吉林省四平市伊通满族自治县第五中学2024-2025学年九年级下学期综合测试数学试题（原卷版+解析版）

九年级学下学期综合测试数学试题一、选择题（每小题3分，共18分）1.下列成语描述的事件为必然事件的是（）A.旭日东升 B.空中楼阁 C.水中捞月 D.刻舟求剑2.一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体从左面看到的形状图是（）A B. C. D.3.若反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值可以是（）A. B. C. D.4.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为12米，与的夹角为，则高是（）A.米 B.米 C.米 D.米5.如图，是直径，点、在上，若，则的度数为（）A. B. C. D.6.如图，在中，为对角线上两点，连结并延长交于点E，连结并延长交于点F，若，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共15分）7.杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知动力和动力臂分别为和，阻力为，阻力臂为，则阻力关于阻力臂的函数表达式为_______．8.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是_____．（写出一个即可）9.物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为______．10.某圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为__________m．11.如图，一张扇形纸片，，，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为_______（结果保留）．三、解答题（本大题共11小题，共87分）12.计算：．13.某中学计划向全校学生招募“阳光小记者”．现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选．（1）若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是________；（2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法，求两位女生同时当选的概率．14.已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为．（1）试求该二次函数的表达式；（2）当时，直接写出取值范围．15.为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元．（1）求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率；（2）按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用．16.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．（1）在图①中，画出点D在边上，使；（2）在图②中，画出点F在边上，且；（3）在图③中，画出点M在边上、点N在边上，使．17.如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为．求该建筑物的高度．（精确到）【参考数据：，，．】18.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点A、B在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为，点F的坐标为．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n．（1）求k的值；（2）连接，当与的面积和为矩形面积的一半时，直接写出n的取值范围；（3）连接，当的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标．19.如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．（1）求证：为的切线；（2）连接．若，，求的长．20.（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．①如图2，若PQ＝5，求AP长．②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为．21.如图、在中，，，，点D是的中点，点P是边上的一点，以为直角边作等腰直角，使，点Q与点B在的同侧．（1）求的长；（2）当点Q在上时，求的面积；（3）当点Q在的平分线上时，求的长；（4）连接、，当时，直接写出的长．22.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，点P在该抛物线上，其横坐标为m，点M在y轴上，其纵坐标为，过点P作轴于点Q，以为边作矩形．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）当点Q与点M重合时，求的值；（3）当抛物线在矩形内部函数部分y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；（4）当时，设该抛物线与矩形的某一组邻边的交点（包括顶点）分别为B、C，直接写出这两个交点中最高点与最低点的纵坐标之差为1时m的值．

九年级学下学期综合测试数学试题一、选择题（每小题3分，共18分）1.下列成语描述的事件为必然事件的是（）A.旭日东升 B.空中楼阁 C.水中捞月 D.刻舟求剑【答案】A【解析】【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事是必然事件，一定不会发生的事是不可能事件，可能发生可能不发生的事，是随机事件，进行判断即可．【详解】解：A、旭日东升，是必然事件，符合题意；B、空中楼阁，是不可能事件，不符合题意；C、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；D、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意；故选A．2.一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体从左面看到的形状图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体．从左面看几何体有两列，一列有3个小正方体，第二列有2个正方体，画出图形即可得出答案．【详解】解：从左面看几何体有两列，每时一列有3个小正方体，第二列有2个正方体，即看到的形状图为：．故选：D．3.若反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意得出，解得，逐项判断即可得到答案．【详解】解：反比例函数的图象在第一、三象限，，，选项D符合题意，故选：D

