四川省绵阳市某校2022-2023学年高一年级下册学期期中考试数学试题

四川省绵阳市南山中学实验学校2022-2023学年高一下学

期期中考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知&=(cos57°,sin27)，b=(cos27,sin57°),则()

A.°B.gC.BD,1

2

2.已知点H(-l,2),8(3,1)，向量X=(2,l)，则向量比=()

A.(-2,2)B.(-1,0)C.(3,-1)D,(4,-1)

3.设“BO的内角8,C的对边分别为a,b,c,若/+8=生，”=26，c=5,

3

则si"=()

A.1B.2C.2D.I

5543

y=cosx

4.为了得到函数/(x)=cos(2x-马7r的图象，只需要把函数.图象()

A.先将横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移笠个单位

4

B.先将横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移擀个单位

C.先向左平移工个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)

4

D.先向左平移g个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)

O

试卷第11页，共33页

5.在△Z8C中，。为8c中点，M为中点，_,一一，贝U()

BM=mAB+nACm+n=

11-1

A.--B.7C.1D.

22

6.已知\448C的角7,8,C的对边分别为a,6,c，且满足28cos/+a=2c，若a=2，

b=w贝"c=()

A.2B.3C.2sD.3石

7.在平行四边形4BCD中，AC=(1,2)'丽=(-4,2)，则

阿『+|明J函2+网2=()

A•石B.5C.3石D-25

x

8.如图是函数/(x)=sin(球+ir巴在一个周期内的图象，该函数图象分别与轴、y,轴

相交于A、B两点,与过点八的直线相交于另外两点,、口,则方.(於+而卜

2525

C.D.

Ti18

试卷第21页，共33页

二、多选题

9.关于非零向量£,B，下列命题中不正确的是（）

A.若卜卜W，则。二行

B-（^b）-c=（bc）-a

C.若力,»=%,则D

ab（a'h\-b

D.向量在上的投影向量为

H

10.若函数/（x）=sinxcosx-6cos"+乎，则下列结论正确的是（）

A.函数”幻的最小正周期为四

2

B.函数”X）在区间［-密J上单调递增

C.函数"X）图象关于对称

12

D.函数的图象关于点（等,0）对称

H.在V/8C中，角4BC的对边分别为0,bc'则下列结论正确的是（）

A.若。2+肝<d，则V/BC一定是钝角三角形

B,若sin/>sin8'则B

C若^^:^^^则^^^^为等腰三角形

D.若v"C为锐角三角形，则sin/>cos8

试卷第31页，共33页

12.已知函数/,（/）=也sin|x|+|cosx|,则（)

A.函数“x）关图象于y轴对称

B.函数/（X）的最小正周期为27t

C.函数/（x）的值域为［.6,2］

D.方程"2='"在［乐2河上恰好4个实数根，贝百］

三、填空题

13.已知向量）=（-1，石），〃是与“方向相反的单位向量，则B的坐标为.

14，tan70+tan50-A/3tan70tan50=-----,

15.萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动

对萧县欧盘村窑址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的揭露，将萧窑的历史提

溯至隋代.为进一步摸清萧窑窑址的分布状况、时空框架以及文化内涵等，经国家文物

局批准，2021年3月，正式对萧县白土寨窑址进行主动性考古发掘.如图，为该地出土

的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：

"'=34.64cm,=10cmBE=14cmA=s=t则两点间距离为—cm.（参考

数据：取6=1.732）

16.已知函数"x）="smx+cosx满足〃外）会，若函数/㈤在区间1再㈤上单调,

试卷第41页，共33页

且/(占)+/(》2)=0，当卜1-即取得最大值时，则acos(X]+丫2)=

四、解答题

17.已知两个非零向量£与否不共线.

⑴若元+刃与/平行，求实数%的值；

⑵若£=(1,3)，I=(x,l)，"=£+25且同=50，求相

18.在⑦6c中，角4仇C的对边分别为a,bc»-0.acosC=(2b-c)cosA-

(1)求角/AA的大小；

Q)若a=2不，c=4,求VZ8C面积.

=(JT,nrzx.x.xe(0,7t)

19.己知。i,=(cos—,sin—),.

22

⑴若：//》求实数x的值；

(2)若〃x)=£,，且'@)=迪，求sin(a+*的值.

20.如图，一个大风车的半径为4m,8min旋转一周，它的最低点兄离地面2m,它的

右侧有一点勺且距离地面4m.风车翼片的一个端点P从片开始计时，按逆时针方向旋

(D试写出点尸距离地面的高度”m)关于时刻，(min)的函数关系式/?("；

(2)在点尸旋转一周的时间内，有多长时间点尸距离地面不超过gm?

