6.1.26.1.3向量的加法与减法（原卷版）

6.1.2向量的加法6.1.3向量的减法TOC\o"13"\h\z\u题型1向量加法 3◆类型1求作图形 4◆类型2给定图形 6◆类型3化简 8题型2向量的减法 9◆类型1求作图形 9◆类型2给定图形 10◆类型3化简 11题型3利用已知向量表示未知向量 12题型4向量的模长 14◆类型1向量的模长 14◆类型2模长取值范围最值问题 15题型5利用向量证明几何问题 16题型6向量加减法的几何意义 18原理已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．图示结论||a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|【拓展】当a，b同向时|a+b|=|a|+|b|；当a，b反向时，|a+b|=|a||b|或|b||a|知识点一.向量加法的三角形法则知识点二.平行四边形法则原理已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．图示运算律知识点三.多个向量相加原理已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有图示运算律注意：对于零向量与任一向量a的和有a＋0=0+a=a知识点四.向量的减法定义（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．向量减法的三角形法则（1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．结论||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|知识点五.相反向量定义给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作a.性质（1）零向量的起点与终点相同，所以0=0；（2）任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a十（一a）=0（3）一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量题型1向量加法【方法总结】三角形法则的使用原则（1）用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量．简述为“加向量，首尾连；和向量，始点到终点”.（2）对于零向量与任一向量a的和，有a＋0=0+a=a.【方法总结】平行四边形法则的使用原则（1）平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量．（2）当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用.（3）向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.【方法总结】多个向量加法（1）解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.（2）运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.◆类型1求作图形【例题11】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a、b，用向量加法的平行四边形法则作出向量a+(1)

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【变式11】1.（2023·高一课时练习）已知向量a，b，c，求作a+（1）（2）【变式11】2．（2023下·高一课时练习）如图，在下列各小题中，已知向量a、b，分别用两种方法求作向量a+【变式11】3．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+【变式11】4.（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a、b，用向量加法的三角形法则作出向量a+(1)

(2)

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◆类型2给定图形【例题12】（2022·高一课时练习）如图所示，求：(1)a+(2)c+(3)e+(4)c+【变式12】1.（2023·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD//BC，AC与BD交于点O，则A．CD B．OC C．DA D．CO【变式12】2．（2023下·浙江·高一阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则OA+A．0 B．0 C．AE D．EA【变式12】3．（2022下·河南安阳·高一统考期末）如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则OC+A．OB B．OD C．OF D．OH【变式12】4.（2020·全国·高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：①AB＋DF＝；②AD＋FC＝；③AD＋BC＋FC＝.◆类型3化简【例题13】化简：（1）eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；（2）eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))；（3）eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).（4）eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；（5）(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)).【变式13】1.（2022·高一课时练习）已知a,b,c是非零向量，则a+c+b，b+A．5 B．4C．3 D．2【变式13】2．（2021·高一课时练习）设a=AB+①a//b；②a+b=a；③a+正确结论的序号是（

）A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤【变式13】3．(多选)（2021下·高一课时练习）（多选）设a→=ABA．a→∥C．a→+【变式13】4.（2021·高一课时练习）已知下列各式：①AB+BC+CA；②(AB+MB)+BO题型2向量的减法【方法总结】在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量：若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量◆类型1求作图形【例题21】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a-【变式21】1.（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量a、b，求作a-(1)

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【变式21】2．（2022下·安徽芜湖·高一校考期中）作出以下图形(1)如图1，已知向量a，b，(2)如图2，已知向量a，b，【变式21】3.（2022·高一课前预习）如图所示，O为△ABC内一点，OA=a，OB=b，【变式21】4.（2021·高一课时练习）如图，已知向量e1、e(1)-2e(2)2.5e◆类型2给定图形【例题22】（2022下·广东广州·高一华南师大附中校考期中）下列向量运算结果错误的是（

）A．a+bC．a=c【变式22】1.（2021上·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在五边形ABCDE中（如图），下列运算结果为AD的是（

