第1章 晶体结构教材

1.1.1晶体宏观特性1.自范性晶体物质在适当的结晶条件下，都能自发地成长为单晶体，发育良好的单晶体均以平面作为它与周围物质的界面，而呈现出凸多面体。1.1晶体的宏观特征2.晶面夹角守恒属于同一品种的晶体，两个相对应晶面之间的夹角恒定不变。晶面夹角的守恒性是反映晶体品种的特征因素。1.1晶体的宏观特征3.解理性很容易沿自然层状结构平行的方向劈为薄片，晶体的这一性质称为解理性，这些劈裂面称为解理面。自然界的晶体显露于外表的往往就是一些解理面。4.各向异性晶体的物理性质随观测方向而变化的现象为各向异性。晶体的许多物理性质都具有各向异性，如在力学量上,如：解理性、弹性模量等；在热学上，如：热膨胀系数、导热系数等；在电学量上，如：电导率等；在光学量上，如：折射率等。1.1晶体的宏观特征5.锐熔性（固定熔点）6.对称性宏观性质在不同方向上有规律重复出现的现象。分为几何外形和物理性质。1.1晶体的宏观特征7.最低内能（1）在相同的热力学条件下，与同种化学成分的气体、液体或非晶体相比，晶体的内能最小。（2）在相同的热力学条件下，以具有相同化学成分的晶体与非晶体相比，晶体是稳定的，非晶体是不稳定的，后者有自发转变为晶体的趋势。1.1晶体的宏观特征1.1.2晶体微观特性（1）晶体微观结构的周期性，组成晶体的粒子在空间呈现出周期性的无限排列，这称之为长程有序。（2）晶体的晶面夹角守恒性实际上就是晶体微观特征的宏观反映。1.1晶体的宏观特征1.2.1空间点阵与基元1.基元（1）基本的组成单元，是晶体的最小组成单元。可以是原子、原子团、离子团。（2）晶体中所有的基元都是等同的，这种等同性不仅指它的化学组成，也指它的位形、取向等方向等同性。（3）每个基元所包含的原子数等于晶体中原子的种类数。如果晶体由一种原子组成，基元就只包含这一个原子；如果晶体由多种原子组成，基元就包含多种原子。1.2晶体的微观结构1.2晶体的微观结构2.节点（1）将基元抽象成为一个数学上的几何点，用一系列雷同的点子代表基元，这些点子称为“结点”。（2）所有结点所代表的基元都相同，每个结点的周围环境都相同。1.2晶体的微观结构3.点阵（1）结点在空间有规则地、周期性地无限排列的总体，称为空间点阵。（2）所有阵点都是严格等同的，各阵点的周围环境完全相同，即：任何一个阵点与其周围阵点之间在空间排布和空间取向上都是完全相同的。1.2晶体的微观结构4.空间点阵学说1.2晶体的微观结构晶体结构=基元+空间点阵1.2.2初基元胞（固体物理学元胞）1.2晶体的微观结构1.基矢以一个结点为顶点，选取三个独立的方向，沿这三个独立方向做矢量，矢量的模量等于这三个独立方向上的周期，这三个矢量叫做基矢，以表示原胞基矢。1.2晶体的微观结构2.元胞以一个结点为顶点，选取三个独立的方向，以这三个独立方向上的周期为边长，做一个平行六面体，以这样一个平行六面体为重复单元来概括晶格，这样的一个平行六面体被称为元胞。1.2晶体的微观结构3.初基元胞（1）在选取基矢时，只考虑晶体的周期性，而不考虑晶体的对称性，每个原胞只包含一个结点，所有的结点都在原胞的顶角上，初基原胞是最小的结构重复单元，因此，一个固体物理学原胞只包含一个格点。1.2晶体的微观结构（2）原胞和基矢的选取没有限定规则。（3）若采用固体物理学原胞基矢为坐标轴的单位矢量，则由于所有的结点都处在顶角上，所以，格矢为：l1,l2,l3均为整数。其体积为：1.2晶体的微观结构（4）设r为初基元胞中任意一点的位置矢量，V(r)为该点所对应的晶体某一微观物理量，则：该式表明由于晶体的周期性，晶体中任意两个初基元胞中相对应的位置上其微观物理性质完全相同。1.2.3惯用元胞（结晶学元胞）（1）在选取基矢时，不仅要考虑晶体的周期性，还要考虑晶体的对称性，每个原胞中一般不只包含一个结点，结点也并不都处在原胞的顶角上，还可处在体心、面心、底心以及晶胞中的其他位置。这种能同时反映晶体周期性与对称性特征的元胞称为惯用元胞，又叫结晶学元胞。1.2晶体的微观结构（2）构成惯用元胞平行六面体的三个边矢量用，称为轴矢。轴矢的方向是晶轴的方向，也是晶体对称性高的方向，其长度a,b,c称为晶格常数。（3）任一格点的位置矢量可以表示为：

