2023-2024学年山东省济南市历下区重点中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省济南市历下区重点中学九年级（上）期末数学

试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若点（2,3）在反比例函数y=手0）的图象上，那么下列各点在图象上的是（）

A.(-2,3)B.(1,5)C.(1,6)D.(1,-6)

2.二次函数y=（，一1产+3的最小值是（）

A.1B.-1C.-3D.3

3.在△ABC中，/.A=120°,Z.B=45°,zC=15°,则cosB等于（)

A.虫C.73D.—

22

4.点B在。。上,点C是O。上异于48的一点，若乙4。8=50。，贝I|N4CB的度数是

()

A.25°

B.65°

C.30°

D.25°、155°

5.将抛物线y=Q-2）2+3向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）

A.y=（%—4）2B.y=（%—4）2+6C.y=x2+6D.y=x2

6.如图，在AdBC中，〃=50。，点。是它的内心，则NBOC等于（）A

A.125°/\

B.115°/O\

C.105°-------

D.95°

7.已知函数y=（k—3）/+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A.k<4B.k<4C.k<4且k于3D.k<4且k中3

8.在小孔成像问题中，根据如图所示，若。到4B的距离是18czn,。至IJCD的距离是6c爪，则像C。的长是物

AB长的（）

A.3倍

D.不知AB的长度，无法判断

9.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，。是原点，4的坐标为

（73,1）＞则点c的坐标为（）

A.(-73,1)

B.(-1,-73)

C.(-1,73)

D.(1,-73)

10.二次函数y=ax2+力％+c（a。0）的图象如图所示，则下列结论中:

①abc<0,

②2a-6=0,③当-2＜久＜3时，y＜0,④当xNl时，y随x的增大而减

小，正确

的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.如果%:y=1：2,那么乎=

12.抛物线y=/一2%+c-4经过原点，贝!Jc

13.如图，一山坡的坡比为1：2,某人从山脚下的4点走了500米后到达山顶的点艮

那么这人垂直高度上升了米.

14.如图，正比例函数丫=依（/00）与反比例函数）7=：的图象相交于4、C两点,

过点4作x轴的垂线交x轴于点8,连接BC,则ATIBC的面积等于.

15.如图，正方形4BCD的边长为2,将正方形4BCD按如图所示方式在直线1进行两次旋转，则点C在两次旋

转过程中经过的路径的长是.

16.如图，在锐角ATIBC中，以BC为直径的半圆。分别交4B,AC^-D,E两点，且

cosA=—,则SAADE：S四边影DBCE的值为

三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题6分）

（1）计算：sin45°—3tan30°+V_2cos60°;

（2）解方程：x2-6x+8=0.

18.（本小题6分）

九年级某班同学在元旦会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个相同的小球，把它们分别标号

1、2、3,随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随即摸出一个小球记下标号.

（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次摸出小球上的标号的所有结果；

（2）规定当两次摸出的小球标号之积为奇数时中奖，求中奖的概率.

19.（本小题6分）

如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测到在点4俯角为30。方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该

物体视为静止），为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点尸在点B俯角为60。的方

向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时(点4、B、C在同一直线上)，竖直高度CF约为多少米？(结

果保留整数，参考数值：0=1.7)

20.(本小题8分)

某超市经营一种小商品，进价为3.5元，据市场调查，销售单价是14.5元时平均每天销售量是500件，而销

售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.

(1)假定每件商品降价万元，商店每天销售这件商品的利润是y元，请写出y与x之间的关系式.

(2)每件商品售价是多少时，超市每天销售这种商品获得的利润最大？最大利润是多少？

21.(本小题8分)

如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成.矩形的长是12米，

宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以。点为原点，0M所在直线为x轴建立直角坐标系.

(1)直接写出点M,点N及抛物线顶点P的坐标；

(2)求出这条抛物线的函数解析式；

(3)一大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？

22.(本小题8分)

如图，在直角坐标系中，点4的坐标为(一2,0),OB=0A,且乙40B=120。.

(1)求直线的解析式；

(2)经过40、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C,使ABOC的周长最小？若存在，求出点C的坐

标；若不存在，请说明理由.

23.(本小题10分)

已知抛物线y=ax2+bx{a丰0)经过点4(4,4).

