2022-2023学年广西钦州市高一年级上册册12月考试数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年广西钦州市高一上册12月考试数学模拟试题

（含解析）

一、单选题

3

1.已知集合A={x∣0<bg∕<2},β={x∣^-≤l},则A（GfB）=（）

A.（3,16）B.（3,8）C.（1,3]D,（U+∞）

【答案】A

【解析】化简集合A,B,根据补集、交集运算即可求解.

【详解】因为A=卜|0<logaX<2}=（1,16）,B={X∣√-3≤1}=（-∞,3],

所以Cz（B=（3,+∞）,An（CM）=（3,16）.

故选：A

2.一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，

则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（）

3423

A.-B.-C.—D.—

5534

【答案】A

【分析】利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果.

【详解】设3只白兔为4,%，%，2只灰兔为如外,

则所有基本事件为：（4，生），（4,%），（"∣,4）,（α∣也），（外，生），（见,伉），（/也），3,伪），3也），3也），

共有10个，

其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有：

（4,（4,匕2）»（生，自）,（"2'"2）,（%,b∣）,（4,4）,共6个,

所以所求事件的概率为：A=I•

故选：A

3.定义集合运算：AB={z∣z=∕（y-l）,x∈Aye8}.设A={T,1},8={θ,2},则集合48中的

所有元素之和为（）

A.0B.ɪC.2D.3

【答案】A

【解析】根据定义，逐个分析兑Ν的取值情况，由此得到Z的取值情况，从而集合48可确定，则集

合中所有元素的和可求.

【详解】当X=Ty=O时，z=(-l)2×(O-I)=-I；当X=T,y=2时,Z=(-1)2×(2-1)=1；

当x=l,y=0时，z=Fx(()—i)=—i；当x=Ly=2时，z=l2×(2-l)=l；

所以48={T,1},所以AZ中所有元素之和为0,

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解A8的运算方法，由此采用逐个列举的方法可完成结

果的求解.

4.当一个非空数集G满足：如果。，bwG,则α+"a-b,αbeG,且匕Η0时，feG时，我们

D

称G就是一个数域•以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素;②若数域G有非零元素，则

2()19GG；③集合尸={x|x=2怎是一个数域.④有理数集是一个数域•其中正确的选项是

()

A.①②④B.②③④C.①④D.①②

【答案】A

【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解.

【详解】对于①，当“=8且”,8eG时，a-b∈G

所以0是任何数域的元素，①正确；

对于②，当α=640时，且α,OeG时，由数域定义知f=l∈G,

b

所以1+1二2∈G,1+2=3∈G1+2018=2019∈G,故选项②正确；

对于③，当α=2,b=4时，£=(eG,故选项③错误；

b2

对于④，如果“，房。，则则“+6,a-b,HeQ,且6x0时，feQ,所以有理数集是一个数域.

b

故选：A

5.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号•设XeR,用[另表示

不超过X的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：∏)∙5]=-1,[1.5]=1.已知函数

/(X)=^X2-3X+4(1≤X≤4),则函数y=["x)]的值域为()

A.另)B.{-l,0,l}C.{-l,0,1,2}D.{0,1,2)

【答案】B

【分析】分析函数的单调性，再结合高斯函数的特点即可求解.

【详解】/(x)=-√-3x+4(l≤x≤4),

所以〃x)=3x-3f-g(l≤x≤4),

所以函数在(1,3)单调递减，在(3,4)单调递增，

所以“X：L=/(3)=4,

又"1)=5，〃4)=0,

所以y=［"χ)］的值域为{TQ,1}∙

故选：B.