其中，m,n,l为有理数。1.2晶体的微观结构1.2.4初基元胞与惯用元胞的关系（1）结晶学原胞：一般按对称性特点来选取，结晶学原胞基矢一般选取在晶体的主要晶轴方向上，基矢的大小等于该晶轴方向上的周期大小。固体物理学原胞：所选取的固体物理学原胞必须是最小的重复单元，因此，一个固体物理学原胞只包含一个格点。1.2晶体的微观结构（2）以立方晶系为例，在结晶学中，属于立方晶系的结晶学原胞有简单立方晶胞、体心立方晶胞和面心立方晶胞。（3）在立方晶系的结晶学原胞中，三个基矢的长度相等，而且，相互垂直，即：取晶轴为坐标轴，以表示坐标轴上的单位矢量，假设：立方晶胞的边长为a，则晶胞基矢为：1.2晶体的微观结构1.简单立方晶胞（sc）（1）在简单立方Bravaise晶胞中，格点只占据立方体的顶点位置，是最小的重复单元。因此，简单立方的结晶学原胞就是它的固体物理学原胞。（2）立方体每个顶角上的格点为8个晶胞所共有，它对每个晶胞的贡献只有1/8，所以，每个原胞只包含1个格点。原胞的体积a3。1.2晶体的微观结构（3）简单立方的结晶学原胞就是它的固体物理学原胞，所以，简单立方的固体物理学原胞基矢为：1.2晶体的微观结构2.体心立方晶胞（bcc）（1）在体心立方的布喇菲晶胞中，格点除了占据顶角位置外，在立方体的中心(体心)还有一个格点，故称“体心立方晶胞”。在体心立方晶胞，顶角上的格点与体心上的格点周围环境完全相同。对于体心立方布喇菲晶胞，每个晶胞中包含两个格点。1.2晶体的微观结构（2）习惯上，常按照如下方式选取体心立方晶胞的固体物理学原胞基矢：（3）按照这样选取的固体物理学原胞的体积为：1.2晶体的微观结构（4）由于体心立方晶胞的体积为a3,一个体心立方晶胞中包含2个格点（1/8×8+1=2）。而按上述方式选取的固体物理学原胞的体积为a3/2，所以，按上述方法选取的固体物理学原胞中只包含1个格点，因此，这样选取的固体物理学原胞是最小的重复单元。（3）对于体心立方晶体，以体心格点为终点的格矢为：1.2晶体的微观结构m,n,l为整数。2.面心立方晶胞（fcc）（1）在面心立方的Bravaise晶胞中，格点除了占据顶点位置外，还占据着立方体六个面的中心位置，故称“面心立方晶胞”。在面心立方胞中，面心的格点与顶角上的格点的周围情况实际上是一样。1.2晶体的微观结构（2）由于立方体中，面心上的格点被两个相邻晶胞所共有，因此，每个面心上的格点只有1/2是属于这个晶胞；立方体每个顶角上的格点为8个晶胞所共有，它对每个晶胞的贡献只有1/8，所以，每个面心立方晶胞中含有4个格点（6×1/2+8×1/8=4）

。1.2晶体的微观结构（3）惯用的固体物理学原胞基矢选取：它以原来的面心立方体的六个面心格点和两个为对角关系的顶角格点为8个顶点格点构成的。（4）惯用的固体物理学原胞基矢选取为：1.2晶体的微观结构（5）新选取的这种固体物理学原胞的体积为：在面心立方晶胞中，4个格点占据的体积是a3,所以，按照上述方式选取的固体物理学原胞中只包含1个格点。（6）对于面心立方晶体，以a,b面上的面心格点为终点的格矢为：1.2晶体的微观结构1.2.5W-S（Wigner-Seitz）原胞作某格点(原点)到其最近邻格点和其次近邻格点连线的垂直平分面,由这些垂直平分面所围成的最小的体积单元称为Wigner-Seitz原胞1.2晶体的微观结构1.简单立方格子的W-S原胞简单立方格子的W-S原胞为原点和个近邻格点连线的垂直平分面围成的正方体。1.2晶体的微观结构2.面心立方格子的W-S原胞对于面心立方格子，若将原点选在顶角上，与原点距离最近的格点有12个，且都处在面心位置。作原点（顶角）到这12个面心位置连线的垂直平分面，就得到一1.2晶体的微观结构个菱形十二面体。菱形十二面体的体积等于面心立方晶格的固体物理学原胞的体积，因此，这个菱形十二面体就是最小的体积单元。也就是说：面心立方格子的W-S原胞是一个菱形十二面体。3.体心立方格子的W-S原胞（1）将原点取在体心位置，则与原点距离最近的有8个点。若将原点选做原点到这8个顶角位置连线的垂直平分面，它们围成一个正八面体，但这个正八面体的体积仍大于体心立方格子的固体物理学原胞体积。因此，还需要考虑与原点次近邻的点。（2）与原点次近邻的点有6个，即：前、后、左、右、上、下6个方向上的与之最近的6个体心格点。再做原点到次近邻6个点连线的垂直平分面，这6个面将上图的正八面体的6个顶角截去，就形成了一个十四面体，常称截角八面体。1.2晶体的微观结构此十四面体的体积等于体心立方晶格的固体物理学原胞体积，因此，这个十四面体就是最小的体积单元。也就是说体心立方格子的W-S原胞是一个截角八面体。1.2晶体的微观结构1.3.1晶格用一些较小的圆球作为晶体中原子或者离子的模型，为了更好地理解晶体结构，人们又将结点之间用直线连接起来，形成晶体格子，称为晶格。晶格可分为布喇菲晶格（又称为单式或简式晶格）和复式晶格。1.3常见的晶体结构1.3.1晶格（1）组成晶体是由完全相同的一种原子组成，基元只包含一个原子，这时晶格中每个原子都对应着格点，原子形成的网格（晶格）与格点形成的网格（布喇菲格子）是一回事，则该晶格称为布喇菲晶格。（2）晶体是由两种或者两种以上的原子构成的，基元包含了两个以上的原子，这种晶格称为复式晶格。1.3常见的晶体结构（3）一种是不同原子或离子构成的晶体，如NaCl、CsCl、ZnS等；一种是相同原子但几何位置不等价构成的晶体，如：具有金刚石结构的C、Si、Ge以及具有六角密排结构的Be、Mg、Zn等。（4）复式格子特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶格（子晶格），复式格子由它们的子晶格相套而成。1.3常见的晶体结构1.3.2常见的复式晶体1.氯化钠（NaCl）结构（1）氯化钠晶体是典型的离子晶体，由氯原子和钠原子组成的。如果我们只看Na+，而不看Cl-,那么，由Na+离子所构成的晶胞是一个面心立方格子。同样，如果我们只看Cl-,而不看Na+，由Cl-

