

(2)设g=一,求数列｛%｝的前"项和S..

an

18.(12分)某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走

向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心。

的东北方向200米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度

•A

摄像头

西辅道(7)东辅道

西景蠡/物光景直道东

(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？

(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度

2

19.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点尸到双曲线(-产=1的渐近线

的距离为L

(1)求抛物线C的方程；

(2)若不经过原点。的直线/与抛物线C交于A、B两点,且Q4LO3,求证：直线/过定点.

20.(12分)已知圆C的方程为(1-的2+丁2=4.

(1)直线八过点P(3,1),倾斜角为45。，且与圆C交于A,8两点，求45的长；

(2)求过点P(3,1)且与圆C相切的直线b的方程.

21.(12分)已知抛物线。：/=2°%(2>0)的焦点为R，点机)在抛物线上，且的面积为，(。为

坐标原点)

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)点A、3是抛物线。上异于原点。的两点，直线Q4、08的斜率分别为4、k2,若k&=-2,求证：直线A3

恒过定点

22.(10分)中国男子篮球职业联赛(ChineseBasketballAssociation),简称中职篮(CBA),由中国国家体育总局篮球

运动管理中心举办的男子职业篮球赛事，旨在全面提高中国篮球运动水平，其中诞生了姚明、王治郅、易建联、朱芳

雨等球星.该比赛分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，某年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，

分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8球队进入季后赛.下表是A队在常规

赛60场比赛中的比赛结果记录表.

阶段比赛场数主场场数获胜场数主场获胜场数

第一阶段30152010

第二阶段30152515

(1)根据表中数据，完成下面2x2列联表:

A队胜A队负合计

主场5

客场20

合计60

(2)根据(1)中2x2列联表，判断是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关?

n[ad-bcf

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K->k)0.1000.0500.025

k2.7063.8415.024

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CRBK,然后求解三角形的面积即可

【详解】如图，设抛物线的准线为/,过A作AM，/于过B作BN上1于N,过3作于K,

设忸同=m,则根据抛物线的定义可得忸N|=m,\AF\=\AM\=3m,\AB\=4m,

|=2m,cosNBAM=——=—=>/BAM=60,|CF|=p=—m=3,m=2,二忸K[=2sf3m=4s/3,

AB22

：.ABC的面积为S=Se+SBCF=g-|CF|-忸K|=673,

【解析】由两直线平行确定参数值，根据充分必要条件的定义判断

【详解】。=1时，两直线方程分别为x+2y-1=0,x+2y-1=0,它们重合，不平行，因此不是充分条件;

反之，两直线平行时，a(a+l)—2=0,解得。=1或a=—2,

由上知。=1时，两直线不平行，

a=—2时，两直线方程分别为—2x+2y—1=0,%—y—4=0,平行，

因此a=-2,本题中也不是必要条件

故选：D

3、A

【解析】由两直线垂直可得出关于实数。的等式，即可解得实数。的值.

【详解】因为丸，/2,则a+a(a—2)=a(a—1)=0,解得a=0或1.

故选：A.

4、D

cl

【解析】设由区|=2c,先求出点P((l+百)c,c),得°+理+JZ，化简即得解

【详解】由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设比阊=2c,则|0阊=°,

•.•△P片乙为等腰三角形，且/4心尸=150。，

尸闾=闺司=2c.

过P作PE垂直x轴于点£,则NP8E=30。，

：.\F2E\=43C,\PE\=C,即点P((l+若卜,cj.

V点P在过点A且斜率为-的直线上，

4

C1QR

•・•砰即J,解得

3+73

6

故选：D

【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出椭圆的。，c代入离心率的公式即得解）；（2）方

程法（通过已知找到关于离心率的方程解方程即得解）.

5、D

【解析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断

【详解】由已知,卜炉百奇=逐，|^|=7（-2）2+02+12=75,

a-b=lx（-2）+2x0+0xl=-2,b与a不垂直

若b=ka，则0=2左，k=0,但是，IwOxO,因此匕与。不共线

故选：D

6、A

【解析】根据〃〃人得出根据充分必要条件的定义可判断.

【详解】解：:a〃Z?,向量8=（x,l）,b=（4,x）,

**.x2—4=0,即x=±2,

根据充分必要条件的定义可判断：

“九=2”是//b”的充分不必要条件，

故选：A.

7、D

【解析】根据两向量平行可求得X、y的值，即可得出合适的选项.

—3%=556

【详解】由已知L,解得％=—彳，y==，则孙=—2.

