2023-2024学年四川省眉山高二年级下册开学测试数学（文）模拟试题（含答案）

2023-2024学年四川省眉山高二下册开学测试数学(文)

模拟试题

一、单选题

1.设x,yeR,命题“若χ2+V>2,则f>l或y2>l，，的否命题是()

A.若尤2+y2≤2,则*2≤1或y*l

B.若/+/>2,则χ2≤ι或V力

C.若f+V≤2,则χ2≤l且y2*l

D.若/+/>2,则∕≤1且y2≤l

【正确答案】C

【分析】根据否命题的定义直接可得.

【详解】根据否命题的定义可得命题“若/+V>2,则/>1或y2>]，，的否命题是若

X2+y2≤2,则χ2≤1且y2≤],

故选：C.

2.已知抛物线V=2*上的点M(2,%)到该抛物线焦点的距离为3,则抛物线的方程是

()

A.y2=2xB.y1=4x

C.y2=-IxD.)2=_4X

【正确答案】B

【分析】由抛物线知识得出准线方程，再由点"(2,%)到焦点的距离等于其到准线的距离求

出P,从而得出方程.

【详解】由题意知则准线为X=

点M(2,%)到焦点的距离等于其到准线的距离，

即∣-5-2∣=3,.∙.p=2,则丁=©

故选：B.

3.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则

它的外接球的体积为()

左视图

8忌8

C.4√2πD.-π

33

【正确答案】B

【分析】作出直观图，找到外接球球心得球半径后可得体积.

【详解】由三视图知如图直三棱柱ABC-A8∣G的底面ABC是等腰直角三角形,

ZACe=9()。，设£)出分别是A8,A4的中点，则AR分别是两个底面的外接圆圆心，OR的

中点。是三棱柱的外接球的球心.

由三视图知，AD=l,OD=l,S⅛OA=√2,

球体积为V=㊀万X(0)3=逑；r.

33

故选：B.

4.AABC的两个顶点坐标A(-4,O),B(4,0),它的周长是18,则顶点C的轨迹方程是

()

2r2

AA.—厂+—y=1.B.^v+―=1(y≠0)

259

C∙⅛÷⅜=ι(>'≠o)22

D.f^+∕=ι(y4。)

【正确答案】D

【分析】根据三角形的周长得出∣AC∣+忸C=I()>∣AB∣,再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以

A,B为焦点的椭圆，去掉A,B,C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.

【详解】因为∣As∣+∣Aq+忸。=18,所以Mq+为Cl=IO>|明,

所以顶点C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，去掉A,B,C共线的情况，即

2a=10,c=4,.∙.⅛2=9,

所以顶点C的轨迹方程是:+[=l(ywθ),

故选：D.

本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基

础题.

5.已知命题“2X+∕M<0,q-.x2-2x-3>0,若P是<7的一个充分不必要条件，则，"的取

值范围是()

A.[2,+∞)B.(2,+oo)C.(-∞,2)D.(-8,2]

【正确答案】A

【分析】先化简命题P，4,再根据P是4的一个充分不必要条件，由P4求解.

【详解】因为命题g：x>3或χ<-ι,

又P是q的一个充分不必要条件,

所以一色f

解得m≥2,

所以加的取值范围是[2,+8),

故选：A

6.已知双曲线，∙-∖=l(α>0∕>())的焦距为2石，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0平

行，则双曲线的方程为()

r2

ʌ-?一＞』B.χ2-21=ι

4

3χ2

C.《上1D3y21

164520

【正确答案】B

【分析】根据焦点在X轴上的双曲线渐近线斜率为±2可求m〃关系，再结合“，b,C关系

a

即可求解.

22

【详解】：双曲线二-4=l(a>O,b>0)的焦距为2逐，

a-b2

且双曲线的一条渐近线与直线2r+y=O平行，

*'•—=-2,：.b=2a,

a

'."c^~c^^∖^y∙"∙tz—I>b=2,

2

.∙.双曲线的方程为匕=1.