离子所构成的晶胞也是一个面心立方格子。1.3常见的晶体结构（2）氯化钠结构可以看成是由：Na+和Cl-各自构成一套面心立方格子，它们彼此沿x轴方向(即：轴方向)平移a/2套构形成了。（3）如果我们按Na+所构成的面心立方格子选取固体物理学原胞基矢，则所选取的原胞顶点上是Na+，原胞内部是一个Cl-

，这样，一个固体物理学原胞包含一个Na+

和一个Cl-。(一个Na+

和一个Cl-构成一个结点)。1.3常见的晶体结构（4）按照这种方式进行固体物理学原胞选取时，则Na+的坐标可表示为：

(l1,l2,l3为整数)。

而Cl-

的坐标为：

其中1.3常见的晶体结构2.氯化铯（CsCl）结构（1）在立方体的顶角位置是Cl-，而在立方体的体心位置为Cs+，当然，也可以将顶角Cs+，则体心为Cl-，这两种选取是完全一样的。（2）Cl-和Cs+各自构成一套简单立方结构的子晶格，CsCl结构是这两个子晶格沿立方体空间对角线方向平移1/2空间对角线长度套构而成的。所以，CsCl结构是简单立方结构，而不是体心立方结构。1.3常见的晶体结构（3）CsCl结构是复式格子，其每个固体物理学原胞中包含两个离子(一个Cs+，一个Cl-)

