2023年高考全国Ⅰ卷模拟测数学试卷5（解析版）

2023年新高考全国I卷模拟测试卷05

一、单选题

1.已知复数z=—4+立i,贝Ijz2+z=()

22

A.—1B.—C.!D.1

22

R答案』A

k解析F由2=-：+等1得z?+z=z(z+l)=_g+*+乎,=-(g

故选：A

2.已知集合用=5|工+1*0},N={x|2、<l},则下列Venn图中阴影部分可以表示集合

{x|T4x<0}的是（）

K答案XA

K解析2M={x|x+l>0}=[-l,+oo),N={x|2，<l}=(—,0),

：.MN={x|—lVx<0},由Venn图知，A符合要求.故选：A.

3.已知抛物线y=2px（p>0）的焦点在圆f+y2=4上，则该抛物线的焦点到准线的距离

为（）

A.1B.2C.4D.8

K答案』C

K解析』由于抛物线y2=2px（p>0）的焦点为X正半轴上，/+丁=4与X正半轴的交点

为（2,0）,故抛物线的焦点为（2,0）,所以5=2np=4,

因此抛物线的焦点到准线的距离为P=4,故选：C.

4.己知函数〃x)=g)-3S则/(x)=

)

A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数

R答案UC

K解析》函数的定义域为R,

因为m=所以函数为奇函数,

又因为函数y=(£|,y=-3'在R上都是减函数，

所以函数/(x)=(g)一3，在R上是减函数.故选:C.

5.某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为

8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为()

A.7.6B.7.8C.8D.8.2

K答案》B

K解析》依题意这组数据一共有5个数，中位数为8,则从小到大排列8的前面有2个

数，后面也有2个数，

又唯一的众数为9,则有两个9,其余数字均只出现一次，则最大数字为9,

又极差为3,所以最小数字为6,

所以这组数据为6、7、8、9、9,

所以平均数为6+2?9±9=78.故选：B.

6.己知事件A、B满足P(A|8)=0.7,网司=0.3,则()

A.尸(A5)=0.3B.P(8|A)=Q3

C.事件A,8相互独立D.事件A,3互斥

K答案》C

K解析H由题设P(A)=l-P(^)=0.7=P(A|B),

所以P(AB)=P(A|B)P(3)=P(A)P(B),即A,8相互独立，同一试验中不互斥,

而尸(B)未知,无法确定P(AcB)、P(B|A).故选:C.

7.在平面直角坐标系中，过点依3,0)作圆。：5-1)2+(丫-2百)2=4的两条切线，切点分别

为A,B.则直线AB的方程为()

A.x-\/3y+3=0B.x+\/3y+3=0

C.石x-y+3=0D.6x+y+3=0

K答案》A

R解析2圆0:5-1)2+(》-26)2=4的圆心为0(1,26)，半径为2,

以P(3,0)、00,26)为直径，则尸。的中点坐标为N(2,6),

|PO|=^(3-l)2+(2^/3-0)2=4,

.,•以N为圆心，尸O为直径的圆的方程为(X-2)2+(J-G)2=4,

因为过点尸(3,0)圆O:(x-l)2+(y-2x/3)2=4的两条切线切点分别为A,B,

所以A8是两圆的公共弦，

将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为：x-石)，+3=0.故选：A.

8.已知函数/(x)=2sinxcosx+48s,若实数a、b、c使得。1(x)-妙(x+c)=3对任

意的实数x恒成立，则2a-cosc,的值为()

A.gB.-C.2D.一

222

K答案XB

K解析》/(x)=2sinxcosx+4cos2x-1=sin2x+2cos2x+1=A/5sin(2x+^?)4-1,

可得/(%+。)=石$111(21+9+2<?)+1,其中且tane=2,

因为实数。也。使得4⑴-/O+c)=3对任意的实数％恒成立，

即645m(2X+°)—石。5池(2工+0+2(?)+〃一。=3恒成立，

即也asin(2x+°)—石〃sin(2x+0+2c)+(a-Z?-3)=0f亘成立，

所以V^(a-bcos2c)sin(2x4-^)-^5/?sin2CCOS(2X+*)+(Q-〃-3)=()

a-hcos2c=0①

由上式对任意XER恒成立，故必有〃sin2c=0②，

a-h-3=0③

若b=0,则由式①知。=。，显然不满足式③，所以匕工0,

所以,由式②知sin2c=0,则cos2c=±l,

当cos2c=1时，则式①,③矛盾.