4

故选:B.

7.如图所示，直三棱柱ABC-A4G中，NBC4=60。，M,N分别是A6，CG的中点,

BC=CA=CC1,则BN与AM所成角的余弦值为()

【正确答案】A

【分析】取BBl的中点Q,AC的中点p,由题可得N。GP为BN与A〃所成角，结合条件及

余弦定理即得.

【详解】取BBl的中点Q,AC的中点P,

则BN∕∕C∣Q,AM//C1P,

・・・NQGP为3N与AM所成角，

由题可知直三棱柱ABC-AqG为正棱柱,

设8C=2,则AM=BN=6，PQ=2,

5+5-43

在△产℃中，可得c。SNPGQ=2；GX石=M

3

.∙・BN与AM所成角的余弦值为《・

故选：A.

8.已知圆G：(x-3f+(y+4)2=l与CZ:(x-4y+(y-α+3)2=9恰好有4条公切线，则实

数。的取值范围是()

A.(-∞,θ)u(4,+∞)B.(-O0,l-ʌ/ð)(1+指,+<»)

C.(0,4)D.(-∞,T)53,+∞)

【正确答案】D

【分析】根据两圆有4条公切线，得到两圆外离,然后根据外离列不等式，解不等式即可得

”的取值范围.

【详解】因为圆Cj(x-3y+(y+4)2=l与G：(》一力+3-“+3『=9恰好有4条公切线,

所以圆Cl与C?外离，所以J(α-3y+(α-3+4)2>4,解得。>3或α<-l,即实数。的取值

范围是(fɔ,T)53+c0).

故选：D.

9.如图，过抛物线V=2px(P>0)的焦点厂的直线/交抛物线于点A、B,交其准线于点C,

若忸q=2忸尸且∣"∣=6,则。的值为()

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】B

【分析】分别过点A、8作准线的垂线，垂足分别为点E、D,设忸?|=。，根据抛物线的

定义以及直角三角形的性质可求得ZBCD=30,结合已知条件求得α=2,分析出F为AC的

中点，进而可得出P=IFq=即可得解.

【详解】如图，分别过点A、8作准线的垂线，垂足分别为点E、D,

设忸尸∣=”,则由已知得忸C=2α,由抛物线的定义得忸q=α,故NBCD=30,

在直角三角形ACE中，∖AF∖=6,IAa=6+34,

因为2∣AEl=IACI,则6+34=12,从而得α=2,

所以，ICM=忸C]+忸q=3α=6=∣A尸则F为Ae的中点，从而P=IFGI=g∣AE∣=3.

故选：B.

10.已知椭圆C:三+X=I的两焦点分别为耳，F2,尸为椭圆上一点，且4户工=60。，则

126

△耳P6的面积等于（）.

A.6B.2√3C.4√3D.6√3

【正确答案】B

【分析】根据椭圆定义和余弦定理解得∣m∣∙∣p图=8,结合三解形面积公式即可求解.

【详解】由与尸是椭圆上一点，.∙.∣PK∣+IPvI=2α=4√5,

两边平方可得IP用2+|「层『+2|尸制IPKI=48,即伊耳『+∣PΛ∣2=48-2∣Pξ∣∣Pfζ∣,

由于/耳尸乙=60,I耳段=2c=2几，.∙.根据余弦定理可得,=归勺:⅞;24

22rf∣∣κz2∣

综上可解得IP耳I忖闾=8,.•.△£产鸟的面积等于（归耳|归用sin60。=2百,

故选：B

11.圆/+y2+4χ-i2y+l=0关于直线OV-by+6=0(G>0,b>0)对称，则的最小值是

ab

)

2032n16

A.2√3Bd.—C.—D.—

333

【正确答案】C

【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得。+3/2=3,然后由

-+∣=∣（α+3⅛）fi+∣L展开利用均值不等式可得答案.

ab3∖abJ

【详解】由圆W+y2+4χ-I2y+l=0可得标准方程为（x+2y+（y-6）2=39,

因为圆Y+丁+4x-12y+l=0关于直线4r—勿+6=0（。＞0,匕＞。）对称,

・•.该直线经过圆心(一2,6),gp-2^z-6⅛+6=0,.∙.^÷3⅛=3(a>0,⅛>0),

、

.∙.2∣=∣(3⅛)1+——3a+——3b+C9

+Λ+ba

当且仅转宁,即"吟时取等号，

故选：C.