。（4）取立方体的顶角为Cl-，则Cs+处在立方体的体心位置，按照这种方式选取的固体物理学原胞，Cl-的坐标为：Cs+的坐标为：其中：

(l1,l2,l3为整数）1.3常见的晶体结构3.金刚石结构（1）金刚石是由C原子组成的，是C的一种同素异构。虽然，它是由一种原子组成的，但它的晶格仍然是一种复式格子。1.3常见的晶体结构（2）原子除了占据立方体的顶角和面心位置外，在面心立方的晶胞内还有4个原子，这4个原子分别位于4个空间对角线的1/4处。因此，金刚石的每个结晶学原胞（晶胞）中包含8个原子，这8个1.3常见的晶体结构原子的坐标分别为：1个顶角原子：（0，0，0）；3个面心原子：（1/2，1/2，0），（0，1/2，1/2），（1/2，0，1/2）；4个体内空间对角线上的原子：（1/4，1/4，1/4），（3/4，3/4，1/4），（1/4，3/4，3/4），（3/4，1/4，3/4）。（3）在金刚石结构中，每个碳原子和其周围4个碳原子形成共价键，金刚石可以看成是一系列正四面体组成的，一个碳原子处在正四面体的中心，另外4个同它形成共价键的碳原子处在正四面体的4个顶角位置。1.3常见的晶体结构（4）在正四面体中心位置的碳原子其价键的取向同四面体顶角上的碳原子价键取向是不同的，所以，这两种碳原子的周围环境情况是不相同的，因此，金刚石结构是复式格子。金刚石结构可以看成是由两个面心立方的子晶格彼此沿空间对角线平移1/4长度套构而成的。1.3常见的晶体结构（5）金刚石结构的固体物理学原胞选取方法同面心立方的固体物理学原胞选取方法一样，只不过原胞中包含2个碳原子，若以原胞顶角上的原子为坐标原点，则其原胞内另外一个碳原子的坐标为：在金刚石结构中，两个不等同的碳原子的格矢可表示为：1.3常见的晶体结构4.闪锌矿结构（ZnS）（1）ZnS和金刚石具有相似的结构，但我们常称ZnS具有“闪锌矿结构”。除了ZnS外，还有许多重要的化合物也具有“闪锌矿结构”，如：锑化铟，砷化镓，磷化铟。（2）在ZnS晶体中，Zn和S分别组成面心立方结构的子晶格，这两个子晶格彼此沿空间对角线平移1/4空间对角线长度套构而成。1.3常见的晶体结构（3）如果结点选在S原子上，则S原子的坐标矢量为：Zn原子的坐标为：1.3常见的晶体结构5.钙钛矿结构（1）钙钛矿结构以CaTiO3的结构为代表，许多铁电、介电、压电、光电以及高温超导材料都具有钙钛矿结构，如：BaTiO3,PbZrO3,LiNbO3,LiTaO3等等。（2）BaTiO3在室温附近为铁电相，当温度高于居里温度（120℃），铁电相转变为顺电相。顺电相BaTiO3的结晶学原胞如图所示。1.3常见的晶体结构（3）整个BaTiO3晶格可以看成是由Ba、Ti、OⅠ、OⅡ、OⅢ各自构成的简单立方格子套构而成的。（4）在钙钛矿结构中，有一种非常重要的结构---氧八面体结构。钙钛矿结构中氧八面体结构和金刚石结构中的正四面体结构是固体物理学中两类非常重要的典型结构。1.3常见的晶体结构（5）把BaTiO3晶胞中，OⅠ、OⅡ、OⅢ连接起来构成一个八面体，我们称这个全部由氧原子为顶点构成的八面体为氧八面体。（6）如果以氧八面体结构的角度去看BaTiO3结构，则Ti原子处在氧八面体的中央，Ba则处在8个氧八面体的间隙里。因此，整个BaTiO3结构可看成是由氧八面体排列而成。钙钛矿结构的元胞容易变形。1.3常见的晶体结构6.密堆积结构（1）密堆积结构只适合于同一种元素原子构成的晶体。密堆积结构可以最有效地占据空间。在几何处理上，可以将原子看成是刚性的小球。密堆积分为立方密堆积（面心立方体fcc）和六方密堆积（hexagonalclose-packed,hcp）。1.3常见的晶体结构（2）密堆方式：第一层：每个小球与6个小球紧密相邻平铺构成第一层，在第一层，每三个小球之间存在一个间隙，每个小球周围有6个间隙，分别标记为间隙B和C，标记第一层为A层，则在A层的每一个球与六个球相切堆成最密积的单层，称为密排面。1.3常见的晶体结构（3）第二层：小球放置在第一层之上的间隙B位置，其在面内的整体排列也与第一层一样，标记为B层。（4）第三层：有两种密堆积方式，分别对应于两种密堆积结构：一种是fcc；另一种是hcp。1.3常见的晶体结构B层（3）第三层每个球恰好在A层的正上方，与A层排列方式完全重合，即堆积方式为…ABABABAB…。（4）在理想情况下，这种结构的晶胞高度c与底面边长a之比为c/a=1.633，这即为六角密排结构。Be，Mg，Ti，Zn等约30种金属元素属于六角密排结构。1.3常见的晶体结构B层A层c（5）第三层每个球的球心不与A层原子重合，而是放在B层的其它3个没有被A层占据的空隙上面，形成…ABCABCABC…结构，这就是前面所述的面心立方晶格。1.3常见的晶体结构B层C层1.3.3晶体结构中的一些重要概念1.原子半径原子半径r通常是指元胞中相距最近的两个原子之间举例一半，他与晶格常数a之间有一定的关系。2.配位数（CN）是晶体中任一原子最近邻的原子数目，是衡量晶体中原子排列的紧密程度的参数，配位数越大，晶体中原子排列越紧密。1.3常见的晶体结构3.致密度（η）（1）晶体中原子所占总体积与晶体总体积之比，又称空间利用率，也是描述晶体中原子排列紧密度的物理量。（2）若晶体惯用元胞中含有n个原子，每个原子体积为v，元胞体积为va，则致密度为：（3）配位数越大，致密度越高。致密度对晶体的性能影响很大，比如金刚石致密度较低，空隙交大，杂质原子比较容易发生扩散，可以被应用半导体制造技术中。1.3常见的晶体结构1.4.1一般几何图形的线性变换操作（1）晶格中任何两点之间的距离在对称操作前后应该保持不变，因此，这种操作在数学上是线性变换操作。（2）假设经过某种操作，在这种操作过程中，参考坐标系不动，晶体旋转，经过操作之后，将晶格中某一点的坐标矢量变成了1.4晶格的对称性和对称操作（3）在数学上，可用以下线性变换来表示：

用矩阵表示为：A为正交矩阵

I为单位矩阵。矩阵A的行列式等于1.4晶格的对称性和对称操作1.4.2几种常见的线性变换1.转动（1）按照空间群理论，晶体的对称将图形绕旋转轴x1

转动θ角，该图中某点(x1,x2,x3)变为另一点(x’1,x’2,x’3),变换关系为：

1.4晶格的对称性和对称操作（2）绕Z轴旋转θ角的正交矩阵为：1.4晶格的对称性和对称操作2.中心反演取中心为坐标原点，经过中心反演后，图形中某点(x1,x2,x3)变为(-x1-x2,-x3)，变换关系为：

x’1

=-x1,

x’2

=-x2,x’3

=-x3变换矩阵为：

1.4晶格的对称性和对称操作3.镜像操作取中心为坐标原点，经过中心以x3=0面为镜面，镜象操作是将图形某点取中心为坐标原点，经过中心反映后，图形中某点(x1,x2,x3)变为(x1,x2,-x3)，变换关系为：

x’1

=x1,

x’2

=

x2,x’3

=-x3变换矩阵为：

1.4晶格的对称性和对称操作1.4.3晶体的基本宏观对称性（1）所谓晶体的宏观对称性是指：不包含平移操作在内的晶体的对称类型。（2）由于晶体受到周期性的限制，晶体只能具有为数不多的几种宏观对称类型，而这些宏观对称类型又是由几种基本的宏观对称操作元素组合而成的。1.4晶格的对称性和对称操作1.镜象操作若晶体通过某一平面作镜象操作后能自身重合，则该平面称为反映面，常标记为m。2.反演中心若晶体通过某一点作中心反演操作后能自身重合，则该点称为反演中心，常标记为i。1.4晶格的对称性和对称操作3.