所以cos2c=—1,由式①,③知〃=-3=耳,所以2a+,_cosc=/.故选:B.

二、多选题

9.已知实数。也c满足且〃+力+c=0,则下列说法正确的是（）

A.--—>---B.a-c>2bC.a2>b2D.ab+boG

a-cb-c

R答案HBC

K解析U对于A,.ci>b>ci.'.ci-c>b-c>0,------<------fA错误；

a-cb-c

对于B,a>b>c,a+b+c=0,:.a>0,cvO,:.b+c=-a<0a-b>0,

:.a-b>b-st-c,BPa—c>2b,B正确；

222

对于C,a-b>o,a+b=—c>09.,./一6=（〃+〃）（〃一b）>0,EPa>bC正确;

对于D,ab+bc=b^a+c）=-b2<0,D错误.

故选：BC.

10.下列说法中正确的是（）

A.若数据%"的方差？为0,则此组数据的众数唯一

B.已知一组数据2,3,5,7,8,9,9,11,则该组数据的第40百分位数为6

C.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数，•的值越大

D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

K答案HAD

K解析U对于A,由方差$2X）~+（X2-X）~++卜“-，［=0,得

%=w==x„=x,即此组数据的众数唯一，故A正确；

对于B,数据2,3,5,7,8,9,9,11共有8个，由8x40%=3.2可知，该组数据的第

40百分位数为7,故B错误；

对于c,若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数卜|的值越接近于

1-

故c错误：

对于D,在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精

度越高，故D正确.故选：AD.

11.函数凡r)=6(x-a)2(x-b)的图象可以是()

K答案DBC

K解析》由函数K解析』式可知，〃是不变号零点，，是变号零点，

A.由图可知，变号零点是0,则6=0,则/(x)=o,不成立，故A错误；

B.由图可知，变号零点小于0,不变号零点为0,则6VoM=0,此时”x)=Nx—》)x2,

当f(x)>0,当b<x<0,/(x)<0,当x>0时，/(x)<0,满足图象，故B正

确；

C.由图可知，b>a>0,f(x)=b(x-b)(x-a)2,当x<a时，/(x)<0,当时，

/(x)<0,当x>6时，/(x)>0,满足图象，故C正确；

D.由图可知，a<b<Q,f(x)=6(x-b)(x-a)-,当x<a时，/(x)>0,与图象不符，所

以D错误.

故选：BC

12.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P-ABC容器，。是PB的中点，E是C。上的

动点，则下列说法正确的是（）

A.若E是C。的中点，则直线AE与PB所成角为

B.一A8E的周长最小值为4+南

C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为四

3

D.如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为

#-2

K答案』ACD

K解析HA选项：连接AD

在正四面体P—A8C中，。是PB的中点，所以

因为ADu平面ACD,C£）u平面ACD,ADCD=D,

所以直线平面ACO.

因为AEu平面ACD.

所以所以直线AE与尸8所成角为，故A选项正确；

B选项，把A8沿着CE（展开与面BDC同一个平面内，

由AO=CO=2技AC=4,cosZADC=j

cosZi4£）B=cos|—+Z.ADC\=-sinZADC=-------

（2）3

所以A8?=22+（2石『-2x2x26X[-¥]=16+^^/34,所以ABw扃，所以

.4阳的周长最小值为4+取不正确.故B选项错误；

C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设半径为匚由

等体积法可得：匕FBC=；SAQ/7=：S表"，所以半径r=L="x4=^.故C选项正

334123

确；

D选项，10个小球分三层（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径要最大，则外层小球

与四个面相切，设小球半径为「，四个角小球球心连线例-NGF是棱长为4r的正四面体，

其高为也「，由正四面体内切球的半径是高的。得，

34

则MP=3r,正四面体尸-ABC高为3r+生色r+r=^x4,得「="-2.故D选项正确.