(1)当抛物线与x轴交于点B(2,0)时，求抛物线的表达式；

(2)设抛物线与x轴两交点之间的距离为d.当d>2时，求a的取值范围.

24.(本小题10分)

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a久2+2ax+c与久轴交于点4,B,且4B=4.抛物线与y轴交于点

C,将点C向上移动1个单位得到点D.

(1)求抛物线对称轴；

(2)求点D纵坐标(用含有a的代数式表示)；

(3)已知点P(-4,4),若抛物线与线段PD只有一个公共点，求a的取值范围.

25.(本小题12分)

已知：如图1所示，在菱形4BCD中，以48为直径的。。交4C于点E,EF1BC于点

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若菱形的边长为4,乙ABC=120°,求出AC的值;

(3)在第(2)间的条件下，求图2中阴影部分的面积.

26.（本小题12分）

如图，在平面直角坐标系久Oy中，抛物线经丫=a/+6%一3过三点4、B、C,已知4（一3、0）,C（l、0）.

（1）求此抛物线的解析式及直线48的解析式.

（2）点P是直线48下方的抛物线上的一动点（不与点2、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F,交直线AB

于点E,作PD1AB于点D.

①动点P在什么位置时，APDE的周长最大，求此时P点的坐标；

②连接P4以4P为边作图示一侧的正方形4PMN,随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当

顶点M或N恰好搭在抛物线对称轴上时，求此时对应的P点的坐标.（结果保留根号）

AFN

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：点(2,3)在反比例函数丫=((上力0)的图象上，故k=xy=2x3=6,符合条件的只有C：

1x6=6.

故选C.

将(2,3)代入y=(即可求出k的值，再根据k=町解答即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则■定满足函数的解析式.反之，

只要满足函数解析式就一定在函数的图象上.

2.【答案】D

【解析】解：••・二次函数y=(久一+3的开口方向向上，且顶点坐标是(1,3),

该函数有最小值，最小值为3.

故选：D.

根据二次函数的性质进行解答.

本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值.求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直

接得出，第二种是配方法，第三种是公式法.

3.【答案】D

【解析】解：cos45。=苧，

cosB=苧.

故选D

直接根据特殊角的三角函数值可得出结论.

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：如图，•.・乙40B=50°,/

•••N4CB=jzXOB=25°,[A/7

故选：A.

AB

如图，直接运用圆周角定理，即可解决问题.

该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握圆周角定理，这是解决与圆周角有关的几何问题的

基础和关键.

5.【答案】A

【解析】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为(2,3),

平移后抛物线顶点坐标为(4,6),

又因为平移不改变二次项系数，

则所得抛物线解析式为：y=(%-4)2.

故选：A.

抛物线y=(%-2/+3的顶点坐标为(2,3),向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的顶

点坐标为(4,0),根据顶点式可确定所得抛物线解析式.

本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标.

6.【答案】B

【解析】解：•.•点。是△ABC的内心，

Z.ABO=Z.OBC,Z.ACO=Z.OCB,

•••ZX=50°,

.­.乙ABC+乙ACB=130°,

•••4ABO+N4C。=4OBC+乙OCB=65°,

则NBOC=180°-65°=115°.

故选：B.

利用三角形的内心的性质得出乙48。+乙4co=4OBC+/.OCB=65°,进而得出答案.

此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，根据已知得出乙4BO+乙4C。=N08C+

乙OCB=65。是解题关键.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查对抛物线与K轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类

求出每种情况的k是解此题的关键.

分为两种情况：①当k一3H0时，(k-3)x2+2x+1=0,求出/—b2—4ac=—4k+16＞。的解集即

可；②当k-3=0时，得到一次函数y=2》+l,与x轴有交点；即可得到答案.

【解答】

解：①当k—3力。时，(k-3)/+2x+l=0,

4=&2-4ac=22-4（fc-3）X1=-4k+16>0,

fc<4；

②当k-3=0即k=3时，y=2x+l,与x轴有交点.

故选B.

8.【答案】C

【解析】解：根据题意得，

CD__6__1

AB~1S~3

故选C.

根据相似三角形的对应边的比等于对应高的比，列出比例式即可求解.

本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意列出比例式是解题的关键，也是难点.

