2023年山西省某中学高二数学第二学期期末经典试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作分给甲、乙、

丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（）

A.18种B.24种C.30种D.36种

2.在复平面内复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3,且实部为石，则复数三等于（）

A.3-75/B.V5-3zC.指+2iD.6―2i

3.已知｛aj为等差数列，其前n项和为S”，若a3=6,S3=12,则公差d等于（）

5

A.1B.-C.2D.3

3

4.若函数/（x）=sin"-。卜0<0<10）的图象与8（力=85（%+。）（0<0<3）的图象都关于直线》=一展对

称，则。与。的值分别为（）

D.

5.命题“Vx>0,使是1+、+1>0”的否定是（）

A.3x0<0,使得+x0+1<0B.Vx<0,使得/+*+1>0.

C.x>0»使得d+x+l>。D.3%0>0,使得+X。+1<0

6.不等式|x+3|<l的解集是（）

A.{R%>-2}B.{x|x<-4}

C.{x|-4<x<-2}D.{x|x<-4或x>-2}

7.4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种

数是（）

A.6A；B.3A；C.2A；D.

8.将红、黑、蓝、黄，个不同的小球放入M个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子,

则不同的放法的种数为()

A.18B.24C.D.3d

9.定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列做等差向量列,

这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列｛4｝是以q=。,3)为首项，公差d=(1,0)的等差向量列.若向量与

非零向量(〃GN*))垂直，贝()

x\

448004480八448004480

A.-----B.----C.D.

729243729243

10.已知离散型随机变量X的分布列如图,则常数c为（）

X01

P9c2-c3-8c

121-21

A.-B.-C.一或一D.一

33334

ii.一个算法的程序框图如图所示，如果输出y的值是1,那么输入工的值是()

日

立

A.-1B.2C.-1或2D.1或-2

12.设a=R址，则［葭一的展开式中的常数项为（）

A.20B.-20C.-15D.15

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.棱长为1的正方体ABC。-的8个顶点都在球面。的表面上，E、尸分别是棱

AA、。。的中点，则直线E尸被球。截得的线段长为

14.如图，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径

为正方形的边长.在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为

15.已知函数/。)=以3-6/+2,若函数/(x)存在唯一零点七,且不<0,则实数。的取值范围是.

16.已知函数〃力=2-*-2*,则关于*的不等式/(lgx)+/⑴>0的解集是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,

其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为〃的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：

超过1小时不超过1小时

男208

女12m

(1)求m,n；

(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？

(3)以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生,

试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.

附：

2

P(K>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n^ad-bcy

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

18.(12分)已知：在「.ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边长，~855是。85。和。8$4的等差中

项.

(I)求角3;

(U)若的面积S4^cuGcosb,且b=6，求AA6c的周长.

7

19.(12分)(1)已知aeR,i是虚数单位，若2=。—i,―:是纯虚数，写出一个以z为其中一根的实系数一元二

1+i

次方程；

(2)求纯虚数47的平方根.

20.(12分)设/(x)=|x-a|,aeR.

(1)当一时，f(x)<3,求a的取值范围；

(2)若对任意xeR,/(x-a)+/(x+a)21—2a恒成立，求实数a的最小值.

21.(12分)命题p：关于x的不等式1+2公+4>0对一切xeR恒成立；命题q：函数/(x)=/ag“x在(0,+吟上

递增，若Pvq为真，而，入4为假，求实数。的取值范围。

22.(10分)如图，在△P8E中，ABLPE,D是AE的中点,C是线段BE上的一点，且AC=石，AB=AP=^AE=2,

将尸阴沿AB折起使得二面角P—4?-2是直二面角.

(I)求证：CD平面PAB；

(2)求直线PE与平面PCD所成角的正切值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

分析：先不考虑限制条件，则共有种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本(只有《周髀算经》),

甲分到2本(包括《周髀算经》)，减去即可.

详解：先不考虑限制条件，则共有C：A；=36种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本(只有《周髀

算经》)，此时共有C；&=6种方法；

甲分到2本(包括《周髀算经》)，此时共有羯=6种方法，

则分配方法共有36—6—6=24种.

点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题

2、C

【解析】

设复数z=石+yi(yeR,y<0),根据向量的模为3列方程求解即可.

【详解】

根据题意，复平面内复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3,且实部为6.设复数z=^+yi(yeR,y<0),

,:J(6)2+y2=3,/.y=-2,复数z=J^-2i.故5=6+2>

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的代数表示及模的运算，是基础题.

3、C

【解析】

试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a.‘=6,S,=ll,联立可求公差d.

解：设等差数列｛aj的首项为a”公差为d,

'ai+2d=6

由33=6,S3=ll,得：

3a[+3d=12

解得：ai=Ld=l.

故选C.

考点：等差数列的前n项和.

4、D

【解析】

(7t\7t71

分析：由题意得好[一万-5=万+而，结合0<。<10即可求出①，同理可得。的值.