6.若直角坐标平面内的两点P、。满足条件：①尸、。都在函数y=∕(χ)的图象上；②尸、。关于

原点对称，则称点对［P、Ql是函数y=/(χ)的一时'友好点对"(点对［P、0与［。、P］看作同一对“友

好点对已知函数hK>°)，则此函数的“友好点对”有()

A.4对B.3对C.2对D.1对

【答案】C

【分析】由题意，设点P(χ,y),则。的坐标为(-χ,-y),结合/S)=√-W>0)*转化为此函数

的“友好点对”的个数即方程-=/—2X在χ>0时的解的个数，从而作图解答

【详解】解：由题意，设点P(χ,y),则Q的坐标为(一χ,-y),

2'(x≤0)

因为f(x)=∙

X2-2x(X>0)

所以此函数的“友好点对”的个数即方程-2T=X2—2X在χ>0时的解的个数,

作)，=-2-，与y=χ2-2x的图像如图所示，

两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对''有2对

故选：C

【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题

..fl,xeQ

7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数/(x)=1XetQ被称为狄利克

雷函数,其中R为实数集,。为有理数集,以下命题正确的个数是

下面给出关于狄利克雷函数_Ax)的五个结论：

①对于任意的xeR,都有欢X))=1;

②函数偶函数；

③函数小)的值域是｛0』｝；

④若7≠0且T为有理数,则於+7)=")对任意的XeR恒成立；

⑤在7U)图象上存在不同的三个点4,8,(7,使得4ABC为等边角形.

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

Λ∈

【解析】①分XeQ,CRQ两种情况从内到外，利用f(X)=求值判断.②分XeQ,

0,XWCflQ

XeGeQ两种情况，利用奇偶性定义判断.③当XeQ时，/(x)=l;当XegQ时，/(χ)=0判断.④

分XeQ,x∈G2两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取芭=一#,*2=0,占=#，

Af--η-,0,B1)>C~~>0判断.

I3JI3)

【详解】①当XeQ时，/(x)=l,则〃〃X))=〃1)=1；当XeCR。时，/(x)=0,则

/(/(x))="0)=l,所以对于任意的XeR,都有.∕ζ∕m))=l;故正确.

②当XeQ时，-XGQ,/(-x)=l=∕(x)；当XeCWQ时，TeCRQ,/(-x)=0=∕(x),所以函数

人乃偶函数;故正确.

③当XWQ时，/(x)=l;当XeCRQ时，/(x)=0,所以函数次x)的值域是｛0,1｝;故正确.

④当XWQ时，因为7≠0且T为有理数，所以T+xe。，则人r+7)=l=∕α);当XeeRQ时，因为7≠0

且T为有理数，所以T+x∈GfQ,贝!!火χ+7)=0=∕(χ),所以对任意的x∈R恒成立;故正确.

⑤取X]=-#,工2=O,X3=*，，~^^y^,θ,8（0,1）,C,O构成以为边长的等边三角

形，故正确.

故选：D

【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档

题.

IogX,X>0

8.设函数F（X）=，3若f(α)=l则a=

X2+2x-2,x≤0

A.3B.±3C.-3或1D.±3或1

【答案】B

【分析】由分段函数的解析式，根据分段条件，列出方程，即可求解.

[log,x,x>0

【详解】由题意，函数/（X）=2；C-，且/（〃）=1，

[x+2x-2,x≤0

当α>0时,Bpiog3X=I,解得>=3；

当a≤0时，即f+2x-2=I,解得x=-3或X=I（舍去），

综上可知。的值为±3,故选B.

【点睛】本题主要考查了分段的解析式，以及分段函数的求参数问题，其中解答中合理利用分段函

数的解析式，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽

取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）

A.30B.25C.20D.15

【答案】C

【详解」抽取比例为悬=粉’

.∙.-ɪ-χ4000=20,

200

抽取数量为20,故选C.

2

10.已知α=ln2,b=20'8.c=ln-,则（）

A.a<c<bB.c<a<b

C.c<b<aD.a<b<c

【答案】B

【分析】借用O,1进行比较大小，简单判断即可.

2

【详解】因为O<α=hι2<lne=l,b=20∙8>20=1,c=ln-<lnl=0,

3

所以Cyq<b.