9.【答案】C

【解析】解：作4E1X轴于E,。尸1%轴于尸，如图所示:

贝此CF。=4。瓦4=90°,

zl+Z3=90°,

•••四边形。ABC是正方形，

OC=OA,AAOC=90°,

zl+Z2=90°,

•••z.3=Z.2,

2CFO=AOEA

在△OCF和AAOE中，z3=Z2,

0c=

••.AOCF=AAOE（iAAS）,

■.OF=AE=1,CF=OE="/3>

.••点c的坐标为（-1,V3）；

故选：c.

作轴于E,。尸1芯轴于尸，证明△OCT三AAOE,得出对应边相等OF=2E=1,CF=OE=g即

可求出结果.

本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是

解决问题的关键

10.【答案】A

【解析】解：①•.•开口向上，.・.£!>(),对称轴在y轴的右侧，b<0,抛物线与y轴交于负半轴，c<0,

abc>0①错误；

@a>0,b<0,2a-b>0,②错误；

③当一2<久<3时，y<0,③正确；

④当x>1时，y随x的增大而增大，④错误.

故选：A.

根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y<0时，x的

范围，根据二次函数的性质确定增减性.

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，

解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式.

11.【答案】|

【解析】解：>1=9+1,即字=|.

故答案为：|.

根据合比性质，可得答案.

本题考查了比例的性质，利用了和比性质：£=:今字=中.

baba

12.【答案】4

【解析】解：把(0,0)代入y=/_2x+c—4得c-4=0,解得c=4.

故答案为4.

根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入即可计算出c的值.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

13.【答案】10075

【解析】解：设这人垂直高度上升x米，则此人水平向右走了2久米，

AB=500m,

yjx2+(2x)2=500,

解得：x=100V-5-

故这人垂直高度上升100，^米.

故答案为：1004.

设这人垂直高度上升万米，根据坡比为1：2,可得此人水平向右走了2x米，然后根据此人沿山坡走了500

米，利用勾股定理求解.

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡比构造直角三角形，利用勾股定理求解，难度

一般.

14.【答案】4

【解析】解:点a坐标（%,上支）,

.,.点C坐标（一x,-日），

AB1x轴，

SMBC=.（OB—x）=|x/exx2%=kx2,

・•・比例函数y=kx（k>0）与反比例函数y=（的图象相交于2、C两点，

kx2=4,

SMBC=4.

故答案为4.

设点力坐标（x,kx）,根据点4C关于原点对称，可得出点C坐标，再根据三角形的面积计算即可.

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，解方程组等知识点，主要考查学生的计算

能力，题目比较好.

15.【答案】（YI+1）兀

【解析】解：C点经过的路径如图专「不卑-

因为正方形2BCD的边长为2,I；_____________L_

所以AC=2打，

所以点C所经过的路径长=也卷狞+型器=（逅+1）加

故答案为（，至+1）7T-

正方形ABCD在直线2上顺时针连续翻转2次，实际C点经过的路径有两段，其中一段以为半径，圆心角

为90的弧长，另一段是以2为半径，圆心角为90的弧长，然后根据弧长公式计算

本题考查了弧长的计算：弧长=萼（"为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径）.也考查了正方形和旋转的

性质.

16.【答案】

【解析】解：连接BE；

A

•••BC是。。的直径A

乙BEC=90°；

在RM4BE中，cos4=?，即祭=年；(/•一：\

5*C

•••四边形BEDC内接于。。，

•••Z-ADE=Z.ACB,Z.AED=乙ABC,

ADE~AABC,

.SUDE_r鸣2_1

•\△.一媪-3；

]

所以SAADE：,四边源DBCE的值为亍

故答案为：

连接BE,由乙4得余弦值可得到4E、48的比例关系；易证得△22注-44CB,那么AE、2B的比即为两个三

角形的相似比，进而可求出两个三角形的面积比，也就能求出AADE、四边形BDEC的面积比.

此题主要考查了圆内接四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，能够将乙4的余弦值转换为AADE、△

4CB的相似比，是解决此题的关键.

17.【答案】解：(l)sin45°—3tan30°+V_2cos60°

°V~3«1

=A-/~2-3x—+V2x-

=V-2-V-35

(2)x2—6%+8=0,

(%-4)(%-2)=0,

x—4=0或久—2=0,

解得：%】=4,x2=2.