n度旋转对称轴（1）晶体绕某一个固定的轴

旋转角度θ=2π/n以后能自身重合，则称为n度旋转对称轴。（2）可以证明：n只能取1，2，3，4，6；也就是说：晶体中不可能具有5度或6度以上的旋转对称轴。晶体的旋转对称轴常标记为：1，2，3，4，6。1.4晶格的对称性和对称操作4.

n度旋转---反演轴（象转）（1）晶体绕某一个固定的轴

旋转角度θ=2π/n以后，再经过中心反演，若晶体能自身重合，则称为n度旋转---反演轴或者称为象转。（2）同样，n只能取1，2，3，4，6。常用来表示n度旋转---反演对称轴，即：1.4晶格的对称性和对称操作（3）可以证明：i为反演中心；m为垂直于该旋转轴的反映面；；只有是独立的。也就是说：不是基本对称操作，它们是由一些基本对称操作组合而成的。是一种基本对称操作。（2）晶体的宏观对称性中包含8种基本对称操作元素，即：由这8种基本对称操作元素可以组合成32种不包括平移操作在内的宏观对称类型，常称为32种点群。1.4晶格的对称性和对称操作1.4晶格的对称性和对称操作1.4.3晶体的微观对称性（1）对于晶体的微观对称性，则必须包含平移操作。在包含了平移操作以后，又出现了两类基本对称操作：n度螺旋轴和滑移反映面。（2）由8种基本对称操作元素，再加上n度螺旋轴和滑移反映面，可以组合成230种对称类型，常称为230种空间群。1.4晶格的对称性和对称操作1.

n度螺旋轴（1）绕轴

旋转2π/n后，再沿着该轴的方向平移的l倍，晶体能自身重合，用nl表示（其中，l为小于n的正整数，为沿轴方向上的周期矢量）。（2）晶体也只能具有1，2，3，4，6度螺旋轴。1.4晶格的对称性和对称操作1/2aa---++01221螺旋轴31

螺旋轴2.滑移反映面经过该面的镜象操作后，再沿着平行于该面的某个方向平移的距离，为该方向上的周期矢量，n等于2或4，晶体能自身重合。1.4晶格的对称性和对称操作1/2aa+++++012aaabb123451´(a)轴线滑移面a(b)对角滑移面n(c)菱形滑移面d虚线圈表示不存在虚线圈表示在镜面下方虚线圈表示在镜面下方1.4晶格的对称性和对称操作1.5.1基本概念（1）对于晶体的微观对称性，则必须晶胞轴矢总是选取在对称轴上或者对称面的法线方向上，由此构成了描述晶体对称性的坐标系，按照坐标系的性质，晶体可以分为7大晶系。每一种晶系又包含一种或几种特征布拉伐晶胞，共有14种布拉伐晶胞。（2）在结晶学中，三个轴矢总是选取在对称轴或对称面的法线方向上，三个基矢之间的夹角为α，β，γ。1.5晶系、布拉伐晶胞1.5.2七大晶系1.三斜晶系2.单斜晶系1.5晶系、布拉伐晶胞但与不正交3.三角晶系4.正交晶系1.5晶系、布拉伐晶胞5.正方晶系又称四方晶系或者四角晶系1.5晶系、布拉伐晶胞6.六角晶系又称四方晶系或者四角晶系7.立方晶系1.5晶系、布拉伐晶胞1.5晶系、布拉伐晶胞1.5晶系、布拉伐晶胞1.5.3说明（1）对于晶体的微观对称性，则必须在归属某一个未知晶体结构属于哪一个晶系时，必须尽量反映其对称性，也就是说：应尽量将其归属到对称性最高的晶系中去，以对称性最高的晶胞基矢作为该晶体结构的晶胞基矢。（2）在四角晶系中，不存在底心四角晶胞，因为底心四角晶胞与简单四角晶胞是等价的。1.5晶系、布拉伐晶胞（3）在四角晶系中，也不存在面心四角晶胞，因为面心四角晶胞与体心四角晶胞是等价的。（4）在立方晶系中，不存在底心立方晶胞，因为，在立方晶系中所有的面都等价。（5）在立方晶系中，面心立方晶胞和体心立方晶胞是相互独立的，不能彼此转化，因为，转化以后，将1.5晶系、布拉伐晶胞1.6.1晶列布拉伐格子的特点：所有格点周围的情况都是一样的。1.晶列的定义通过晶体点阵中任意两个格点所连成的直线称为晶列1.6晶面与晶向1.6晶面与晶向(1)由于具有周期性特征，一个晶列中必然包含着无限多个相同的格点，而且，晶列上格点的分布具有一定的周期性，不同的晶列具有不同的周期性。1.6晶面与晶向(2)通过任何其他格点都有一个晶列与原晶列平行，而且，具有相同的周期。这些平行的晶列组成了一个晶列族，它将空间中所有的格点都包括在内。(3)通过一个格点可以有无限多个晶列，其中，每一个晶列都有一族平行的晶列与之对应。1.6晶面与晶向2.晶列的性质(1)所有彼此平行的晶列组成晶列族。1.6晶面与晶向(2)点阵中的所有结点均落在某一晶列族上，且处在同一晶列上的结点具有相同的周期性。1.6晶面与晶向(3)晶格点阵包含无穷多个晶列族，每一个晶列族将所有的结点都包括在内。1.6晶面与晶向3.晶列的表示---晶向（1）由于每一晶列族中的晶列相互平行，并且完全等同，一族晶列的特征就是该晶列的方向，我们称之为晶向，所以，可以采用晶列的取向来表示晶列。1.6晶面与晶向（2）取为固体物理学原胞的三个基矢，取该晶列中某一格点O为坐标原点，则该晶列中格点A的位矢为：

l1,l2,l3为整数。

1.6晶面与晶向（2）设l1,l2,l3的最大公约数为n,即：则用表示晶列OA。1.6晶面与晶向（3）若取结晶学原胞基矢为坐标轴的单位矢量，取晶格中任一点为坐标原点O，晶列中格点A的位矢量为：m’,n’,p’