5y=635

故选：D.

8、D

【解析】求出函数的导函数，设切点为(天，e与+1)，依题意即过切点的切线恰好与直线尤-丁-2=0平行，此时切点

到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；

【详解】解：因为y=e*+l,所以y'=e',设切点为则力/=田=1,解得%=0,所以切点为(0,2),

点(0,2)到直线无一y-2=0的距离d=击=20,所以曲线丁=e'+1上的点到直线无一y-2=0的距离的最小值

是2e；

故选：D

9、C

【解析】根据空间向量垂直与平行的坐标表示，求得羽y的值，得到向量。+6=(2,-1,2),进而求得，+目，得到答

案.

【详解】由题意，向量a=(x,l,l),b=(l,y,l),c=(2,T,2),

因为o_l_c，可得a•c=2x—4+2=0，解得九=1，即a=

又因为6〃c，可得g=解得y=-2,即〃=(1,—2,1),

可得a+人=(1,1,1)+(1,-2,1)=(2,-1,2),所以,+0=J4+1+4=3.

故选：C.

10、D

【解析】根据向量共面基本定理只需［=无解即可满足｛a，'c｝构成空间向量基底，据此检验各选项即可得

解.

【详解】因为c=(—2,1,4)=-匕，所以A中的向量,不能与b构成基底；

因为c=(l,L—1)=。+匕，所以B中的向量°不能与a，8构成基底；

—X+2y=-8,

对于c=(—8,7,18),^c=xa+yb,则(2x—y=7,,解得x=2,y=—3,

3X-4V=18

所以c=2a-3b，故a，b>c为共面向量，所以C中的向量c不能与a，b构成基底；

—x+2y=-1,

对于c=(一1,2,T),设C=xa+y6,则2x-y=2,,此方程组无解，所以八,不共面，故D中的向量c与

3x-4y=-4

a，可以构成基底.

故选：D

11、C

【解析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案.

【详解】由题可知，圆的标准方程为(x—1)?+(丁+2)2=9,

所以圆心为(L-2),半径为3,

故选C.

12、A

【解析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件

概率公式即可

C2+C293C231

【详解】解：由已知得P(A)=*；L=5T=5，P(AB)=U=方=亍,

乙A/V✓-7乙J./

1

则P(四A)=今普

J-3

7

故选:A

【点睛】此题考查条件概率问题，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13,[1,4]

【解析】根据小A3的面积和短轴长得出“，b,c的值，从而得出|尸客|的范围，得到西+而关于忸叫的函数,

从而求出答案

【详解】由已知得23=2,故〃=1,•.•△占A3的面积为二二8,

2

—c)Z?=2',a—c—2—yj3»又a?—c?=(Q—C)(Q+C)=/??=],

..“=2,°=G••西西一附||叫|明(4-附I)-附『+4|*'

又2—6<|尸耳归2+百，二1<—归片「+4归用<4,

1II/

•1<-----+-----<4

..一版|\PF2\~

11「、

即国+西的取值范围为[1，4].

故答案为[1,4]

点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题

14、30

【解析】利用分层抽样可求得”的值，再利用分层抽样可求得高二被抽取的人数.

2400

【详解】高一年级抽取的人数为：90x—...............=36人，贝！|〃=1600,

2400+2000+71

2000

则高二被抽取的人数90x=30,

2400+2000+1600

故答案为：30.

15、(2,2,4)

【解析】根据向量1=(1,3,-2)为平面A3C的一个法向量，由AB.V=O求解.

【详解】因为A(L-M),5(3,1,4),

所以AB=(2,2,4—。，

又因为向量1=(1,3,-2)为平面ABC的一个法向量，

所以AB-v=lx2+3x2—2x(4—7)=0,

解得1=0,

所以=(2,2,4),

故答案为：(22,4)

45

16、一

512

【解析】先研究一个小球从正上方落下的情况，从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率，进而可求出

5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率

【详解】如图所示，先研究一个小球从正上方落下的情况，11,12,13,14指小球第2层到第3层的线路图，以此类

推，小球所有的路线情况如下：

01-11-21-31,01-11-21-32,01-11-22-33,01-11-22-34,01-12-23-33,01-12-23-34,01-12-24-35,01-12-24-36,02-14-26-38,

02-14-26-37,02-14-25-35,02-14-25-36,02-13-24-36,02-13-24-35,02-13-23-34,02-13-23-33,共16种情况，其中落

入2号位置的有4种，

41

所以每个球落入2号位置的概率为一=一,

164

所以5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率为

故答案为：——

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析

（2）S„=（4«-7）-2/,+1+14

an11.1

【解析】（1）化简％+1=丁'得到--------=4,由此证得数列一为等差数列.