【解析】(1)先根据特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；

(2)先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可.

本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算和解一元二次方程，能正确根据实数的运算法则进行计

算是解(1)的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解(2)的关键.

18.【答案】解：(1)画树状图得：

开始

123

/f\/K/N

123123123

则共有9种等可能的结果；

(2)•••两次摸出的小球标号之积为奇数的有4种情况，

••・中奖的概率为:小

【解析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

(2)由(1)中树状图求得两次摸出的小球标号之积为奇数的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答

案.

此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.【答案】解：•••乙CBF=60°,ZCXF=30°,Z.CBF=Z.CAF+^BFA,

A^BFA=30°,

AB=BF,

■：AB=800米，

AB=BF=800米，

•••乙BCF=90°,乙CBF=60°,

CF=BFsin60°=800X苧=400>^3~680(米)，

答：竖直高度CF约为680米.

【解析】根据NC8F=60。，ABAF=30°,可得BA=BF,利用正弦函数即可求出CF的长.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角

形.注意方程思想与数形结合思想的应用.

20.【答案】解：(1)设降价万元时利润最大、

依题意：y=(14.5-%-3.5)(500+100%),

整理得：y=-100(%-3)2+6400(0<x<11)；

(2)由(1)可知，

•・,a=-100<0,

.••当％=3时y取最大值，最大值是6400,

即降价3元时利润最大，

销售单价为11.5元时，最大利润6400元.

答：销售单价为11.5元时利润最大，最大利润为6400元

【解析】(1)根据等量关系“利润=(13.5-降价-进价)X(500+100X降价)”列出函数关系式.

(2)根据(1)中的函数关系式求得利润最大值.

考查了二次函数的应用，此题运用了数学建模思想把实际问题转化为数学问题.运用函数性质求最值常用

公式法或配方法.

21.【答案】解：(1)由题意得：

M(12,0),P(6,6),N(0,3)；

(2)由顶点P(6,6)设此函数解析式为：y=a(x-6)2+6,

将点(0,3)代入得。=一2，

1

・•・y=_豆(％_61+6

=-1%2+%+3；

(3)当％=4时，代入y=-*/+%+3=一||+7=*

、匚

,:—17>5,

二能通过.

【解析】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧

道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，

从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.

(1)看图可得出M,P,N的坐标.

(2)己知M,P的坐标，易求出这条抛物线的函数解析式.

(2)将久=4代入(2)中的函数式求y的值，再与5m进行比较即可求解.

22.【答案】（1）过点8作BHlx轴于点H,由已知可得:

在RtAOBH中，ZOHB=90°,

OH=1,HB=宿，

.•.点B的坐标是（1,/百），

设直线4B的解析式为y=/cc+b,则

{"』二巴,解得：k=',b=当,

I—2k+力=033

直线48的解析式为y=苧％+孚；

（2）•••抛物线经过力，0,B三点，且点力、。在x轴上，由抛物线的对称性可得对称轴为尤=-1,

•••点C在对称轴久=-1上，ABOC的周长=OB+BC+CO,

OB=2,要使△BOC的周长最小，必须BC+C。最小，

...点。与点4关于直线x=-1对称，有。。=乙4,△8。。的周长=。8+8。+。。=。8+8。+。1

.•.当4、C、B三点共线，即点C为直线4B与抛物线对称轴的交点时，

BC+C4最小，此时ABOC的周长最小.

当K=—1时，代入直线48的解析式丫=苧％+等，得y=今

【解析】（1）作1久轴于点H,由。B=04=2,NB。"=60。可得。H=1,BH=，可，得到点B的坐

标，运用待定系数法可求出A8的解析式；

（2）根据对称性可求得抛物线对称轴为直线久=-1,连接4B交直线x=-1于点C,根据题意可知C。+CB

的值为△B。。的周长最小值，把x=-1代入直线48解析式即可求出点C的坐标.

此题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，三角形的周长的最小值等问题，解本题的关键是利用最短

距离确定出点C的位置.

23.【答案】解：(1)由题意得，

14a+2b=0.

•••a=21，b,=—1.

••・抛物线的表达式为y=久.

(2),抛物线y=ax2+bx(aH0)经过点A(4,4),

•••16a+4b=4.

・••b=1—4a.

令y=ax2+bx=ax2+(1—4a)x=0.

