微考点3-1新高考中三角函数的图像与性质应用中的九大核心考点

微考点31新高考中三角函数的图象与性质应用中的九大核心考点考点一：三角函数识图问题【精选例题】【例1】函数的图象可能是（

）A． B．C． D．解析：因为定义域为，对于AB，，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故都不正确；对于C，时，，所以，所以，故C不正确；对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故D正确.故选：D.【例2】函数的图象可能是（

）A． B．

C．

D．

【答案】A【详解】函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，当时，，故,而，故此时，故排除B．故选：A．【例3】以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由图知，当时，，选项C，当时，，所以选项C错误；又由图知，函数图象关于轴对称，对于选项A，，，，所以选项A不正确；对于选项B，，所以，所以选项B满足题意；选项D，，，，所以选项D不正确.故选：B.【跟踪训练】1．函数的大致图象为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】函数定义域为，又因为，所以函数是奇函数，函数图象关于原点对称，故A和B错误；当时，则，故C错误.故选：D.2.函数的大致图象为（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【详解】因为，，所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，所以排除A，C选项；又，所以排除B选项，故选：D．3.函数在区间内的图象是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】当时，，此时函数为减函数，且，可排除CD；当时，，此时函数为增函数，且，可排除A.故选：B.考点二：由三角函数图象的基本性质求参数（解析式）解题思路：①一般先由最高点最低点求振幅；②再由周期性求的值；③再根据最值或五点法作图求【精选例题】【例1】设函数在的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A.B.C. D.解析：由图可得：函数图象过点，又它是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：，故的最小正周期为，故选：C.【例2】已知函数（，）的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由函数的图象可知，，则，．由，解得，则，故，.故选：B【例3】设函数的部分图象如图所示，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由图象可知：，结合五点法作图可得，故．如果，且，则，由正弦函数的对称性可知，所以.故选：C．【例4】如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，则下列命题正确的是（

）A．该简谐运动的初相为B．该简谐运动的频率为C．前6秒该质点的位移为D．当时，位移随着时间的增大而增大【答案】AD【详解】由图可知，∴故此时，再代入点可得，且在内，随着的增大而增大，此时，故，∴，对于A：∵，∴该简谐运动的初相为，故A正确；对于B：∵，∴，∴，∴B错误；对于C：当时，，∴C错误；对于D：时，，∴当，时，且，所以根据的单调性可得，位移随着时间的增大而增大，∴D正确．故选：AD．【例5】已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【详解】由图可知．连接，则根据三角函数图象的对称性，知阴影部分的面积等于平行四边形的面积，易知，所以，所以．因为函数的图象过点，且该点位于的递增区间，所以，即．因为，所以当时，，则，于是由，得函数的单调递增区间为，当时，函数的一个单调递增区间为，所以，由题意知，实数的取值范围是．故答案为：【例6】已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若与的图象关于对称，求不等式的解集．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由函数的图象，可得，所以，又由，所以，可得，所以，因为，即，解得，即，又因为，所以，所以，即函数的解析式为.（2）将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，设是函数的图象上的任意一点，点关于直线的对称点为，则，代入函数，可得，即，又由不等式，即，设，即，由余弦函数的性质，可得，即，解得或，即，即不等式的解集为.【跟踪训练】1.已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于直线对称C．函数在上单调递增D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象【答案】ABC【详解】由图可知，函数的周期，，由，解得，将代入函数，可得方程，解得，由，则，所以.A正确，对于B，由，则，根据正弦函数的对称性，可知直线是函数的对称轴，故B正确；对于C，由，则，根据正弦函数的单调性，函数在上单调递增，故C正确；对于D，由，该函数图象向左平移个单位可得新函数的解析式为，故D错误.故选：ABC.2．如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心C．直线为图象的一条对称轴 D．函数在上单调递增【答案】CD【详解】由图象知,∵,∴的一个最低点为,∵的最小正周期为,∴.∵,则,∴,即,∵,∴,∴.将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得：的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度得：，即.由得,,由得,

，∴在上单调递增,在上单调递减，∴当时,可知在上单调递增,在上单调递减，∴A错误；B项，∵,∴不是图象的一个对称中心,故B错误；C项，∵,∴直线是图象的一条对称轴，故C正确；D项，∵在上单调递增,C∴函数在上单调递增,故D正确.故选：CD.3．如图，已知函数（）的图象与轴的交点为，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则．【答案】【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，则，且，得，又，所以，所以，又函数图象过点，所以，由解得，故，所以.故答案为：4.已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．解析：由图可知，即，所以；由降零点可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.5.函数的部分图象如图所示，现将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（

）A．函数在区间单调递减B．C．点是函数图象的一个对称中心D．直线是函数的一条对称轴【答案】B【详解】由图象可知，又由于，所以，由图象可知，则，所以，则.又因为，所以，则，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为，对于选项A，当，则，函数先减后增，故选项A错误；对于选项B，，故选项B正确；对于选项C，，所以点不是函数图象的对称中心，故选项C错误；对于选项D，因为，所以直线不是函数的一条对称轴，故选项D错误，故选：B.考点三：三角函数图象的周期性的综合应用【精选例题】【例1】下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】对选项A：，函数定义域为，，函数为偶函数，排除；对选项B：，函数定义域为，，函数为偶函数，排除；对选项C：，函数定义域为，，函数为偶函数，排除；对选项D：，函数定义域为，，函数为奇函数，，满足条件；故选：D.【例2】记函数的最小正周期为．若，且的函数图象关于点中心对称，则A． B． C． D．解析：，的函数图象关于点中心对称，则有，且，所以，则；解得，由得，，故．【例3】已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以，，由题意得为最小值，为最大值，所以最小为半个周期，所以的最小值为.故选：B.【例4】函数是（