试卷第51页，共33页

21.记V/BC的内角A,失。的对边分别为"，七',已知a"]_2sin《)=g

⑴求/R；

ND

(2)若6=6,求VN8C周长的取值范围.

22.如图，点8(_1立]，点/是单位圆与“轴的正半轴的交点.

2'2

(•)^iZ-AOB-a,求sin2a；

(2)设点尸为单位圆上的动点，点。满足丽=方+而，40P=2(注04])，

/(0)=丽・诙，求/(。)的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当历±而时，求四边形。力QP的面积.

试卷第61页，共33页

参考答案:

1.c

【分析】根据向量数量积的坐标表示并结合三角函数的和差角公式即可求解•

【详解】因为a=(cos57",sin27)h=(cos270,sin570),

所以展另=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos30=—,

2

故选：C.

2.A

【分析】设C(x,y)，由就=(2,1)求出C(L3)，从而求出团•

【详解】设C(x,y)，则/=(2)-(-1,2)=(2,1)，

故卜+1=2,解得卜=1,

1尸2=1[y=3

所以C(l,3)，

又因为8(3,1)，所以沅=0,3)-(3,1)=(-2,2)，

故选：A

3.B

【分析】先求出eg再由正弦定理进行求解.

【详解】因为"人爷'所以cj'

2百5

由正弦定理得sin"sinC,即sin4.兀，

sin—

3

3

所以sin4=g.

答案第11页，共22页

故选：B

4.B

【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.

y=cosx\

【详解】解：先将函数’图像横坐标缩短到原来的5倍(纵坐标不变)得到

y=cos2x，

再向右平移5个单位得到"x)=cos(2xq)的图像：

y=cosx।

或者将函数’图像向右平移工7r个单位，再将横坐标缩短到原来的5倍(纵坐标不

变)可得到/(x)=cos(2x-当的图像.

4

故选：B

5.A

【分析】根据图象及其性质，即可得出而=1万+■祝，JD=-AC--AB,进而根据

因为。是8C的中点，所以标=1万+'就，BD=-BC=-X(AC-AB}=-AC--AB.

2222、>22

答案第21页，共22页

又因为加是AD的中点，

所以，BM=-BA+-BD=--AB+-(14C-AB]=--JB+-AC,

2224、>44

又BM=mAB+〃"，所以机=一2,〃J，所以机+”=」.

442

故选：A.

6.B

【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得cos8,利用余弦定理可构造

方程求得°的值.

【详解】由正弦定理得：

2sin8cos力+sinJ=2sinC=2sin（J+=2sinAcosB+2cossinB'

sin4=2sin/cos8JG（0,7C）「.sin/wO1

,乂^''，，,COSD=—,

2

2222

由余弦定理得：h-a+c-2accos5=4+c-2c=7»解得：c=-l（舍）或c=3.

故选：B.

7.D

【分析】根据向量加减运算法则得到方=在+而，而=前_灰，两式平方相加求出

答案.

【详解】因为k=次+而，BD=BC-DC'祝=0,2"丽=（-4,2），

所以4c=（力8+4。）=AB+2ABAD+AD=\AB\^2AB-AD^\AD\,

—一…|

又B—D—2=（/B—C—*-—D—C*）\2=B—C—*2-2—B—CDC+DC-2=\|BC■\■•|2-2BC-DC+\DC\*1-,

答案第31页，共22页

因为万.瓦=灰灰，AC2=1+4=5,BD2=16+4=20'

两式相加得，画,+1网,+|c5|2+网。=5+20=25.

故选：D

8.D

【分析】先求得两点的坐标，根据对称性求得8C+8O,进而求得方.(元+而).

【详解】因为函数/(x)=si*x+胃，由〃0)=sint=g，所以8(0,g),

令/(X)-。，即si*Jx+t)=,可得口,+22左ke

1k-155

即x=——+k,kwZ,当时，x=—,所以”(z")，

因为函数/(M关于点4对称，所以c关于/的对称点为o,即co的中点为a

所以旅+丽=20=((一1)

又因为。4=(W,。］'所以O4.(5C+8Z))-

9.AB

答案第41页，共22页

【分析】A选项，£石方向不一定相同；B选项，可举出反例；C选项，根据向量定义可得;

D选项，根据投影向量定义和公式可得.

【详解】对于A,同=忖，但“力方向不定，“花不一定相等，A错误；

对于B,向量运算不满足结合律,可令公=(1,2),5=(2,3),"=(3,4)，

则R/”=(24,32),但Qi=(18,36),故B错误；

对于C,向量相等可以传递，C正确：

%»dB2-bb(£旬石

对于D,,均为非零向量，在上的投影向量为詈•符=匚浸一，D正确.