．4.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，的长为12米，与的夹角为，则高是（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直接根据的正弦可得结论．【详解】中，，米，（米．故选：A．5.如图，是的直径，点、在上，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角．连接，根据直径性质得到，根据圆周角定理得到，即得．【详解】解：连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴．故选：C．6.如图，在中，为对角线上的两点，连结并延长交于点E，连结并延长交于点F，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，找出相似三角形得出比例线段是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据平行线判定可得，，根据相似三角形的对应边成比例求解即可．【详解】，设，在中，，，，，，，，．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）7.杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知动力和动力臂分别为和，阻力为，阻力臂为，则阻力关于阻力臂的函数表达式为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．【详解】解：由题意可得，，∴，即，故答案为：．8.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是_____．（写出一个即可）【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查了根的判别式．熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根是解题的关键．根据，求出c的取值范围，然后作答即可．【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∴c的值可以是0．故答案为：0．9.物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，设与交于点，过作于点，延长，交于点，由题意得，，，，则，，然后由相似三角形的性质即可求解，解题的关键掌握相似三角形的判定与性质．【详解】解：如图，设与交于点，过作于点，延长，交于点，由题意得：，，，，∴，，∴，∴，∴，∴小孔到火焰的像的距离为，故答案为：．10.某圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为__________m．【答案】10【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知易得：N点的坐标为和M点的坐标为，然后进行计算即可解答．【详解】解：由二次函数的图象可知，当时，，故N点的坐标为；∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴M点的坐标为，∴之间的距离为．故答案为：10．11.如图，一张扇形纸片，，，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为，则图中阴影部分面积为_______（结果保留）．【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质得到，进而得到图中阴影面积，即可求解，本题考查了扇形面积，解题的关键是：根据折叠的性质得到图中阴影面积．【详解】解：由折叠的性质可得，，，∴图中阴影面积，∵，∴为等边三角形，∴，∴，故答案为：．三、解答题（本大题共11小题，共87分）12.计算：．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【详解】解：．13.某中学计划向全校学生招募“阳光小记者”．现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选．（1）若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是________；（2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法，求两位女生同时当选的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的应用，树状图的应用，列出结果，进行解答，即可．（1）根据概率的定义，进行解答，即可；（2）画出树状图，列出所有等可能的结果，进行解答．【小问1详解】解：从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是．故答案：【小问2详解】解：根据题意，画出树状图，如下：由图可知，共有12种等可能的结果，丙、丁同时当选的有2种，∴两位女生同时当选的概率是．14.已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为．（1）试求该二次函数的表达式；（2）当时，直接写出的取值范围．【答案】（1）该二次函数的表达式；（2）的取值范围为．【解析】【分析】（）用待定系数法求出函数表达式；（）由二次函数的性质可得答案；此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【小问1详解】解：∵二次函数的图象经过点，顶点坐标为，∴设该二次函数的表达式，则，解得：，∴该二次函数的表达式；【小问2详解】解：由（）得：该二次函数的表达式，∵，∴当时，有最小值，当时，，；，，∴当时，有最大值，∴的取值范围为．15.为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元．（1）求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率；（2）按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用．【答案】（1）（2）8640元【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．（1）设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为，增长率的定义列式，求解即可，（2）根据增长率的定义及2024年的费用，列式计算即可．【小问1详解】解：设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为，根据题意，得，解得（不符合题意，舍去），答：2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为．【小问2详解】解：由题意，得（元）．答：按此年增长率，2025年用于购买图书的费用为8640元．16.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．（1）在图①中，画出点D在边上，使；（2）在图②中，画出点F在边上，且；（3）在图③中，画出点M在边上、点N在边上，使．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）取格点E，连接交于D，；（2）取格点D，E，连接交于F，证明，可得，即；（3）取格点D，M，连接交于N，连接，根据可证，可得，则，可证，根据斜边中线等于斜边的一半可证．【小问1详解】解：如图：D为所求；【小问2详解】解：如图：F为所求；【小问3详解】解：如图：，为所求；【点睛】本题考查无刻度直尺作图，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，斜边中线，三角函数，解题的关键是灵活运用全等三角形，相似三角形，斜边中线，三角函数构造图形求解是解题的关键．