为有理数，设m,n,p为三个互质的整数，且m:n:p=m’:n’:p’,则可用[m,n,p]表示晶列OA,晶列指数总是互质的整数。1.6晶面与晶向4.简单立方晶格的晶向表示1.6晶面与晶向OA的晶向[100]OB的晶向[110]OC的晶向[111]立方边共有6个不同的晶向：[100],[100],[010],[010],[001],[001]1.6晶面与晶向体对角线OC的晶向[111]，共有8条。面对角线OB的晶向[110],共有12条晶体具有对称性，由对称性联系着的晶向可以只是方向不同，但它们的格点分布相同因而可以视为等效。等效晶向的全体可以用<uvw>表示。上述三组晶向可以表示为<100>，<110>，<111>1.6晶面与晶向1.6晶面与晶向一般晶向指数较小（绝对值）的晶列上格点分布较密，而晶向指数较大的晶列上格点分布较稀疏。1.6.2晶面1.晶面定义（1）通过任何三个格点可以做一个平面，这个平面就称为晶面。1.6晶面与晶向（2）通过任一格点，可以做全同的晶面和一晶面平行，从而构成一族平行晶面，所有格点都在这一族平行的晶面族上，这样的一族晶面不仅平行，而且等距，各晶面上格点的分布情况完全相同。1.6晶面与晶向（3）晶格中存在无限多族平行晶面族。晶面族可用晶面的法线方向及晶面的面间距加以表征。1.6晶面与晶向2.晶面的性质（1）通过任一格点可以做全同的晶面与某一晶面平行，构成一族平行晶面族。所有格点都在此平行晶面族上。1.6晶面与晶向（2）对于某一特定的晶面族，该晶面族中的所有晶面不仅平行，而且等距。（3）晶格中存在无限多族晶面族。（4）晶面族可用晶面的法线方向及晶面的面间距加以表征。1.6晶面与晶向3.晶面的表示---晶面指数（1）晶面法线方向表示方法：晶面在三个基矢方向上（即：三个坐标轴）的截距。1.6晶面与晶向（2）先求出晶面在三个基矢方向（三个坐标轴）上的截距；然后，将这三个截距的倒数之比化成一组互质的整数之比，用这组互质的整数来表征晶面。常采用(h1,h2,h3)表示晶面族，h1,h2,h3

被称为晶面指数。1.6晶面与晶向（3）晶面法线的方向余弦之比等于该晶面在三个基矢方向上的截距的倒数之比。1.6晶面与晶向（3）晶面法线的方向余弦之比等于该晶面在三个基矢方向上的截距的倒数之比。晶面指数实质是晶面法线方向在三个坐标轴上投影的互质整数。（4）实际工作中，用得最多的还是结晶学原胞也常用结晶学原胞基矢为坐标轴的单位矢量。在这样的坐标系中所求出的晶面指数常称为晶面的密勒指数(hkl)表示。1.6晶面与晶向（5）某个晶面与某个坐标轴上相截在坐标轴的负方向，则采用在晶面指数上加一个负号来表示。如：

则密勒指数为。1.6晶面与晶向1.6晶面与晶向指数简单的晶面，它们的面密度较大，晶面间距也较大，这是因为所有格点均在一族平行等间距的晶面上而无遗漏，所以面密度大的晶面，必然导致面间距大。1.6晶面与晶向举例：ABC晶面ABC在三个基矢上的截距分别为：4,1,1

截距的倒数分别为：1/4,1,1晶面DEF的晶面指数为1.6晶面与晶向晶面DEF在三个基矢上的截距分别为：-3,-1,2截距的倒数分别为：-1/3,-1,1/2晶面DEF的晶面指数为DEF1.6晶面与晶向GHKM晶面DEF在三个基矢上的截距分别为：2,4,∞

截距的倒数分别为：1/2,1/4,0晶面DEF的晶面指数为1.6晶面与晶向立方晶系中，晶面指数和晶向指数相同的晶面和晶向，彼此相互垂直。1.6晶面与晶向1.6晶面与晶向立方晶格中与（100）、（110）、（111）面等效的晶面数分别为3个、6个和4个。(符号相反的晶面指数只在区别晶体的外表面时才有意义，在晶体内部是等效的。){100}:(100),(010),(001){110}:(110),(011),(101),(110),(011),(101){111}:(111),(111),(111),(111)1.6晶面与晶向1.6.3立角晶系的晶向指数和晶面指数1.四指数表示法（1）以上三指数表示晶向、晶面原则上适用于任何晶系，但用于六角晶系有一个缺点：晶体具有等效的晶面、晶向不具有类似的指数。例：六棱柱的两个相邻的外表面在晶体学上应是等价的，但其密勒指数却分别为(100)和(110)。夹角为60◦的密排方向是等价的，但其方向指数却为[100]和[110]。X1X2X3Z1.6晶面与晶向（2）在晶体结构上本来是等价的晶面却不具有类似的指数，给研究带来不方便。解决的办法是引入四指数，即引入四个坐标轴：，其中