12.已知F-居分别为双曲线C：鸟―卫=1(a>0,%>0)的左，右焦点，以FlK为直径

ab

的圆与双曲线C的右支在第一象限交于A点，直线A%与双曲线C的右支交于B点，点马恰

好为线段AB的三等分点(靠近点A),则双曲线C的离心率等于()

A.√2B.√5C.姮D.

32

【正确答案】C

【分析】设IA用=x,∖BF2∖=2X,根据双曲线的定义可得I纯∣=2α+x,∣M∣=2α+2x,在

RtABf；中由勾股定理列方程可得X=；“，在Rt力百用中由勾股定理可得关于α,C的方程,

再由离心率公式即可求解.

【详解】设IA片∣=x,贝!]∣8E∣=2x,

由双曲线的定义可得：IA用=IMl+24=2a+x,忸制=忸闾+24=2α+2x,

因为点A在以片人为直径的圆上，所以NKAB=90,

所以IA4『+|A8『=忸周2,Bp(2«+X)2+(3x)2=(2a+2x)2,解得：X=I。,

在"K居中，IA用=2q+x=§a,MKI=I'〃，|耳剧=2c,

由所『+|0『=忻/ʧ可得(+)+停α)=(2c)2,即176=9/,

所以双曲线离心率为e=

二、填空题

13.若命题“heR,使得52+2奴7≥()”为假命题，则实数α的取值范围是

【正确答案】(-1,0]

【分析】将题意的命题转化条件为“TxeR,0χ2+20x-l<0”为真命题，结合一元二次不等

式恒成立即可得解.

【详解】因为命题FXWR,使得or?+2以τ≥()”是假命题，

所以其否定“TxeR,苏+2奴-1<0”为真命题，

即ax2+2ax-∖<0在R上恒成立.

当。=0时，不等式为τ<o,符合题意；

Γ«<0

当α≠0时，贝IJ需满足jA_4a2+4a<0，解得一

综上，实数。的取值范围为(T,0].

故答案为∙(T,0]

->2

14.若双曲线「—2=1的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程.

ab

【正确答案】y=±7Ix

【分析】根据离心率得出c=24,结合储+从=©2得出"力关系，即可求出双曲线的渐近线

方程.

【详解】解：由题可知，离心率e=£=2,即C=为，

a

y,a2+b2=c2=4a2,即〃=3合，贝!|"=6,

a

故此双曲线的渐近线方程为y=±√3x.

故答案为.y=±0x

15.过抛物线C：V=6x的焦点的直线/交C于，两点，若IABl=9,则线段48中点的横坐

标为.

【正确答案】3

3

【分析】分别过4,B作准线工=-N的垂线，垂足为A,B，,过AB的中点M作准线的垂线

于W,则IMM[=；(IAAI+1BBl)=∙∣,再根据IMM]=%+|求得

【详解】如图，抛物线V=6x的焦点为F(I,θ｝准线为x=-∣,分别过A,8作准线的垂

线，垂足为A,B',

则有I岗=IAFl+忸可=IA4[+∖BB,∖=9,

过AB的中点M作准线的垂线，垂足为AT,

则MM'为直角梯形ABB1A中位线，

1Q

则IMMI=削M+Ml)=],

即∙⅛+]3=∙∣9,所以M的横坐标为3.

故3.