详解：函数/(X)=sinfc9x-yj(0<69<10)的图象与g(x)=cos(x+e)(0<°<3)的图象都关于直线x=-W对

称,

69•1一五1一§二万+%"和一石十夕=（Z,〃WZ）

jr

解得。=-10-12攵和°=立+〃万，

0<。<10和0<夕<3

，左=—1时，co—2；

〃=0时，（p~—.

故选：D.

点睛：本题主要考查了三角函数的性质应用，属基础题.

5、D

【解析】

根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“Vx>0,使是V+x+1〉。”的否定为“三%>0,使得

x；+x0+l40”故选D.

【点睛】

本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与

运算能力，属于基础题.

6、C

【解析】

问题化为-l<x+3Vl,求出它的解集即可.

【详解】

不等式可化为-1VX+3VL

得-4<x<-2,

,该不等式的解集为3-4VxV-2}.

故选：C.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是基础题目.

7、D

【解析】

利用捆绑法：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手

进行全排列，利用排列组合的知识和分步计数原理求解即可.

【详解】

根据题意，分两步进行：

先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，同时对两名女歌手进行全排列有A：用种选择；再把他们捆绑在一起看

作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列有A：种选择，

由分步计数原理可得，共有出场方案的种数为4月禺.

故选：D

【点睛】

本题考查利用捆绑法和分步乘法计数原理，结合排列数公式求解排列组合问题；考查运算求解能力和逻辑推理能力；

分清排列和组合和两个计数原理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

8、C

【解析】

解：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是二，

把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有二种结果，

而红球和蓝球恰好放在同一个盒子里有」=6种结果，

二编号为红球和蓝球不放到同一个盒子里的种数是二：二：-6=30

9、D

【解析】

先根据等差数列通项公式得向量应,再根据向量垂直得递推关系，最后根据累乘法求结果.

【详解】

由题意得a„=4+(〃-1)1=(1,3)+(〃-1)(1,0)=(〃,3),

U

因为向量a“与非零向量％=(七,加)(〃eN*))垂直，

xn

所以%，+3%+|=0...3=一

%3

因此也=2.%•-=(-1)(-1)4480

西马夫王33-243

故选：D

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、向量垂直坐标表示以及累乘法，考查综合分析求解能力，属中档题.

10、A

【解析】

根据所给的随机变量的分布列写出两点分步的随机变量的概率要满足的条件，一是两个概率都不小于0,二是两个概

率之和是1,解出符合题意的c的值.

【详解】

由随机变量的分布列知，9C2-C>0,3-8C>0,9c2-c+3—8c=l,

二c=L故选A.

3

【点睛】

本题主要考查分布列的应用，求离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.

11、C

【解析】

根据条件结构，分xNO,x<0两类情况讨论求解.

【详解】

当x»()时，因为输出的是1,

所以log2》=l,

解得x=2.

当x<0时，因为输出的是1,

所以一凶+2=1,

解得x=-l.

综上：x=2或x=-l.

故选：C

【点睛】

本题主要考查程序框图中的条件结构，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.

12、B

【解析】

利用定积分的知识求解出。，从而可列出展开式的通项，由6-2r=0求得厂=3,代入通项公式求得常数项.

【详解】

口一£|展开式通项公式为：=玛.（一1）'产2,

令6-2r=0,解得：r=3二十=或x（—if=-20,即常数项为：一20

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查二项式定理中的指定项系数的求解问题，涉及到简单的定积分的求解，关键是能够熟练掌握二项展开式的通

项公式的形式.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、V2.

【解析】

分析：

详解：正方体的外接球球心为O,半径为拒用=6,假设2和线段EF相较于HG两点，连接OG,取GH的中点

为D连接OD,则ODG为直角三角形，OD=』，00=—.根据勾股定理得到DG=X2.故GH=0.

222

故答案为

点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间

问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定

球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

4-JT

14、一J_____

【解析】

设正方形的边长为1,则扇形的面积为，万，所以，它落在扇形外正

4

1_£

方形内的概率为044一万.

r=-------=--------

14

15、（4,七»）

【解析】

利用分类讨论思想的应用和分类讨论思想的应用求出。的取值范围.

【详解】

解：/(x)=dx3-6x24-2

「•/'(X)=3ox2-I2x=3x(这一4)

4

当。>0时，由r(x)>0,解得x<0或x>—,

a

/(x)在(-8,0］上是增函数，且/(T)=-a-6+l=-a-5v0,/(0)=1>0,所以人幻在(—1,0)上有零点，由题意

432

知/(一)=2—r>0,由/>16故。<-4或。>4,又。>0.

aa

万

当。=0时，/(x)=2-6f解得工=±、2有两个零点，不合题意.

3

当"0时，/(X)增区间为减区间为卜叫力和(0,+8)且/(0)=2,

4

当八3>。时，则由单调性及极值可知，有唯一零点，但零点大于0,

a

4

当/(一)<0时，则有三个零点，

a

4

•••/(-)无论正负都不合适.

a

所以ae(4,w).

故答案为：(4,内).