故选：B

11.函数/(χ)=∙,2XTL的定义域是()

2x一—%—1

A.卜I"-；1B.卜]彳>一；}

C.{x∣XX-g且XH1}D.且XH1}

【答案】D

【解析】根据函数解析式的性质求定义域即可.

f2x+l≥0

【详解】由函数解析式，知：I,,,、，

[2x-x-l≠0

解之得：且XHl,

故选：D

【点睛】本题考查了求具体函数的定义域，根据分式的分母不为零，根式的双重非负性求定义域，

属于简单题.

12.设集合M={3,log34},N={αS},若MN={0},则MUN=

A.{3,0}B.{3,0,1}

C.{3,0,2}D.{3,0,1,2}

【答案】B

【详解】因为MCN={0},且易知α>0,所以8=0,logsa=。,所以4=1.

所以M={3,0},N={l,0},所以MUN={3,0,1}.故选B.

【名师点睛】解答本题时，要注意题目中的隐含条件，对数中的真数〃>0,所以对于集合N中的元

素就没有必要分a=0和h=0两种情况进行讨论，所以首先可以根据〃CN={0}和交集的概念求出b

的值，再求出α的值，最后求出MUM这样大大提高了解题效率.

二、填空题

13.若函数/(x)=Q"T)x"是幕函数，则函数g(x)=bg4(x-M(其中a>0,a≠l)的图象过定点A

的坐标为.

【答案】(3,0)

【详解】若函数/(X)=(〃Ll)Xa是幕函数，则％=2,

则函数g(x)=∕og"(x-M=Iog(T2(其中a>0,a≠l),

令x-2=1,计算得出:x=3,g(x)=O,

其图象过定点A的坐标为(3,0).

14.设全集U={l,2,3,4,5,6},且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自

左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串OlOlO0,并规定空集表

示的字符串为Oooooo.已知4={1,3},BcU,若集合ADB表示的字符串为IOlOO1,则满足条件的

集合B的个数为.

【答案】4

【解析】由A={l,3},集合ADB表示的字符串为IOIOO1,得出AuB表示的集合，进而求出集合8,

从而得到答案.

【详解】由集合AUB表示的字符串为IOlOO1,可知AUB={1,3,6}

而A={l,3},BNU,

则B可能为{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合B的个数是4.

故答案为：4

【点睛】关键点点睛：本题以集合的新定义的形式，考查集合的运算和判断子集的个数问题，解题

的关键是能将新定义的内容与已学的集合的内容联系起来，考查学生的分析解题能力，属于基础题.

15.已知函数/3是定义在R上的偶函数,且当x≥0时，/(x)=χ2-2x.若关于X的方程/(》)-机=。

有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是.

【答案】(一1，0)

【解析】若方程/O)-M=O有四个不同的实数解，则函数y=f(χ)与直线尸机有4个交点，作出函

数F(X)的图象，由数形结合法分析即可得答案.

【详解】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且当XNO时，/(X)=尤2-2x,

所以函数f(x)图象关于y轴对称，

作出函数/(*)的图象：

若方程/(x)-w=O有四个不同的实数解,则函数y=/(χ)与直线y=加有4个交点,

由图象可知：时，即有4个交点.

故m的取值范围是(T,0),

故答案为：(-1，0)

【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结

合，属于中档题.

16.己知关于X的不等式加"x-c>0的解集是(-2,1),则不等式cd-fcvi>O的解集是.

【答案】(-∣4)

【分析】通过or?-反—c>o的解集可以确定b,c与4的关系以及〃<0,代入所求不等式，化简为

2X2+X-1<0,求解不等式得到结果.

【详解】由ɑ--fer-c>0的解集是(一2,1)可知：-2和1是方程OX2-/,X-C=O的两根且“<0

,a~∖b=-a

cʌn[c=2α

--=—2'

、a

cx2—bx—a>O»2ax2+ax-a>O

又“<0=>2X2+X-1<0

【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，关键在于通过解集确定方程的根,

属于基础题.