\b\H14

故选：AB

10.BCD

【分析】化简/(x)的解析式，然后根据三角函数的周期性、单调性、对称性等知识对选项

进行分析，从而确定正确答案.

【详解】y(x)=sinxcosx->/3cos2x+

=—sin2x-3％>s2x=sin(2x——)

223

所以最小正周期为7=技=兀，A错误；

当T-罂寸则小抖-5,在故/⑶在卜罂水递增,B正确;

由/(—与Lsin(--------)=-1,故x=—2是/*)的一条对称轴，C正确;

126312

答案第51页，共22页

由/(争”sin(7-§)=0,故(当可是的一个对称点，D正确.

故选：BCD

11.ABD

【分析】根据余弦定理、正弦定理、诱导公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A选项，因为则cosc/+〃-/<0,

2ah

故角C为钝角，A选项正确；

对于B选项，因为sinZ>sinB，由正弦定理可得所以4>B，B选项正确；

对于C选项，因为"cos'=Aos',即/+不一/),(/+c2^),

2bc2ac

整理可得一〃)(Q2+62—《2)=o,所以，。。或々2+/=c，2，

故V48c为等腰三角形或直角三角形，C选项错误；

对于D选项，若V"。为锐角三角形，所以4+2>工，所以g/>—一8>0,

222

则sin/>sin-8)=cos8，D选项正确.

故选：ABD

12.AC

【分析】A选项，根据函数奇偶性定义得到函数为偶函数，故A正确；B选项，求出

/(x+2兀°力/x，B错误；C选项，画出xWO时，函数/(x)的图象，数形结合得到函数最

值和值域；D选项，数形结合得到函数有4个实数根时，”的取值范围.

【详解】A选项，八幻=百sin|x|+|cosx|定义域为R，

答案第61页，共22页

因为/(r)=J5sin\-x\+|cos(-x)|=V3sin|x|+|cosx|=f(x)'

所以函数为偶函数，故A正确；

B选项，若X=一巨，贝IJsin]-电径sin—=-1，而sin|-史，2冗向-4=，止匕时

2|2|2I2|2

sin卜+2兀枷忖，

故/(x+2兀Jskx/-2|ac^s(|+?兀)x+3sin|=^7c|c|os+||X)xfx,

所以2兀不是函数周期，故B错误；

C选项,对/(x)=Gsi川x|+|cosx「当"之。时,

_keZ

+

/'(x)=6sinx+|cosx\

作出函数图象,

由图象知，最大值为2,当x当时，可取最小值/啰巴百sin彳=-6故函数值域为

卜G，2],故C正确;

答案第71页，共22页

D选项，由图象知，'="与，="幻在卜兀，2句恰好有4个交点，则机D错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛：

函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问

题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数

函数，对数函数，基函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩,

对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.

ECl

【分析】设3=花=卜九百4),根据W=i求出;i=-g,得到答案.

【详解】因为3是与。反向的单位向量，设石=筋=4-1，石)=卜，，血)，为＜°

所以W=J(-4)2+3父=」,所以；1=-；,故B=

故答案为：§,_4)

14.

【分析】根据正切和角公式得到tan700+tan50'-右+gtan700tan50。，代入即可求解•

【详解】因为9+5。。)=幅褰

所以tan70°+tan50°=-y/3+V3tan70tan50

所以tan70+tan50-V3tan70tan50°+>/3tan70tan50->/3tan70tan50=-V3

答案第81页，共22页

故答案为：-G

15.14

【分析】作出辅助线，由正弦定理得到/c=8C*20（cm），求出。,CE，在VCDE中，利

用余弦定理求出0E，得到答案.

【详解】如图，延长'"'8"交于点。，因为4=8=工，所以C=型,

63

ACBCAB

sinfisirt4sinC

34.64X—34643464

/.AC=BC=-----厂2=—«---=20（cm）

V3V31.732I7

T

由题意得CQ=20—10=10,CE=20—14=6,C='，

3

故QE=y]CD2+CE2-2CD-CEcosC=J136+60=V196=14（cm）,

故Q,E两点之间的距离为14cm.

故答案为：14

16._@/-16

66

【分析】利用辅助角公式得到/（幻:石彳飞g+⑴，tanej,由〃x）4吗）得到方

答案第91页，共22页

程，求出。=1+2%兀,keZ,a=W,从而得到/(x)=¥sin(x+1)结合题目条件得到

国一切的最大值为半个周期，故%+%=一,+2大，丘Z,代入求出答案.