【点睛】

本题考查函数导数的应用，利用函数的导数求函数的单调区间和最值，函数的零点和方程的根的关系式的的应用，主

要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.

16-.(0,—)

10

【解析】

求出/(x)=2T-2'是奇函数，且在定义域上是单减函数，变形/(1g%)>-/⑴=/(-I)再利用单调性解不等式可得

解.

【详解】

〃力=2-x—2、，.-./(-x)=2*-2r=-/(x)

.•./(乃=2-*-2'是奇函数，又y=2-'是R上的减函数，y=2•'是R上的增函数,

由函数单调性质得/(x)=2一*-2'是R上的减函数.

/(lgx)+/(l)>0,则〃Igx)>-/(1),由奇函数得/(-I)=-/(I)

.••/(lgx)>1)且/(x)=2T-2'是R上的减函数.

怆犬<-1,\x<—9又x>0

10

不等式.“lgx)+〃l)>0的解集是'(0，2)

故答案为：(0,木)

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性和单调性解指对数方程或不等式.

有关指对数方程或不等式的求解思路：利用指对数函数的单调性，要特别注意底数”的取值范围，并在必要时进行分

类讨论.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)m=8,〃=48(2)没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关(3)

估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人

【解析】

(1)根据分层抽样比例列方程求出〃的值，再计算m的值；

(2)根据题意完善2X2列联表，计算心，对照临界值表得出结论；

(3)计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可.

【详解】

(1)根据分层抽样法，抽样比例为孤

/./z=48；

=48-20-8-12=8；

(2)根据题意完善2X2列联表，如下;

超过1小时不超过1小时合计

男生20828

女生12820

合计321648

计算昭=48x(20x8-12x8)=0.6857V3.84L

32x16x20x28

所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；

(3)参加社区服务时间超过1小时的频率为二32=一2，

483

用频率估计概率，从该校学生中随机调查6名学生，

2

估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为6x；=4(人).

【点睛】

本题考查了列联表与独立性检验的应用问题及用频率估计概率的应用问题，考查了运算能力，属于中档题.

18.(I)B=(H)3+VL

【解析】

(I)根据正弦定理得到sin(A+C)=2sinBcosB,即cos5=,，解得答案.

2

(H)根据面积公式得到ac=2,根据余弦定理得到a+c=3,得到周长.

【详解】

(I)由已知得acosC+ccosA=2〃cos5,

由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sin3cosB,即sin(A+C)=2sin8cosB.

•:A+C=7r-B9/.sin(A+C)=sinB,AsinB=2sinBcosB.

1JI

由于sinB>0,...cosBu-.二3=—.

23

(II)由=Gcos3得:acsinB=J^cosB,B=^,代入上式得ac=2.

由余弦定理得lr=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=3>

(a+=3+3ac=9,a+c=3,A5C的周长为3+6.

【点睛】

本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，等差中项，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

19、(1)X2-2X+2=0

(2)z=0+"或-血-"

【解析】

⑴先求出。的值，再写出一个以z为其中一根的实系数一元二次方程；(2)设(x+.yi)2=4i(x,yeR),求出x，N即得

解.

【详解】

za一ia一ai一i—1(a—1)—(a+l)z

(1)IT1-7+7-2-T~

a+1/O

所以

<2—1=0

所以4=1.

所以z=l-i.

一个以z为其中一根的实系数一元二次方程是f—2x+2=0.

⑵设(x+yi)2=4i(x,yeR),

所以j?-V+2xyi=4z

•?_J=0

所以

xy=2

所以％=>/2,y-^2或x=—5/2,y=—>/2.

故纯虚数4/的平方根为z=&+夜，或—夜-夜i.

【点睛】

本题主要考查纯虚数的概念和复数的运算，考查复数的平方根的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20、(1)0<a<2,(2).的最小值为1

4

【解析】

试题分析：⑴&:睇=卜-疝归口n岛丹」研_埼般=*二；的取值范围是2］；(2)

f(x-a)+/(x+fl)=|x-2fl|+|xj>|(X-2<2)-X|=2|a|>当且仅当代-普&修则时取等号

=>二|二上卜二a=>a｝：=0的最小值为1.

试题解析：⑴地礴=卜「婢4北即能第二/，工画腮

Z/■<：Ml

依题意：：■二：：：由此得a的取值范围是:］

(•1ir.-T*王,J

(2)fIV-ai­/■'V-31=|r］、；卜卜|21T'-■--|=2

当且仅当加二则时取等号

解不等式2同21-，得a2；.故实数a的最小值为:.

考点：不等式选讲.

21、C/2+H2O

【解析】

依题意，可分别求得P真、g真时机的取值范围，再由pVg为真，而pAg为假求得实数。的取值范围即可.

【详解】

命题P：关于x的不等式3+lax+4>0对一切xGR恒成立；

①若命题P正确，则4=(la)1-4*<0,即-IVaVl；

②命题q：函数/(x)=log〃x在(0,+8)上递增=a>L

,:pYq为真,而pAq为假，

:.p、g一真一假，

当P真g假时，有

Ia《