16.在三棱锥P-ABC中，PA=PC=AC=AB,ABl平面P4C,三棱锥P-ABC的顶点都

在球。的球面上.若三棱锥P-ABC的体积为®,则球。的表面积为.

4

【正确答案】21万

【分析】依题意设Λ4=PC=AC=45=",根据锥体的体积求出。，即可求出外接圆

的半径r,设三棱锥P-ABC外接球的半径R,贝∣J(2R)2=(2,∙y+A82,即可求出外接球的表

面积；

【详解】解：依题意设A4=PC=AC=Afi=",则VP=JS僧c∙AB=^^,即

I-r∖D∖-3/1«1-j

3

[χla2χ3Xa=见I,解得。=3,设△APC外接圆的半径为「，贝/'==7=26,

3224smJ

棱锥P-ABC外接球的半径R,则(2R)2=(2rf+A序=21,所以球。的表面积

S球=4乃/?2=21;F；

故21〃

三、解答题

17.设命题p：实数X满足χ2-4∕nr+3M≤0,其中加>0；命题q：(x÷2)(x-3)≤0.

⑴若加=2,且。入4为真，求实数X的取值范围；

(2)若是力的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【正确答案】⑴[2,3](2)(0』

【分析】(1)解二次不等式χ2-4mx+3r∏2≤0,其中m>0解得m≤x43m,解

(x+2)(x-3)≤0.得：-2≤x≤3,取m=2再求交集即可；

⑵写出命题所对应的集合，命题p：A=[m,3m],命题q：B=[-2,3],由17是「p的充

分不必要条件，即P是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式组可求解.

【详解】解：(1)⅛X2-4mx+3m2≤0(其中m>0；

解得m≤X≤3m,

Xm=2,S∣J2≤x≤6,

由(x+2乂x—3)≤0.得：—2≤X≤3,

又P为真，则〈一人,

2≤x≤6

得：2≤x≤3,

故实数X的取值范围为[2,3]；

(2)由⑴得:命题p：A=[m,3m],命题q：B=[-2,3],

由是fp的充分不必要条件，即P是q的充分不必要条件，

A是B的真子集，

m≥-2

所以，3m≤3,即O<m≤l.

/M>O

故实数m取值范围为.(0』

本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题.

18.已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线y=3χ对称，与X轴相切，被直线y=χ截

得的弦长为2".

⑴求圆C的方程；

(2)若点尸(-2,1),求过点P的圆的切线方程.

【正确答案】(I)(X—iy+(y-3)2=9

⑵X=—2或5x+12y—2=O

【分析】(1)结合点到直线的距离公式、弦长公式求得"Br,由此求得圆C的方程.

(2)根据过P的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切

线方程.

【详解】⑴由题意，设圆C的标准方程为：(x-4+(y-6)2=∕,(a>0,b>0),

圆C关于直线y=3x对称，.∙∕=34

圆C与X轴相切：.,.厂=b=34…①

点c(α,o)到y=%的距离为:

圆C被直线y=χ截得的弦长为2√7,∙∙,2=42+(√η∖

结合①有：9/=2/+7,.∙.∕=ι,

4>0,A—1,r=b=3Λ=3,

圆C的标准方程为.(x-1)?+(y-3)2=9

(2)当直线/的斜率不存在时，x=-2满足题意

当直线/的斜率存在时，设直线/的斜率为上,则方程为yT=%(χ+2).

又圆C的圆心为(1,3),半径r=3,

由马"

解得一V

所以直线方程为y-l=-∖(x+2),即5x+12.y-2=0

即直线/的方程为x=—2或5x+12y-2=0.

19.在四棱锥P-ABC。中，平面RIB_L平面ABC£>,NABC=NBCD=90°,PC=PD,PA

=AB=BC=I,CD=2.