33

故选：ACD.

三、填空题

13.已知网=3,闸=2,卜B-3叫=6,则|AB+CBb.

K答案》M

K解析X由|48-384=6,得k8『-6xAB.BC+9x|BC『=36,即

3

32-6XABBC+9X22=36>解得

所以卜8+C4=卜8_叫=^|AB|2-2X/1B-BC+|BC|2=^32-2X|+22=回.

故K答案》为：710.

1+Cl*

14.数列｛0｝满足%+i=；-匕tJ%=2,〃eN,若［=4%La,，〃wN*，则加=

1一%

K答案2-6

,-11^

K解析1因为q=2,a7,+1一.，

1-4

1+41-t1+%11+&11+Q4c

所以%=■；---=-3,a341

1-q\-a221-〃33'l-a4

所以数列｛〃.｝的周期为4,

又因为n=。陷2a3“4=2-(-3)-(-g)1=l,

所以Zo=(《%%%)•(%4%%)•(的4o)=(-).3a4)•(«i«2)=卜1x2x(-3)=-6.

故K答案H为：-6.

15.己知函数式x)=1若y(x)在区间［m,4］上的值域为［-1,2］,则实

数m的取值范围为.

K答案W［-8,-1］

K解析D作出函数4X)的图象，

-8二--2\y二0i24X

当把一1时，函数«r)=bg2］单调递减，且最小值为大-1)=-1,

则令log2H=2,解得x=-8：当*>一1时，函数於)=-；f+\x+［在(-1,2)上单

7

调递增，在［2,+oo)上单调递减，则最大值为f(2)=2,又14)=§<2,人-1)=-1,

所求实数机的取值范围为故R答案』为：卜

16.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半

圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足AC_LMN,且AC长度为3

百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道48、8。与8E,水面上的点

8在线段AC上，且8/人8E均与圆C相切，切点分别为。、E,其中栈道AB、BD、BE和

小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN,则需要修建的栈

道总长度的最小值为百米.

坝面

K答案2-+5

K解析D连接C。，CE,由半圆半径为1得：CD=CE=\.

坝面

由对称性，设NCBE=NCBD=®,又CDLBD,CELBE,

所以8E=BQ=-C^D=—1,BC=』CD=—1,

tan，tan。sin。sin。

易知NMCE=2NCD=e,所以ME=N。的长为夕

又AC=3,故A8=AC-8C=3二e(0,2),故43(，),

smJ3

令“。4且行（。高，则/（。）=5-熹+温+2。,

以（4啰,

所以「』孥丝心

siir6

X/

-

71-月受-

-

-||-

0--

--

3X32、

r⑻-0+

/⑻单调递减极小值单调递增

71

所以栈道总长度最小值”e）m,n=/

故K答案U为：—+5.

四、解答题

17.在、ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且二避J=tanB+tanA.

acosB

（1）求A；

（2）若。为8c上一点，且8C=3BO=GA5,AO=3,求一至C的面积.

解：（1）在ABC中，因为一=tanB+tanA,

acosB

匚匚|、1±十：1+-二卬4日一gsinCsinBsinA-V3sinCsinBcosA+cosBsinA

所以由正弦7E理得：-------=-----+-----,BnnP-.......=---------------------.

sinAcosBcos8cosAsinAcosBcosBcosA

因为sinC=sin（乃一（7）=5皿（4+3）,所以^1=—!—,即tanA=-G.

sinAcosA

因为A«0,万），所以A=予.

（2）在ABC中，因为BC=38O=JiAB,A=—24,所以a=Gc.