【详解】因为/(x)=asinx+cosx=Ja：+1sin卜+。),其中tan0=2，

又因为/(x)“。)，所以/(x)a=/(,=Ja)+人出卜+0卜J/+1，

所以驾W=_+2«,kA,即0=F+2E,AeZ,

623

所以tanp=1@11(事+243)=«=—»解得〃

所以f(x)=sin(x+,)，

又因为f(x)在区间［再,3］上单调，且/a)+f{x2)=0，

所以点(4必),(々，％)关于对称中心对称，且|再-4的最大值为半个周期，

易知,⑶的对称中心为衽,才左Zke,所以西+迎=-,+2左，"，'

所以acos(X1+X2)=^^cos(一1+2ATT)=一^'，

故答案为：一走

6

⑴.

答案第101页，共22页

⑵x=2或一3

【分析】根据向量平行设出3+否=4(£+庙)，从而得到方程组，求出“=

(2)表达出A根据模长得到方程，求出x的值.

【详解】(1)因为兀+各与：+人)平行，且〉与B不共线

所以妨+B=2伍+/)=4彳+4汇

所以”=',解得"7

[\=Ak

(2)因为C=G+2B=(1,3)+2(X,1)=(1+2X,5)

所以同=J(l+2xy+25=50,解得*=2或一乙

经检验，均满足£与否不共线，故x=2或-3

18.⑴华

⑵2石

【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得人・

(2)利用余弦定理求得b，根据三角形的面积公式求得三角形Z8C的面积.

【详解】(1)依题意，acosC=(2A-c)cosA,

由正弦定理得sin/cosC=(2sin5-sinC)cosA1

答案第111页，共22页

2sin8cos4=sinAcosC+cosAsinC=sin+C)=sin5»

-T-sinB>0/1八

由于，所以cosA=—>Of

2

ATT

则为锐角，所以

(2)由余弦定理.得〃2=〃+c?—2bccos4，

即12=从+16-2xbx4x；,b2-46+4=(6-2『=0,解得”?

所以Sv/犷=—/?csinA=—x2x4x^-=2\/3,

v"c222

19.(l)x=1

(2)sin(a+^)=--

【分析】（1）根据向量平行列方程，根据同角三角函数的基本关系式求得x的值•

（2）化简/（X）的解析式，根据诱导公式、二倍角公式求得sing+勺.

【详解】（1）因为力行，所以cos2-Gsin±=0,tan2=且，

2223

因为X£(0,7U),—G(0,—),所以土二—X=—

22263

(2)因为==V5cos^+sin^=2sin(]+]),

答案第121页，共22页

所以f(a)-2sin(y+=^-y—nsin(y+§)=，

所以sin(a+已于野品已仁+?一万］=-cos2(y+y)=2sin2(y+y)-l

(2)3分钟.

3

【分析】（1）以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为x轴，建立平面直

角坐标系先求出℃为终边的角为一2，接着利用三角函数的定义求出尸点纵坐标，

即可求解；

（2）解法一：用三角函数的性质求解Mf）=4sin］苧-力+6>8,可得到,距离地面超过

8m持续时间，即可求解；解法二：用三角函数的性质求解砌=4sin伊-3+6W8,即

可得到P距离地面不超过8m持续时间.

【详解】（1）以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为x轴，过圆心且垂

直于地面的直线为夕轴建立平面直角坐标系xOy.

答案第131页，共22页

X

以轴非负半轴为始边设。6为终边的角为,贝Ijsin6="^~,故0=_四

46

点P时刻所t转过的圆心-角为：/2冗冗三,

若f时刻时蚂蚁爬到圆环p点处，那么以X轴非负半轴为始边,

°°为终边的角为与-一，则P点纵坐标为4sin7171

-t—一

4646

兀兀

所以%（z）=4sin+6

46

71711

(2)解法1：+6>8»即sin—t一一>2,

46

所以驾舞<_t一一<_-24左z，解得±+81</<4+弘,后eZ,

64663

PQAO

所以在一周时间范围内，距离地面超过m持续时间为：(4+8衣)-§+w)=：分钟,

所以不超过8m的时间是8-g=3分钟一

33

解法二：A（Z）=4sin^-^7-—j+6<8BPsin^-^7-—^j<—,

所以空我热-t—<一2瞰k&，解得4+8%<f（生+8%,%eZ

64663

答案第141页，共22页

在一周内，P距离地面不超过8m持续时间为：（g+8,-（4+8%）=与分钟，

所以不超过8m时间是尘分钟.

3

21.（l）S=j

⑵（12,18]

【分析】（1）已知等式结合倍角公式和余弦定理，化简得COS8=L,可求