）A．AB+BCC．BC→-【变式22】2.（多选）（2021下·海南·高一校考阶段练习）在五边形ABCDE中(如图)，下列运算结果为AD的是（

）A．AB+BCC．BC-DC◆类型3化简【例题23】（2023下·山东泰安·高一统考期中）下列向量的运算结果不正确的是（

）A．ABB．ABC．OAD．AB【变式23】1．（2022·高一课时练习）给出下列各式：①AB+CA+BC，②AB-CD+BD-A．4 B．3 C．2 D．1【变式23】2.（多选）（2023下·云南普洱·高一校考阶段练习）化简以下各式：①AB+BC+CA；②AB-AC+A．① B．② C．③ D．④【变式23】3.（多选）（2022下·河北衡水·高一河北武强中学校考期中）化简以下各式，结果为0的有（

）A．AB+BCC．OA-OD【变式23】4.（多选）（2022下·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）下列各式中结果为零向量的为（

）A．AB+BCC．AB-AC题型3利用已知向量表示未知向量【例题3】（2021下·安徽滁州·高一校考阶段练习）如图所示，解答下列各题：(1)用a，d，(2)用b，c表示(3)用a，b，(4)用c，d表示【变式31】1.（2021下·高一课时练习）若点M是△ABC中BC边上的中点，设AB=a,AC=【变式31】2.（2021下·高一课时练习）如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设MA=a,MB=b,则MC【变式31】3.（2021·高一课时练习）在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，求MN(用a，b表示).【变式31】4.（2021下·高一课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用AB，AC表示AD.题型4向量的模长◆类型1向量的模长【例题41】（2023·高一课时练习）在矩形ABCD中，AB=5,BC=2，则向量AB【变式41】1．（2023·全国·高一专题练习）若向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝．【变式41】2．（2021下·高一课时练习）已知正方形ABCD的边长为1，则AB+【变式41】3.（2022·全国·高一专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB=a，BC=(1)a+(2)a【变式41】4.（2020下·高一课时练习）已知非零向量a,b满足a=7+1，b【变式41】5．(多选)（2021·高一课时练习）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是（

）A．与AB相等的向量(不含AB)只有一个B．与AB的模相等的向量(不含AB)有9个C．BD的模是DA的模的3倍D．CB与DA不共线◆类型2模长取值范围最值问题【方法总结】|–|、||–||、||+||三者的大小关系（1）当向量与共线时，当两非零向量与同向时，|–|=||–||<||+||；当两非零向量与反向时，|–b|=||+||>||–||；当与中至少有一个为零向量时，|–b|=||–||=||+||．（2）当两非零向量与不共线时，如在△ABC中，AC=，AB=，则BC=AC–AB=–，根据三角形中任意两边之差总小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得|||–|||<|–|<||+||．综合可知，对任意的向量与都有|||–|||≤|–|≤||+||．只当与同向或与中至少有一个为零向量时|||–|||≤|–|中的等号成立；当与反向或与中至少有一个为零向量时|–|≤||+||中的等号成立．【例题42】（2021上·高一专题）已知|a|=6，|【变式42】1.（2021·高一课时练习）已知a=1，b=2，则【变式42】2．（2020·高一课时练习）填空：（1）若a,b满足a=2,b=3（2）当非零向量a,b满足时，a+b平分a与【变式42】3．（2021·高一课时练习）若向量a，b满足|a|=6，|b【变式42】4．如图所示，单位圆上有动点A，B，当OA-OB取得最大值时，A．0 B．-1 C．1 D．2题型5利用向量证明几何问题【方法总结】用向量证明几何问题的一般步骤：要把几何问题中的边转化成相应的向量.（2）通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.【例题5】（2023·高一单元测试）如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP+CQ=【变式51】1．（2022·高一课时练习）如图，已知M，N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：MN=【变式51】2.（2021·高一课时练习）如图，点O是▱ABCD的两条对角线的交点，AB=a，DA=b【变式51】3.（2023·全国·高一课堂例题）求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式51】4.（2021·高一课时练习）如图，已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：EA题型6向量加减法的几何意义【例题6】（2022·高一课前预习）在四边形ABCD中，若AB=DC，且|AC|=|A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不确定【变式61】1.（2023下·浙江温州·高一统考期末）在四边形ABCD中，已