新教材数学高中必修一课时素养评价7-3-2-3正切函数的图象与性质

课时素养评价四十二正切函数的图象与性质(15分钟35分)1.(2020·大庆高一检测)与函数y=tanQUOTE的图象不相交的一条直线是 ()A.x=QUOTE B.x=QUOTEC.x=QUOTE D.x=QUOTE【解析】选C.由2x+QUOTE≠kπ+QUOTE,k∈Z,得x≠QUOTE+QUOTE,则当k=0时,x≠QUOTE,即x=QUOTE与函数图象不相交.【补偿训练】函数y=QUOTE的定义域是________.

【解析】由题意得1tanx≥0即tanx≤1结合图象可解得kπQUOTE<x≤QUOTE+kπ,k∈Z.答案:QUOTE(k∈Z)2.f(x)=tanQUOTE的最小正周期为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.π D.2π【解析】选B.方法一:函数y=tan(ωx+φ)的周期是T=QUOTE,直接套用公式,可得T=QUOTE=QUOTE.方法二:由诱导公式可得tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE,所以fQUOTE=f(x),所以周期为T=QUOTE.3.当x∈QUOTE时,函数y=tan|x|的图象 ()A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于x轴对称D.无法确定【解析】选B.函数y=tan|x|,x∈QUOTE是偶函数,其图象关于y轴对称.4.已知函数f(x)=tanωx在QUOTE上单调递减,则ω的取值范围是()A.0<ω≤1 B.1≤ω<0C.2≤ω<0 D.0<ω≤QUOTE【解析】选B.由f(x)在QUOTE上单调递减知:ω<0,且QUOTE⊆QUOTE,因此QUOTE≥QUOTE,解得1≤ω<0,故选B.5.函数f(x)=2tanx+m,x∈QUOTE有零点,则实数m的取值范围是________.

【解析】函数f(x)=2tanx+m有零点,即方程2tanx=m有解.因为x∈QUOTE,所以tanx∈[1,QUOTE],所以m∈[2,2QUOTE].答案:[2,2QUOTE]6.求函数y=tanQUOTE的定义域、周期及单调区间.【解析】由QUOTExQUOTE≠QUOTE+kπ,k∈Z,得x≠QUOTE+2kπ,k∈Z,所以函数y=tanQUOTE的定义域为QUOTE.T=QUOTE=2π,所以函数y=tanQUOTE的周期为2π.由QUOTE+kπ<QUOTExQUOTE<QUOTE+kπ,k∈Z,得QUOTE+2kπ<x<QUOTE+2kπ,k∈Z.所以函数y=tanQUOTE的单调递增区间为QUOTE(k∈Z).(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知A为锐角,且tanA=QUOTE,那么下列判断正确的是 ()A.0°<A<30°B.30°<A<45°C.45°<A<60°D.60°<A<90°【解析】选B.由题知,QUOTE<QUOTE<1,即tan30°<tanA<tan45°.由正切函数随锐角的增大而增大,得30°<A<45°.2.函数f(x)=tanQUOTE与函数g(x)=sinQUOTE2x的最小正周期相同,则ω= ()A.±1 B.1 C.±2 D.2【解析】选A.g(x)的最小正周期为π,则QUOTE=π,得ω=±1.3.已知函数f(x)=x+tanx+1,若f(a)=2,则f(a)= ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选A.设g(x)=x+tanx,显然g(x)为奇函数.因为f(a)=g(a)+1=2,所以g(a)=1,所以f(a)=g(a)+1=g(a)+1=0.【补偿训练】函数y=QUOTE ()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数【解析】选A.因为1+cosx≠0,即cosx≠1,得x≠2kπ+π,k∈Z.又tanx中x≠kπ+QUOTE,k∈Z,所以函数y=QUOTE的定义域关于(0,0)对称.令f(x)=QUOTE,则f(x)=QUOTE=f(x),所以f(x)为奇函数.4.(2020·长治高一检测)函数y=tanQUOTE的图象 ()A.关于原点对称B.关于点QUOTE对称C.关于直线x=QUOTE对称D.关于点QUOTE对称【解析】选D.函数y=tanQUOTE中,令2x+QUOTE=QUOTE,k∈Z;解得x=QUOTEQUOTE,k∈Z;令k=1,得x=QUOTE,所以y=tanQUOTE的图象关于点QUOTE对称,D正确.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列各式中正确的是 ()A.tan735°<tan800° B.tan1>tan2C.tanQUOTE<tanQUOTE D.tanQUOTE<tanQUOTE【解析】选ABD.因为tan735°=tan(735°720°)=tan15°,tan800°=tan(800°720°)=tan80°且0°<15°<80°<90°,正切函数在QUOTE上单调递增,所以tan735°<tan800°;tan1>tan0=0,tan2<0,所以tan1>tan2;因为QUOTE<QUOTEπ<QUOTEπ<π,且正切函数在QUOTE上是单调递增的,所以tanQUOTE>tanQUOTE,因为tanQUOTE=tanQUOTE,且0<QUOTE<QUOTE<QUOTE,正切函数在QUOTE上单调递增,所以tanQUOTE<tanQUOTE,即tanQUOTEπ<tanQUOTE,故A、B、D正确.6.满足tanA>1的三角形的内角A的取值范围是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选BD.因为角A为三角形的内角,所以0<A<π.又tanA>1,结合正切曲线得A∈QUOTE∪QUOTE.【光速解题】因为角A是三角形的内角,所以0<A<π,结合正切函数在(0,π)上的图象即可得到答案.三、填空题(每小题5分,共10分)7.若函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得线段长为QUOTE,则fQUOTE的值是________.

