弹性力学应力分析部分

第2章应力分析

(StressAnalysis)参考教材《弹性力学》（第4版），徐芝纶主编，高等教育出版社，2006《弹性理论》（第3版），S.P.TimoshenkoJ.N.Goodier

主编，清华大学出版社，2007《弹性力学》，徐秉业、王建学编著，清华大学出版社，2007《弹性力学与有限单元法》，蒋玉川、张建海、李章政编著，科学出版社，2006S.P.Timoshenko

BeamsonelasticfoundationTimoshenkobeamtheoryMechanicsofplatesandshellsElasticvibration弹性力学、材料力学、结构力学三者关系TheRelationoftheThreeMechanics分析各种结构物或其杆件在弹性阶段(ElasticStage)的应力和位移，校验它们是否具有所需的强度、刚度、稳定性，并寻求或改进它们的计算方法共同点commonground材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。结构力学弹性力学在材料力学基础上研究杆系结构（如桁架、刚架等）。研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。

Difference1研究对象区别MaterialMechanicsStructuralMechanicsElasticityMechanics材料力学除了基本假设之外，为了简化数学推导，还有附加假设，结论有一定近似。如:平面截面假设及横力弯曲情况下，梁横截面上剪应力的分布假设。结构力学弹性力学与材料力学基本相同常只作基本假设，在此基础上运用数学理论通过演绎与推理求解力学模型，其分析更为精确。

Difference2基本假设区别MaterialMechanicsStructuralMechanicsElasticityMechanics[例1]满载均荷简支梁

Example1:TheSimplySupportedBeamunderSimplySupportedBeam公式成立的条件

弹性力学的结果可以检验材料力学结果是否合理。[例2]徐变截面杆的分析

Example2:Analysisofthebarwithcreepsection材料力学计算简单而结果往往是近似的，但不少情况下精度可以满足工程要求的oPx?PDifference3取分离体(isolatedbody)方面材料力学弹性力学一般截取部分杆段研究一般截取微单元体研究得到力的平衡方程得到偏微分方程MaterialMechanicsElasticityMechanicsEquilibriumEquationPartialDifferentialEquations材料力学Difference4从微分单元体入手，严格考虑静力学、几何学、物理学三个方面的条件，边界上严格考虑受力和约束条件，三维数学问题，求解偏微分方程边值问题。数学计算(NumericalComputation)方面也考虑上述条件，但不是十分严格。常采用近似的假设如平面截面假设来简化问题，基本上是一维数学问题，基本方程是常微分方程。

弹性力学MaterialMechanicsElasticityMechanics解析法(AnalyticalMethod)数值法(NumericalMethod)实验法(ExperimentalMethod)§1.2弹性力学的研究方法

StudyMethodoftheElasticityMechanics分离变量法偏微分方程常微分方程偏微分方程的边值问题弹性力学问题解析法级数解法复变函数法积分变换法封闭的精确解工程上的实际问题能真正获得解析解的情况实属少数数值法有限单元法有限差分法边界单元法无单元法DDA法有限体积法流形元法§2-2一点的应力状态

StressataPointxyzO1.正截面应力N2﹑斜截面的应力公式(StressEquationsonObliquePlane)ABCσzτzyτzxσyτyxτyzσxτxyτxzpxpypzpNMxozyNABCσzτzyτzxσyτyxτyzσxτxyτxzpxpypzpNMxozyNABCσzτzyτzxσyτyxτyzσxτxyτxzpxpypzpNMxozyNABCσzτzyτzxσyτyxτyzσxτxyτxzpxpypzpNMxozy

应力的边界值与面力分量间的关系表达式，即物体的应力边界条件

面力边界条件

面力分量与物体内部应力分量之间的关系斜截面上总应力斜面上的正应力为总应力分量px、py、pz在斜面法线上的投影之和斜截面上剪应力§2.3应力分量的坐标变换式CoordinateTransformationofthestressComponents

设新坐标系x’，y’，z’

对旧坐标x，y，z

的轴的方向余弦分别为，l1,m1,n1;l2,m2,n2;

l3,m3,n3

。用矩阵表示为显然新坐标系的各坐标平面可分别看作是旧坐标的斜截面。Mxyzx’y’z’例如，y’M’z’平面是外法线为x’轴的斜截面。Mxyzx’y’z’投影于方向Mxyzx’y’z’

同理，可求得在以和轴为外法线方向的斜截面上的正应力和切应力分别为

和

因此，在新坐标系中，表示M点的应力状态的应力张量表示为(2-14a)(2-12)(2-13)§2.4主应力应力状态的不变量PrincipalStresses&StressInvariants主平面图.2-7Nxoyz

如图2-7所示，如果主应力在轴方向的应力分量分别为

过一点切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力，主平面的外法线方向称为主方向。为了建立复杂应力状态下的强度条件，必须研究物体内任意点的主应力和主方向。

(a)将(a)式代入式（2-4）,移项整理后得：

(2-15)式(2-15)是求主平面的方向余弦的线性方程组。而它们不能同时为零。

(2-16)

由齐次方程组(2-15)可见，如果要使有非零解，则系数行列式的系数必须等于零。令：(2-17)展开行列式，并注意切应力互等定理，得（2-18）(2-19)

方程（2-18）为M点应力状态的特征方程，解方程可得三个实根，即主应力,且,同时，也存在三个互相正交的主平面。为了求主方向，可将主应力值分别代入式(2-15)中的任意两个方程，并和(2-16)联立求解，可得三个主方向。例如：求的的方向，将主应力的值代入式(2-15)前两个方程得：(b)(c)且从式(2-16)有：

(d)联解这三个方程可得与主应力相应的方向余弦。

另一方面，因主应力均为特征方程(2-18)的根，故又可将此方程表示为(e)展开后有与式（2-18）、（f）对照得：

(f)(2-20)由于主应力是表征应力状态的一种物理量，它们与所采用的坐标系无关，故当坐标变换时，是不变量，分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。它们不因为坐标变换而改变。

是过一点任意三个相互垂直截面上的正应力之和，它是一个常数且等于平均应力的三倍。应力状态的第二和第三不变量在塑性理论中有很重要的应用。同时，若给定了,也就等于给定了主应力。

〖例2.1〗已知一点的应力状态为应力的单位为。确定主应力的大小和最大主应力相对于原坐标轴的方向余弦。

解：从方程（2-20）有因此，方程（2-18）成为

以上三次方程既可以通过数值方法求解，也有许多手算的方法求解上述问题。方程的三个根为和

为了获得最大主应力对应的方向余弦，在此应用方程(2-15)，将相关的应力值(例如:σ1=9Mpa