由余弦定理得：a2=b2+c2-2Z?ccosA,BPb2+bc-2c2=0,解得：b=c（Z?=-2c舍去）.

因为AO=A8+BO=AB+—8C=A8+〃AC-AB）=±AB+-AC.

33、>33

所以AO。=（24B+」AC）,BP32=^C2+2X|CZ?COS^+^/?2.

（33J9939

因为/,=C,所以3?=]C2,解得：,2=27,

所以ABC的面积S^c^^inA='x27x3=Z幽.即筋。的面积为生叵.

18.移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底，我国

移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.右图

是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码，的散点图，其中年份2018-2022对应的t

分别为1-5.

必亿户,

25­,

20-.

15'

10--

5-,

°012345/

（I）根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数（精确到0.01）,并推断

它们的相关程度；

（2）⑴假设变量X与变量y的“对观测数据为（X/,）“），（X2,”），...，（x,y）,两个变量满

IY=bx+e

足一元线性回归模型L、八~、2（随机误差4=%-数,）.请推导：当随机误差平

[E（e）=O,D（e）=a~

方和Q=取得最小值时，参数b的最小二乘估计.

r=l

（y=bx+e

（ii）令变量x=/-7,y=w-w,则变量x与变量丫满足一元线性回归模型~、，

[E（e）=O,D（e）-a~

利用⑴中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数.

力,,一0(叱-卬)$2

附：样本相关系数「=J2I“_2，£(叱一卬)=76.9,

料(…)国w’-w)I

5_5

£口一)(叫.一对=27.2,£叱=60.8,7769»27.7

1=1x1=1

解：（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.

因为了=；(1+2+3+4+5)=3,

5

所以E以-力2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3尸=10)

i=l

所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.

ebx2

(2)(i)Q=Yi=E(z--^=E(y；-2bx*+bx；)=/fx；-2立xiyi+fy：,

i=\i=ii=\i=l/=1i=l

要使。取得最小值，当且仅当3=咛一.

/=|

55

£(—)(吗-刃)97?

(ii)由⑴知b=^=-----------=-^-=2.72,

Eo.-n210

1=1/=1

5

所以y关于x的经验回归方程y=2.72x,又一盲"60.8

w=———=------=12.16

55

所以当£=7时，则x=7-3=4,w=y+访=2.72x4+12.16=23.04,

所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.

19.已知数列｛q｝的前”项的和为S“，且满足S,,=2«“-l(〃eN*).

(1)求数列｛6,｝的通项公式。“及S”；

(2)若数列也｝满足求数列也｝的前〃项的和人

解:（1）由，=24-1得:S,=2«,-1,即q=l,

由S“=2a“-1得:S„+i=2a„+1-l,两式相减得：a„+l=2an+i-2an,

即可”=2%,即数列｛4,｝是以1为首项，2为公比的等比数列,

则％=2"\贝=

“1-2

/,）

⑵由⑴知：**।32।|,则2=][32-2y（/1><H5<）5

则当时，7；,=（32-2'）+（32-22）++（32-2"）,

\2（1-2"）

=32n-（2'+22++2"）=32〃---------L=32"-2"”+2,

'1-2

当“>5时，7；,=（32-2'）+（32-22）++（32-25）+（26-32）+（27-32）++（2"-32）

=27；+（2'+22++2"）-32〃=2x98+）-32〃=2向一32〃+194，

32〃-2向+2

则(,=<

2"+,-32n+194

20.如图，在直四棱柱AB8-A/B/C/Q中，ABLAD,CDA.AD,AiDLBDi.

(1)证明：四边形AOU4为正方形;

(2)若直线8D/与平面ABCZ)所成角的正弦值为】色，CD=2AB,求平面ABG与平面

3

BCU的夹角的大小.