17.如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为．求该建筑物的高度．（精确到）【参考数据：，，．】【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是构造直角三角形，利用锐角三角函数求出边长．首先在中求出的高度，根据建筑物的高度即可求出结果．【详解】解：根据题意得：，，．在中，，，∴，∴．答：该建筑物的高度约为．18.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点A、B在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为，点F的坐标为．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n．（1）求k的值；（2）连接，当与的面积和为矩形面积的一半时，直接写出n的取值范围；（3）连接，当的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标．【答案】（1）6（2）（3）或【解析】【分析】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质以及三角形面积的计算，解题的关键是利用反比例函数上点的坐标特征求出值，再结合图形的性质和面积公式进行求解．（1）根据反比例函数上点的横纵坐标之积等于，列出关于的方程，进而求出值．（2）通过分析与的面积和与矩形面积的关系，结合点的位置确定的取值范围．（3）根据的面积是矩形面积的一半，设边上高的为h，求出高，分别讨论点在上完下方时和点在上完上方时，求解得到点的坐标．【小问1详解】解：点，点在反比例函数的图象上，，，，；【小问2详解】解：，，∵，∴当点P在E，F之间的反比例函数图象上时满足条件，；【小问3详解】解：，，，，，设边上高的为h，，点在的下方时，时，当时，，点的坐标为；点在的上方时，时，当时，，点的坐标为．19.如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．（1）求证：为的切线；（2）连接．若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，（1）如图，连接，，证明即可；（2）设，则，在中，，可得，再根据勾股定理可解决问题；熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．【小问1详解】如图，连接，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵是直径，D是的中点，∴，∴，∴，即，∵是半径，∴是的切线；【小问2详解】设，则，在中，，∴，解得，∴，∵，∴，∴．20.（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．①如图2，若PQ＝5，求AP长．②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为．【答案】（1）＝；（2）①1，②【解析】分析】（1）先证明△ADP≌△CDQ，即可求解；（2）①先证明△ADP∽△CDQ，可得＝＝＝，设AP＝x，则CQ＝2x，再由勾股定理，即可求解；②过点B作BE⊥DP交DP延长线于点E，BF⊥DQ于点F，根据△ADP∽△CDQ，可得∠APD=∠Q，＝＝＝，从而得到∠BPE=∠Q，再由角平分线的性质定理可得BE=BF，进而证得△BEP≌△BFQ，得到BP=BQ，从而得到，再由勾股定理，即可求解．【详解】解∶（1）在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，∵∠PDQ=90°，∴∠PDQ=∠ADC=90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP=∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ；故答案为∶=（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．∵∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．又∵∠A＝∠DCQ＝90°．∴△ADP∽△CDQ，∴＝＝＝，设AP＝x，则CQ＝2x，∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x．由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2＋BQ2＝PQ2，代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52，解得x＝1，即AP＝1．∴AP的长为1．②如图，过点B作BE⊥DP交DP延长线于点E，BF⊥DQ于点F，由①得：△ADP∽△CDQ，∴∠APD=∠Q，＝＝＝，∴CQ=2AP，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠Q，∵BD平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ，∴BE=BF，∵∠E=∠BFQ=90°，∴△BEP≌△BFQ，∴BP=BQ，设AP=m，则BQ=BP=4-m，CQ=2m，∴2+2m=4-m，解得：，即，∴【点睛】本题主要考查了正方形性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21.如图、在中，，，，点D是的中点，点P是边上的一点，以为直角边作等腰直角，使，点Q与点B在的同侧．（1）求的长；（2）当点Q在上时，求的面积；（3）当点Q在的平分线上时，求的长；（4）连接、，当时，直接写出的长．【答案】（1）10（2）（3）或（4）或【解析】【分析】（1）在中应用勾股定理，即可求解，（2）由，得到，设，由，即可求出，根据三角形面积公式，即可求解，（3）交于点，作，由，得到，根据角平分线性质定理得设，由，解得：，，，由，得到，分当在上时，当在上时，两种情况讨论即可求解，（4）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而得到，分当在上时，，当在上时，．本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线，解题的关键是：分情况讨论．【小问1详解】解：∵，，，∴，【小问2详解】解：当点落在上时，∵是中点，，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，设，则，∴，解得：，∴，【小问3详解】解：当点Q在的平分线上时，交于点，作，垂足为，∵，，∵，∴，，∵平分，设，则，∴，解得：，∴，，∵，，∴，∴，设，则，当在上时，，解得：，则，当在上时，，解得：，则，综上所述，的长为或，【小问4详解】解：∵，是中点，∴，∵是等腰直角三角形，∴，当在上时，，当在上时，，综上所述，或．22.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，点P在该抛物线上，其横坐标为m，点M在y轴上，其纵坐标为，过点P作轴于点Q，以为边作矩形．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）当点Q与点M重合时，求的值；（3）当抛物线在矩形内部的函