(1)证明：用_L平面A88；

(2)求点C到平面PBO的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)国

3

【分析】(1)因为平面PABJ"平面ABCZ),证得BC工平面R4B,得到BCl月4,取8的

中点M,证得AM,CO,进而证得CZ)，平面得到CD_LP4,结合线面垂直的判

定定理，即可证得P4_L平面45CO；

(2)设点C到平面PBD的距离为h,根据Vje=V5，求得〃的值，即可求得点C到平

面「比)的距离.

【详解】(1)证明：因为平面以_平面ABCr),AB为平面A4B与平面ABa)的交线，

且3C_LA8,所以BCl平面R4B,

又因为PAU平面P4S,所以BC上P4,

取CD的中点M,连接A",PM,BD,

因为A3〃CW且AB=CM,ZBCD=90°,

所以四边形ABC用为矩形，所以A"LCD,

又因为PC=PD,且M为C。的中点，所以PMJ_CD,

又由AM,EWU平面PAW,所以CD，平面PAM,

因为P4u平面所以Cz)_LR4,

又因为BCU平面A8CO,CZ)U平面48CO,且BCcCO=C,

所以以J_平面ABeD

(2)解：设点C到平面尸BD的距离为力，

v

因为L-BCD=C-PBD，可得gsBCD.PA=gsPBD∙*

又由SHa>=；xlx2=l,R4=l,

在Z∖PBZ)中，PB=O,PD=也,BD=√5,BD2=PB'+PDr,

所以NB叨=90。，所以SMBD=gx显布=与，

则LlXI=LX逅x〃，解得〃=且，即点C到平面依。的距离为逅.

33233

22

20.设双曲线C:]-方=l(α>08>0)的左、右焦点分别为"，玲，且田闾=4,一条渐

近线的倾斜角为60°.

(1)求双曲线C的标准方程和离心率；

(2)求分别以K,K为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程.

222

【正确答案】(1)x2-^=l,2(2)—+ɪ=1

343

【分析】（I）结合c=√TTK=2,，=退联立即得解；

（2）由题意"=c=2,//=Z?二百，即得解.

22

【详解】（1）由题意，∖FlF2∖=2c=4.'.c=y∕a+b=2

又2=tan6CP=6

a

解得：ci=1,⅛=ʌ/ɜ

故双曲线C的标准方程为：x2-^=l,离心率为e=2=2

3a

22

（2）由题意椭圆的焦点在X轴上，设椭圆方程为孑+*=1（4'>//>0）

⅛⅛√=c=2,⅛,=⅛=√3

即椭圆方程为：—+ɪ=ɪ

43

21.在四棱锥P-ABC£>中，24_L底面A8CE>,ABLAD,ADHBC,AD=3BC,点E在

棱P£>上，且满足PE=g尸。.

⑴证明：CE〃平面的；

（2）若PA=AB=Ar>=3,求点B,E到平面PAC的距离之和.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵通

5

【分析】（1）根据线线的平行关系做出平面BCE与平面ABP的交线，再由线线平行证得线

面平行；

（2）运用锥体的体积法计算点面距离即可.

【详解】

(1)证明：在”上取一点尸，使得PB=gpA,连接B尸，EF.

PEPF1i

因为PE=三尸。，所以上=J=g,所以所〃4)且E产=[AO,

3PDPA33

又BC/iAD,AD=3BC,所以BC=JAO,

3

所以BC=EF,BCHEF,所以四边形BC砂是平行四边形，

所以CE//BF,又CEZ平面RW,BPu平面R43,所以CE〃平面R43.

(2)因为%=AB=AD=3,PE=；PD,

2

所以三棱锥E-AC。的局为]PA=29

所以½fτco=gxgxAOxA3x2=；xgx3x3x2=3,

τ7171BC+AD11+3a

又/YB8=]X—2—XA8XPA=]X-^-X3X3=6,

所以YE一PAC+^H-PAC=Vp_ABCD-^E-ACD=6~ɜ=ɜ.

22

又SPAC=~PA∙AC=，X3Xʌ/ɜ÷ɪ=3^^,

pac2