不变，引入四指数后，晶体学上等价的晶面具有类似的指数。例如：{1010}=(1010)，(1100)，(0110){1120}=(1120)，(1210)，(2110)1.6晶面与晶向（3）在确定六角晶系的晶向、晶面的四轴指标时，会出现新的问题：指标不唯一。例如：a1轴的指标可以是[1000]，也可以是[2110]。解决方法：加限制条件，前三个指标之和为0。例如：晶向指标为[uvtw]，则u+v+t=0，故a1轴的指标应选[2110].1.6晶面与晶向1.6晶面与晶向2.晶向四指数的解析求法先求出待求晶向在三轴系a1，a2，c下的指数U，V，W，然后通过解析求出四指数u，v，t，w。由于三轴系和四轴系均描述同一晶向，故：ua1+va2+ta3+wc=U

a1+Va2+W

c(1)又有：a1+a2=－a3

(2)又由等价性条件：u

+v=－

t(3)

解得：U=2u+v,V=2v+u,W=w1.7.1倒格子（1）由于晶格的周期性，晶体中一族晶面的特征可以用晶面族的法线方向和晶面族面间距来表征。1.7倒格子与布里渊区（2）引入这样一个矢量来表征晶格中某一晶面族的特征，该矢量的方向代表了晶面族的法线方向,该矢量的模量正比于晶面族面间距的倒数，我们称这样一个矢量为该晶面族对应的倒易矢量。（3）倒易矢量的端点为该晶面族对应的倒易点。在坐标原点一定的情况下，这个倒易点就表征了晶面族的特征。（4）将每一个晶面族对应的倒易点在空间进行无限的周期性平移就得到倒易点阵将倒易点阵连接成网格状就成了倒格子。1.7倒格子与布里渊区1.倒格子的引入（1）从坐标原点O引晶面族ABC的法线ON,在法线上截取一段OP=ρ,使ρd=2π，(其中d为晶面族ABC的面间距）。（2）以OP为该方向的周期，作无限平移，就得到一系列新的点子。1.7倒格子与布里渊区（3）对于每一个晶面族，我们都能得到这样一系列点子，从而，得到了一个新的点阵。此新点阵称为原点阵的倒易点阵。1.7倒格子与布里渊区正点阵倒易点阵（4）将倒易点阵连成格子称之为倒格子，而原来的晶格则称为正格子。1.7倒格子与布里渊区正格子倒格子2.倒格子基矢（1）令正格子基矢为，正格子的坐标面a1a2、a2a3、a3a1

各自有其对应的晶面族1.7倒格子与布里渊区（2）设a1a2、a2a3、a3a1面族的面间距分别为d3、d1、d2，作使对于a2a3面，有对于a3a1面，有，这样，我们就得到了三个矢量（倒格基矢）：1.7倒格子与布里渊区1.7倒格子与布里渊区正格矢倒格矢3.倒格子基矢与正格子基矢的关系（1）原胞的体积为Ω=Sa1a2*h,其中，Sa1a2为六面体的底面积，h为六面体的高，而h又正好等于晶面族a1a2的面间距d3，1.7倒格子与布里渊区（2）根据定义：1.7倒格子与布里渊区由于的方向与的方向一致（3）利用这一关系，我们很容易的能证明：倒格子基矢与正格子基矢之间满足如下关系：1.7倒格子与布里渊区4.倒格子的性质（1）倒易点阵与正点阵互为倒易关系。（2）正格子原胞体积Ω与倒格子原胞体积Ω*之间满足关系：（3）正格子族晶面(h1h2h3)和倒格矢正交。（4）倒格矢的模量正比于晶面族(h1h2h3)面间距的倒数。（5）倒格矢与正格矢恒满足1.7倒格子与布里渊区证明1：正格子原胞体积Ω与倒格子原胞体积Ω*之间满足关系：证明：1.7倒格子与布里渊区1.7倒格子与布里渊区1.7倒格子与布里渊区证明2：正格子族晶面(h1h2h3)和倒格矢正交。1.7倒格子与布里渊区证明：（1）晶面族(h1h2h3)中，最靠近坐标原点的晶面ABC在基矢上的截距为：OA,OB,OC的矢量分别为：1.7倒格子与布里渊区（2）

和两个矢量都在ABC平面上1.7倒格子与布里渊区（3）要证明与晶面族(h1h2h3)正交，只需证明与ABC面内两条不互相平行的直线正交就可以了，即：只需证明：事实上，利用，很容易证明.1.7倒格子与布里渊区（4）1.7倒格子与布里渊区（5）既然，倒格矢与晶面族(h1h2h3)正交，所以，倒格矢所代表的方向就是晶面族(h1h2h3)法线方向。

证明3：倒格矢的模量正比于晶面族(h1h2h3)面间距的倒数。1.7倒格子与布里渊区证明：（1）图中ABC面是晶面族(h1h2h3)中距离原点最近的一个晶面，因此，这一族晶面的面间距dh1h2h3