4a“+1an+lana

（2）先求得然后利用错位相减求和法求得S”.

【小问1详解】

=,J_=4+J_,J_1,1

一=4.又一=1

44+1an+iana,+i

数列!是以1为首项，4为公差等差数列.

【小问2详解】

由（1）知：—=1+4（/?-1）=4H-3,

an

则数列｛«„｝的通项公式为an=:/，则g=（4〃—3）•2",

S„=21+5X22+9X23++(4n-3)-2n0,

2S„=22+5X23+9X24++(4〃-3>2用②，

①-②得：—S.=2+4(2?+23++2")—(4〃—3>2"+i,

-Sn=2+"(I2)_(4〃_3).2"+i,

n1-217

,,+1n+1

-Sn=2-16+4-2-(4«-3)-2,

-S„=-14+(7-4zz)-2/,+1,

ra+1

Sn=(4n-7)-2+14.

18、(1)不在(2)17.5米

【解析】(1)以。为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线A3方程，判断直线A3与

圆。的位置关系即可；

(2)摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点A的直线/与圆。相切时的直线方程即可.

【小问1详解】

以。为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系

则0(0,0),4(20,20),观景直道所在直线的方程为y=-10

依题意得：游客所在点为5(-5,0)

则直线A3的方程为噌=芸三，化简得4x—5y+20=0,

|20|20,

所以圆心。到直线AB的距离d==i—<4,

%+52A/41

故直线A3与圆O相交，

所以游客不在该摄像头监控范围内.

【小问2详解】

由图易知：过点A的直线/与圆。相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡,

所以设直线/过A且恰与圆0相切，

①若直线/垂直于x轴，则/不可能与圆。相切;

②若直线/不垂直于x轴，设/：y-20=左(％-20),整理得Ax-y-20左+2。=0

|-204+20|，34

所以圆心O到直线I的距离为dJ=y◎+[-=4,解得&=z或左=§,

34

所以直线/的方程为y—20=\(x—20)或y—20=§(x—20),

即3x—4y+20=0或4x—3y—20=0,

设这两条直线与丁=-10交于。，E

y=—10y=-10

由＜，解得x=—20，由＜14…-2。=。'解得户一25

[3x—4y+20=0

所以|£＞同=17.5,

观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.

摄像头

19、(1)y2=8x

(2)证明见解析

【解析】(1)求出双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式可得参数。值得抛物线方程；

(2)设直线方程为x=+直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得%+%，%%，代入

。4・03=0可得加值，得定点坐标

【小问1详解】

已知双曲线的一条渐近线方程为，=石丁，即x-石y=0,

P\P-Q\

抛物线的焦点为(上,0),所以2],解得。=4(因为。＞0),

2E=i

所以抛物线方程为V=8x；

【小问2详解】

由题意设直线I方程为x=ty+m,设A&,%),5(x2,%)

x=ty+m

由《2得y-89-8m=0,弘+%=8，，%%=一8机，

y=Sx

又Q4JLOB,所以。4。8=西%2+%%=0，

所以再%2+=（。1+加）（。2+m）+必％=（1++侬（必+%）+加之

=-8m（l+r2）+8r2m+m2=0,直线不过原点，mwO,所以羽=8

所以直线/过定点(8,0)

20、(1)。

(2)x=3或3x+4y-13=0

【解析】(i)首先利用点斜式求出直线4的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用垂直

定理、勾股定理计算可得；

(2)依题意可得点P在圆外，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在直线得到直线方程，但

直线的斜率存在时设直线方程为y-i=Hx-3),利用点到直线的距离公式得到方程，解得左，即可得解；

【小问1详解】

解：根据题意，直线4的方程为y-l=lx(x-3),即x-y-2=0,

则圆心(1,0)到直线4的距离为d=?总=—

V1+12

故|=2A/22—d2=2J4—g=V14；

【小问2详解】

解：根据题意，点P在圆外，分两种情况讨论：

当直线。的斜率不存在时，过点P(3,l)的直线方程是x=3,

此时4与圆C：(x—l『+y2=4相切，满足题意；

当直线4的斜率存在时，设直线方程为y-1=左(％-3),

即辰_y_3A+l=0,

/、|-2左+1|

直线与圆相切时，圆心(1,0)到直线的距离为卜危=2

3

解得上=_