(1)证明：由直四棱柱ABCD-4B/C/。知：AA.LAB,

又48_LAr>,且A4|CAD=A,

所以432平面AORA，

又A。u平面4。。A，

所以AB_LA。，又AOLBR,且BRCAB=B,

所以A。，平面AB",

又叫u平面48R,

所以A。，4。，

因为四边形4OR4是矩形，

所以AORA是正方形；

(2)解：建立如图所示空间直角坐标系：

设AB=a,DD[=b,

则B（0,a,b）,R（6,0,0）,所以BR=（b,-a-h）,

设ABCD的一个法向量为旭=（1,（）,（））,

直线BDi与平面ABCD所成的角为。，

\BDcn\\h\0

则sin®=^_E=/1,=一,即3从=切+〃，解得。=6,

MM>]2b2+a23

则A（0,0,a）,B（0,a,a）,A（a,0,0）,C（0,2a,0）,

所以班=（0,-a,0）,BDt=（a,-a,-a）,BC-（0,a,-a）,

设平面A8。/的一个法向量为%=（x,y,z）,

BAr\=0即1-ay=O

则

BD「々=。'[ax-ay-az=O

令x=l,则％=(1,0,1),

设平面BC。/的一个法向量为叼=(X］，M，zJ,

BC-n=0ay-az】=0

则2即1

cix-ay-az=0

BDX-n2=0}}]

令,=1,则%=(2,1,1),

/\4•小36

所以8S(〃"％)=丽=存后=3，

因为■，%》［0,句，则(4,%)=7,

所以平面ABDi与平面BCDi的夹角为£.

6

21.已知点M(0,l)和点N优,2)(%>0)之间的距离为2,抛物线C：y2=2px(p>0)经过

点M过点M的直线/与抛物线C有两个不同的交点A,B,点E,尸分别在直线Ml,NB

上，且MO=2(NE-NM),MO=.NF-NM)(0为坐标原点).

(1)求直线/的倾斜角的取值范围；

(2)求)+〃的值.

解：(1)眼N(=片+1=4，，片=3,%>0,；.Xs=g,

将(6,2)代入V=2px,解得p=竽,

••・抛物线C的方程为丁=生8-

直线/过点”(0,1),且与抛物线C有两个不同的交点，

二直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为丫=h+1仅片0),

J迪

由一口-*得，k2x2+

y=kx+\

2k--4k2>0,即16-16石8>0,

■-k<-S.k^O,

3

OM“(NE-NM),MO=H(NF-NM),

■■MO=AME,MO=〃MF,；.点、E,F均在y轴上,

NA,NB均与y轴相交，，直线/不过点(6,-2),，AX⑺,

../的取值范围为上＜立且火工0且kx-JL

3

二直线/的倾斜角的取值范围为(o彳卜gTM停兀1

(2)设Ay：，y

乂一］必一

M,A,8三点共线，，732，，X%=y+%，

J

i1

MO=AME，MO=nMF,：.■；----，〃

IfIf

且，%W2且%W2,

由(1)知，k#

3

二直线的方程为-2=&一~1一"),

令x=0得%=/，同理可得，力=芸7,

X+2y2+2

小+〃=，+，=2+2

l-yE1-力2-必2-y2

=8-2y%=8-2yly2=2

4-2(%+%)+%%4-Zy2

asinx

22.已知函数/(x)=,xe(0,7r).

e

(1)若求实数。的取值范围;

兀「71—X)

(2)若a=4,且〃％)=/(&),苔＜&,求证:%+方＞一且--＜--sinx2.

122ef

（1）解：解法一：当4«0时，由e”〉0,且尤£（0,兀）时sinx＞0,故/（x）Wl成立;

当。＞0时，即为“初皿力.

由r（x）=a——-——，令r（x）=o,得尤=.,

当xw（0，E）时，/s^x）＞0；当时，/（x）＜0；

所以/（X）在（o,：）单调递增，在（:，兀）单调递减，

所以/（X）皿=/（：）=总＜1,即0＜。《缶3

综上，a＜V2e^,

解法二：,“x）=等41,由e'＞0,且xe（O,万）时sinr＞0,所以

e（sinx儿

设g（x）=£，则g'（x）=e'（sintcosx