【解题指南】f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得线段长为QUOTE,说明函数f(x)的周期为QUOTE.【解析】由题意知QUOTE=QUOTE,所以ω=4.所以fQUOTE=tanQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.若f(n)=tanQUOTE(n∈N*),则f(1)+f(2)+…+f(2020)=________.

【解析】因为f(n)=tanQUOTEn(n∈N*)的周期T=QUOTE=3,且f(1)=tanQUOTE=QUOTE,f(2)=tanQUOTE=QUOTE,f(3)=tanπ=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2020)=QUOTE×0+tanQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.函数y=Atan(ωx+φ)QUOTE的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为QUOTE,QUOTE,且过点(0,3),求此函数的解析式.【解析】因为T=QUOTEQUOTE=QUOTE,所以ω=QUOTE=QUOTE.将点QUOTE代入y=AtanQUOTE,得0=AtanQUOTE,得φ=QUOTE.将(0,3)代入y=AtanQUOTE,得A=3.所以y=3tanQUOTE.10.已知函数f(x)=x2+2xtanθ1,x∈[1,QUOTE],其中θ∈QUOTE.(1)当θ=QUOTE时,求函数f(x)的最大值与最小值.(2)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间[1,QUOTE]上是单调函数.【解析】(1)当θ=QUOTE时,f(x)=x2QUOTEx1=QUOTEQUOTE,x∈[1,QUOTE].所以当x=QUOTE时,f(x)取得最小值,为QUOTE;当x=1时,f(x)取得最大值,为QUOTE.(2)函数f(x)=(x+tanθ)21tan2θ的图象的对称轴为x=tanθ.因为y=f(x)在区间[1,QUOTE]上单调,所以tanθ≤1或tanθ≥QUOTE,即tanθ≥1或tanθ≤QUOTE.又θ∈QUOTE,所以θ的取值范围是QUOTE∪QUOTE.1.函数y=tanx+sinx|tanxsinx|在区间QUOTE内的图象是 ()【解析】选D.当QUOTE<x<π时,tanx<sinx,y=2tanx<0;当x=π时,y=0;当π<x<QUOTE时,tanx>sinx,y=2sinx<0.【补偿训练】函数y=sinx与y=tanx的图象在区间[0,2π]上有________个交点.

【解析】函数y=sinx与y=tanx在区间[0,2π]内的图象如图所示:观察图象可知,函数y=tanx与y=sinx在区间[0,2π]上有3个交点.答案:32.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tanQUOTEax在x∈QUOTE上是单调递增的?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.【解析