三、解答题

17.定义在非零实数集上的函数/(X)对任意非零实数X,y都满足

(1)求”2)的值;

(2)求f(x)的解析式;

(3)设函数g(x)=9(x),求g(x)在区间“2"'上的最大值).

w,,,

-∣2Γ4-2-∣j,-2<∕n≤-l

2713

【答案】(I)/(2)=--;(2)/(x)=---x+-(x≠0);(3)Λ(w)=<

-,m>-∖

12

【分析】(1)分别令x=2,y=l和χ=l,y=2,可得出关于“2)和的方程组，即可解出“2)

的值;

(2)令j=f(rrθ),则/(r)+2/(；)=2-；,再用;替换.可得出_/(；)+2〃f)=2T,利用加减消

元法可解出了(，)，即可得出函数y=∕(χ)的解析式;

(3)由题意得出g")=—∣(χ-g1+g,然后分;<2"≤g和2∙≥;,分析二次函数y=g(x)在区

间ɪ2m上的单调性，即可得出函数y=g(x)在区间ɪ2m上的最大值〃(间的表达式.

【详解】(1)令χ=2,y=l,得/(2)+2/(；)=2-g=|；

令x=l,尸2,得/(g)+2/⑵=2-2=0.

/(2)÷2∕æ=∣

由小、’解得/(2)=-于

U+242)=0

(2)令5=f(rxθ),则+=所以/(W+2"f)=2τ,

由以上两式，解得3f(f)=2-2∕+L

即+ɪ，所以/(x)=∙∣-∙∣x+J(x≠0);

1

(3)+—.

2

当;<2"≤g,即-2<m≤T时，此时，函数y=g(x)在区间',2”’上单调递增，

m

Λ(∕w)=g(2)=-∣^-2'--l^

当2">g,即加>-1时，函数y=g(x)在区间ɪɪ上单调递增，在区间ɪ,2™上单调递减，则

,-2<m<-∖

综上，h(m)=∙

-,m>-∖

2

【点睛】本题考查函数值的求解、利用方程组法求函数解析式，同时也考查了二次函数在区间上的

最值的求解，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

18.已知函数/(x)是偶函数，且当x≥0时，/(x)=logn(3-ta)(β>0,且ακl).

(1)求当X<0时的F(X)的解析式；

(2)在①“X)在(1,4)上单调递增；②在区间(Tl)上恒有"x)≥χ2这两个条件中任选一个补充到

本题中，求g(α)=(gj的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)

【答案】(1)/(x)=Iog“(3+or)；(2)答案见解析.

【解析】(1)根据函数〃》)为偶函数，当x<0时，由力即可求出；

fθ<β<lf1Y

(2)若选①，根据复合函数的单调性可知，5—4a〉。’由此解出。的范围，再根据指数函数y=M

在(0,+8)上单调递减，即可求出g(α)=CJ的取值范围；

若选②，先讨论。与1的关系，当O<α<l时，易知/(O)=Iog“3<0,所以可得α>l,

而/(χ)与y=d都是偶函数，所以只需在(0,1)上/(χ)≥χ2,根据单调性即可求出.

【详解】⑴当XCo时，-χ>0,又/(x)是偶函数，则/(x)=∕(r)=IOg“(3+词，

即f(x)=log"(3+0r).

(2)选条件①的解析：由于/(x)在(1,4)上单调递增，显然α>l不合题意，

贝!］｛；：Cno<a≤j,此时g.)=(g］的取值范围是

选条件②的解析：若O<α<l,则/(O)=Iog“3<0,显然不合要求.

当时，因为与y=f都是偶函数，所以只需考虑xe［0,l)时/(χ)≥χ2即可.由复合函数的

单调性可知，函数“X)在［0,1)上单调递减,而y=V在［0,1)上单调递增的,所以y=f(χ)-9在［0,1)

上单调递减.

・储≥0=K3—小户i4,此时g（α）=1J'的取值范围是怜J

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，对数型复合函数的单调性的应用，以及指数函数单调性

的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题.