•••ax2+(1—4a)%=0.

x[ax-(4a—1)]=0.

•••aW0,

vd>2,

4-->2或4一3V-2.

aa

即工<2或工〉6.

aa

①当a>0时，0<av3或a>

②当aV0时，；<2恒成立.

•••a<0.

・•・综上所述，a<0,0<a</或a>

oZ

【解析】(1)根据题意将点4和B坐标代入抛物线y=a%2+bx{a丰0)即可求抛物线的表达式；

(2)将点4坐标代入抛物线y=ax2+bx[a丰0)可得b=1-4a.再令y=ax2+bx—ax2+(1-4a)x-0.

可得=0,%2=4-*根据4>2,即可求a的取值范围.

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析

式，抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是掌握二次函数的知识.

24.【答案】解：(1)抛物线对称轴X=—哭=-1;

(2),•・抛物线y=ax2+2ax+c与久轴交于点4B,且=4,抛物线对称轴为直线％=—1,

・•・/(-3,0),8(1,0)；

把(1,0)代入y=ax2+2ax+c得:

a+2a+c=0,

**,c——3a,

・•・C(0,—3a),

D(0,-3ci+1),

・,•点。纵坐标为：一3。+1；

(3)①当。>0时，将点尸(一4,4)代入抛物线y=ax2+2ax-3a得：

4=16a—8a—3a,

4

•••a=",

此时点。坐标为：(0,一看)，点C的坐标为：(0,-9)，

・•・当a2削寸，抛物线与线段只有一个公共点，如图所示：

②当a<0时，抛物线的顶点坐标为(一1,—4a),

当一4a=4时，a=—1,

则当a=-1时，抛物线与线段PD只有一个公共点，即抛物线的顶点，如图所示:

%

③当a<-l时，抛物线与线段PD只有两个公共点，如图所示:

%

④当-l<a<0时，抛物线与线段P0没有公共点，如图所示:

【解析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特点以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关性质

并数形结合是解题的关键.

(1)按照抛物线的对称轴计算公式求得答案即可；

⑵由抛物线y=a/+2ax+c与无轴交于点4B,且48=4,抛物线对称轴式=—1,可得点4和点B的坐

标，将点B坐标代入抛物线解析式可得c与a的关系式，则可得点C的坐标，根据点C向上移动1个单位得到

点、D,可得点。的纵坐标;

(3)分四种情况：①当a>0时，②当a<0时，③当a<-1时，④当一1<a<0时，分别画图结合相关计

算可得答案.

25.【答案】⑴证明：连接OE,如图1所示:

•••四边形是菱形，

AB=BC,Z.1=Z.2,

OA=OE,

•••z.1=Z.3,

OE//BC,

•・•EF1BC,

•••EF1OE,

EF是。。的切线；

(2)解：连接BE、OE,如图1所示:

贝此ABE=90°,

•・,AB=BC=4,Z.ABC=120°,

・•・BE1AC,乙BCA=ABAC=30°,

・•.AE=AB-CQSZ.BAC=4x苧=2<3,

AC=2AE—4V-3?

(3)解：作EG1ZB于G,如图2所示：

则EG=^AE=43,

1

・・•OA=^AB=2,

2

・•・阴影部分的面积=440E的面积+扇形OBE的面积=工X2X扃+驷0=^3+-.

23603

【解析】(1)连接。E,先证明OE〃BC,再由EF1BC,得出EF1OE,即可证出EF是。。的切线；

(2)连接BE,先由菱形的性质得出BE^BCA=^BAC=30°,再根据三角函数求出AE,即可得出

AC；

(3)作EG1AB于G,先求出EG,阴影部分的面积=4AOE的面积+扇形。BE的面积.

本题考查了切线的判定、菱形的性质、锐角三角函数、圆周角定理以及扇形面积的计算方法；熟练掌握切

线的判定和菱形的性质，并能进行有关运算是解决问题的关键.

26.【答案】解：⑴将4(-3、0)、＜7(1、0)代入y=a/+bx—3得W

解得：｛二

••・抛物线的解析式为：y=/+2x—3,

设直线4B的解析式为y=kx+h,

将4(一3,0)、B(0,-3)代入y=kx+八得.，［九=°

解得:仁

・,・直线AB的解析式为：y=