高中数学人教A版选修2-3作业2-3-2离散型随机变量的方差3

离散型随机变量的方差1.已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则①EX＝－eq\f(1,3)，②DX＝eq\f(23,27)，③P(X＝0)＝eq\f(1,3)，其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：EX＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故①正确；DX＝(－1＋eq\f(1,3))2×eq\f(1,2)＋(0＋eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＋(1＋eq\f(1,3))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故②不正确；③P(X＝0)＝eq\f(1,3)显然正确．答案：C2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次(每次罚球结果互不影响)的得分的数学期望是()A.1.4C.1.2 D.1.1解析：得分为变量ξ，则其概率分布为ξ012P0.090.420.49由Eξ＝0×0.09＋1×0.42＋2×0.49＝1.4.答案：A3.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－k，k＝0,1,2，…，n，且Eξ＝24，则Dξ的值为()A．8 B．12C.eq\f(2,9) D．16解析：由题意可知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,3)))，∴eq\f(2,3)n＝Eξ＝24.∴n＝36.又Dξ＝n×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,9)×36＝8.答案：A4.掷一枚质地均匀的骰子12次，则出现向上的一面是3的次数的均值和方差分别是()A．2和5 B．2和eq\f(5,3)C．4和eq\f(8,3) D.eq\f(21,6)和1解析：由题意知出现向上的一面为3的次数符合二项分布，掷12次骰子相当于做12次独立重复试验，且每次试验出现向上的一面为3的概率是eq\f(1,6)，∴Eξ＝12×eq\f(1,6)＝2，Dξ＝12×eq\f(1,6)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,3)，故选B.答案：B5.已知ξ～B(4，eq\f(1,3))，并且η＝2ξ＋3，则方差Dη＝()A.eq\f(32,9) B.eq\f(8,9)C.eq\f(43,9) D.eq\f(59,9)解析：Dξ＝4×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(8,9)，∵η＝2ξ＋3，∴Dη＝4·Dξ＝4×eq\f(8,9)＝eq\f(32,9).答案：A6.随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a、b、c成等差数列，若Eξ＝eq\f(1,3)，则Dξ的值是______．解析：∵Eξ＝－1×a＋0×b＋1×c＝c－a＝eq\f(1,3)，又a＋b＋c＝1，且2b＝a＋c，∴a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2).∴Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)7.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ＝________.解析：ξ的取值有0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,2),9)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,2),9)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,9)，所以Eξ＝0×eq\f(4,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(1,9)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8.随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，Eξ＝1，则Dξ＝________.解析：本题主要考查随机变量的分布列、期望、方差问题，考查考生对期望、方差公式的掌握情况．由题意设P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下ξ012Peq\f(1,5)peq\f(4,5)－p由Eξ＝1，可得p＝eq\f(3,5)，所以Dξ＝12×eq\f(1,5)＋02×eq\f(3,5)＋12×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)9.袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________．解析：X的分布列为X135Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)则EX＝1×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,2)＋5×eq\f(1,6)＝eq\f(8,3)，DX＝eq\f(17,9).答案：eq\f(17,9)10.袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出黑球不再放回去，直到取出白球为止，求取球次数X的期望与方差．解：由题意知，X的所有可能取值为1,2,3,4,5.P(X＝1)＝eq\f(1,5)＝0.2；P(X＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝0.2；P(X＝3)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝0.2；P(X＝4)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝0.2；P(X＝5)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,1)＝0.2.于是得到随机变量X的分布列为：X12345P0.20.20.20.20.2EX＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.11.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：ξ10123P0.30.30.20.2乙保护区：ξ2012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区的违规次数ξ1的均值和方差为：Eξ1＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；Dξ1＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数ξ2的均值和方差为：Eξ2＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；Dξ2＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为Eξ1＝Eξ2，Dξ1>Dξ2，所以两个保护区内每季度发生的违规事件平均次数是相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内发生的违规事件次数相对分散和波动．因此乙保护区的管理水平较高．12.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望EX及方差DX.解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1