知识点睛：复合函数的单调性一般遵循“同增异减''的原则，即内外函数在某区间上单调性一致，则

此函数在该区间上单调递增，内外函数在某区间上单调性不一致，则此函数在该区间上单调递减.

19.已知函数MX）=X+L

⑴直接写出MX）在p2上的单调区间（无需证明）；

⑵求〃（X）在；，C（α>g）上的最大值;

⑶设函数（）的定义域为，若存在区间满足：∈使得

/x/Aq/,∀Λ,∈A,3¾δ,A,/（XJ="Λ2）,

则称区间A为"x）的“「区间”•已知小）=犬+：卜€川），若A=ɪ,b是函数/（x）的“「区

间”,求b的最大值.

【答案】（1）在；，1上单调递减，在［1，2］上单调递增

（2）答案见解析

（3）1

【分析】（1）根据P函数的函数性质即可求解；（2）对参数。进行分类讨论即可求解；（3）对参数。进

行分类讨论即可求解.

【详解】（1）MX）在ɪ-ɪ上单调递减，MX）在［ι,2］上单调递增.

（2）由题意知，唱）=爪2）=（①若g<α

≤1,则〃（力在［0上单调递减，所以MX）的最大

值为〃（£］=|；②若l<α≤2,则MX）在［1］上单调递减，在［1，句上单调递增，此时

Ma)≤M2)=*)=∣,所以MX)的最大值为∕g)=∣;③若α>2,则MX)在ɪ-l

上单调递减,

在［1，可上单调递增，此时所以/7（6的最大值为Ma）=〃

综上，若g<a≤2,〃（x）的最大值为|；

若α>2,MX）的最大值为α+L

(3)由⑴(2)知，①当T<6≤1时，/(x)在［ɪ,例上的取值范围为6+g,∣,在e，2］上的

取值范围为卜"因为b+0≥2,所以，+：,兔［21］,满足Ueb∖,3Λ2∈(6,2］,使得

/(XI)=∕(Λ2),所以此时ɪ,b是“X)的区间”.②当l<b≤2时，/(x)在［。)上的值域为

2)1,在他，2］上的值域为,+„.因为当不«1，3时，/(xl)<∕(⅛)=⅛+l,所以圳∈［1,b),

使得小)任Cl，即*可1，b),VΛ2∈［⅛,2］,/(Λ,)≠∕(Λ⅛),所以此时ɔ不是/(x)的

“「区间”•故所求匕的最大值为1.

20.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速

路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量产(单位：L)与速度v(单位：

km∕h)(0≤vV120)的一些数据如下表所示:

V040608()120

2065

01020

FTT

为了描述汽车每小时耗油量尸与速度丫的关系，现有以下三种函数模型供选择:

32F(V)=Ij+“

F(V)=ΛV+⅛V+CV,F(v)=klogav+b(a>0,且αxl).

(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式;

(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？

117

32

【答案】(1)选择模型F(V)=m3+加2+cv,F(V)=^^V-^V+^V(0≤V≤120)

Q)80km∕h

【分析】⑴根据所给数据选择函数模型，代入数据列得关于α,Ae的方程组，解方程组即可，故

可得解析式.

(2)设这辆汽车在该测试路段的总耗油量为)，(单位：L),行驶时间为/(单位：h),由题意得y=Fl,

根据二次函数的性质求出最值.

【详解】(1)由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为［0,120］,且在［0,120］上单调递增.

函数*v)=p［+α在［0,120］上单调递减，所以不符合题意;

函数尸（u）=0og/+匕中的V≠O,即定义域不可能为[0,120],也不符合题意;

所以选择函数模型P（U）=W3+bv2+CV.

40×(402α+40⅛+c∙)=y,

60X(60%+60"C)卷,

由已知数据得

80×(802Λ+80⅛+C)=10,

1

a-，

38400

解得b=一一—,

240

7

c=一，

24

I17

所以b(u)=--------V3