就等于原点到ABC面的垂直距离。1.7倒格子与布里渊区（2）原点O本身也是一个格点，过原点O也存在一个晶面与ABC面平行，因此，原点到ABC面的距离等于晶面族的面间距。由于晶面族(h1h2h3)法线方向可用倒格矢表示，所以：1.7倒格子与布里渊区证明4：倒格矢与正格矢恒满足：证明：（1）晶面族(h1h2h3)中离原点距离为μdh1h2h3的晶面的晶面方程为：为晶面上任一点的位矢1.7倒格子与布里渊区（2）对于该晶面上的格矢：这一关系也不例外，因此：1.7倒格子与布里渊区反过来，如果有两个矢量恒定满足这一关系，而其中一个是正格矢，则另一个必定为倒格矢。5.倒格子所反映的物理本质（1）由于晶体的周期性，晶体中任何一点的物理量也具有周期性,在数学上,它可表述为其中，为正格矢，它代表了晶体的周期性。1.7倒格子与布里渊区（2）将和同时展开为Fourier级数，则：1.7倒格子与布里渊区（3）1.7倒格子与布里渊区由于为正格矢，所以为倒格矢（3）同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之间遵守Fourier变换关系。正格子与倒格子之间通过Fourier变换关系联系起来。（4）倒格子空间中矢量模量的量纲为[m]-1

，与波矢的量纲相同，因此，倒格矢也可以理解为波矢。1.7倒格子与布里渊区（5）在物理学上，波矢空间常被称为状态空间，在状态空间中，常用波矢来描述运动状态，因此，倒格子空间常被理解为状态空间（空间）。（6）正格子空间常被称为坐标空间。倒格子可以看成是正格子(晶格)在状态空间的化身。1.7倒格子与布里渊区1.7.2布里渊区与正格子空间中的威格纳----赛兹原胞选取方法相似，在倒格子空间中,做某一倒格点到它最近邻和次近邻倒格点连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所围成的多面体，该多面体的体积等于倒格子原胞的体积，该多面体所围成的区域称为第一布里渊区，第一布里渊区也称为简约布里渊区。除第一布里渊区之外，还有第二布里渊区、第三布里渊区以及更高阶的布里渊区。1.7倒格子与布里渊区1.布里渊区的构造（1）第一布里渊区：在倒易点阵中，做某一倒格点到其最近邻倒格点及次近邻倒格点连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所围成的多面体就是第一布里渊区，第一布里渊区的体积等于倒格子原胞体积。1.7倒格子与布里渊区（2）第二、第三布里渊区可以由平移倒格矢的整数倍至第一布里渊区。（3）每个布里渊区的体积都等于倒格子原胞的体积。（4）在各个布里渊区中再没有其它倒格矢的垂直平分面通过。布里渊区应选尽可能高的对称性1.7倒格子与布里渊区2.二维正方格子的布里渊区二维正方格子的原胞基矢为：则其相应的倒格子原胞基矢为：在倒格子空间中，距离原点最近的倒格点有四个，其相应的倒格矢为这四个倒格矢的垂直平分线的方程为：由这四个垂直平分线所围成的区域就是第一布里渊区。1.7倒格子与布里渊区第一布里渊区1.7倒格子与布里渊区第一布里渊区第二布里渊区1.7倒格子与布里渊区1.7倒格子与布里渊区3.体心立方格子的布里渊区体心立方正格子原胞三个基矢为：其倒格子原胞基矢为：1.7倒格子与布里渊区（1）体心立方正格子的倒格子具有面心立方特征。（2）面心立方顶点有12个最近邻点。1.7倒格子与布里渊区（3）体心立方正格子的第一布里渊区----菱形十二面体。1.7倒格子与布里渊区4.面心立方格子的布里渊区面心立方正格子原胞三个基矢为：其倒格子原胞基矢为：1.7倒格子与布里渊区（1）面心立方正格子的倒格子具有体心立方特征。（2）面心立方顶点有8个最近邻点，6个次邻顶点。1.7倒格子与布里渊区（3）面心立方正格子的简约布里渊区是一个截角八面体(十四面体)。1.7倒格子与布里渊区假设：（1）不记及Compton效应，即：假设入射X射线光子与电子只发生弹性散射，散射前后X射线的波长保持不变；（2）暂时不涉及复式格子，只讨论简单格子；（3）入射X射线为单色光；（4）不考虑原子的热振动等更加细致的问题。

1.8晶体X射线衍射1.8.1布拉格反射定律1.布拉格反射方程（1）W.L.Bragg认为：入射X射线从晶体中的平行原子面做镜面反射，每个平行原子面只反射很少一部分X射线，当来自平行原子面的反射发生相长干涉时，就出现衍射束。

1.8晶体X射线衍射（2）考虑面间距为d的平行原子面，入射X射线束位于纸平面内，由相邻原子面反射的X射线束的光程差为：（3）当光程差为入射X射线波长λ的整数倍时，来自相邻平面的反射波就发生相长干涉，即：产生衍射极大的条件为：

1.8晶体X射线衍射Bragg定律是点阵周期性的结果1.8.2劳厄方程（1）取格点O为坐标原点，晶格中任一格点A的位矢为：和分别为入射X射线和衍射X射线方向的单位矢量。1.8晶体X射线衍射（2）自A作及，则光程差为：CO+DO，其中：

由于，仅讨论单色X光，则衍射加强条件为：

λ为整数--------Laue方程1.8晶体X射线衍射（3）为了更进一步阐明X射线衍射的物理本质，我们用波矢来表示Laue方程，因为：所以，Laue方程变为：

（μ为整数）1.8晶体X射线衍射（4）为正格矢，因此，波矢可以被理解为倒格矢，而且，在量纲上正好与倒格矢的量纲相同，均为[m]-1

，由此可见，波矢同格矢是等价的。