）A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【答案】D【详解】易知,则，故是偶函数，且故选：D【例5】函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，将函数图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，所以最小正周期为.故选：C.【例6】设函数，则的最小正周期（

）A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关【答案】D【详解】，对于，其最小正周期为，对于，其最小正周期为，所以对于任意，的最小正周期都为，对于，其最小正周期为，故当时，，其最小正周期为；当时，，其最小正周期为，所以的最小正周期与无关，但与有关.故选：D.【跟踪训练】1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】对于选项A：由于的周期为，故选项A不正确；对于选项B：画出的图象，可以看出以为最小正周期，且在区间上为减函数，故选项B正确；对于选项C：故由于的周期为，故选项C不正确；对于选项D：由于在区间上为增函数，故选项D不正确.故选：B2．在下列四个函数，①②（3）④中，最小正周期为π的所有函数为（

）A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④【答案】B【详解】①，为偶函数，不具有周期性，①不满足题意；②函数的图象是将的图象在轴下方的全部对称到轴上方，故函数的最小正周期为，故②满足题意；③函数的周期为，故③满足题意；④函数的周期为，故④满足题意.故选：B.3．下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以周期为，不符合题意；对于，，，所以周期不是，不合题意；对于，周期为，但是在区间单调递减，不合题意；对于，周期为，当时，，在区间单调递增，符合题意.故选：B.4．下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递增的函数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对选项A，B其周期为，选项C，D其周期为，故排除选项A，B；对于C：在上为单调递减，则在上为单调递增，故C正确；对于D：在上为单调递增，则在上为单调递减，故D错误.故选：C5．函数的最小正周期（

）A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关C．与无关，且与有关 D．与无关，与无关【答案】B【详解】解：函数，所以函数的关系式，是以为自变量的二次函数，所以函数的周期与有关，与无关.当时，，所以函数的最小正周期为，当时，，所以函数的最小正周期为．故选：B．6．已知函数的图象关于点中心对称，其最小正周期为T，且，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【详解】根据题意，，因为的图象关于点中心对称，分析可得，则，所以，则，解得，又因为最小正周期为，且，所以，则，所以当时，的值为．故选：D．考点四：三角函数图象的对称性、奇偶性的综合应用【精选例题】【例1】已知函数，则下列结论错误的是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由，得的最小正周期为，故选项A正确；因为，所以关于点对称，故选项B正确；因为，所以关于直线对称，故选项C正确；因为而，所以，故选项D错误.故选：D【例2】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是图象的一条对称轴，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，因为直线是图象的一条对称轴，所以，则，对比选项可知当时，．故选：B．【例3】已知函数的图象关于点对称，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，（），由于函数的图象关于点对称，故，即，由于，故，故，最小正周期为，由于，故中的一个为函数最大值，另一个为最小值，即的最小值为，故选：A【例4】将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则的一个对称中心为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍得到，令，解得，所以的对称中心为，对于A：令，解得，所以是的一个对称中心，A正确；对于B：令，解得，B错误；对于C：令，解得，C错误；对于D：令，解得，D错误，故选：A【例5】已知的图象关于对称，则函数的图象的一条对称轴是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，又图象关于对称，，可以求得，故，对称轴为，时即A项．故选：A．【例6】已知，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】，则.故.故选：A【例7】若为偶函数，则．【答案】.【详解】由函数，因为函数为偶函数，即，又由，所以，所以，解得.故答案为：.【跟踪训练】1．已知是常数，若函数图象的一条对称轴是直线．则的值不可能在区间（

）中．A． B． C． D．【答案】C【详解】由的图象可知函数的对称轴为：，因为函数图象的一条对称轴是直线，所以，所以，当，；当，；当，；故ABD正确，C错误.故选：C.2.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，又由为奇函数，所以，解得，因为，所以当时，取得最小值，最小值为.故选：.3．已知函数，则下列说法正确的是（

）A． B．函数f(x)的最小正周期为C．函数f(x)的对称轴方程为D．函数f(x)的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】ABC【详解】由对于选项A,由上分析可知，A项正确；对于选项B，因最小正周期,故B项正确；对于选项C，由，可知其对称轴可由求得，故函数的对称轴方程为，故C项正确；对于选项D，由的图象向左平移个单位长度得到而不是，故D项错误.故选：ABC.4．下列坐标所表示的点中，是函数图象的对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】令，解得，A选项，当时，，故对称中心为，A正确；B选项，当时，，故对称中心为，B正确；C选项，令，解得，不合要求，舍去，C错误；D选项，当时，，故对称中心为，D正确；故选：ABD5．下列关于函数的说法正确的是（

）A．定义域为 B．在区间上单调递增C．最小正周期是 D．图象关于直线对称【答案】ACD【详解】函数，定义域满足，解得，所以函数定义域为，故A正确；当，则，所以函数在区间上单调递增，则函数在区间上先减后增，故B不正确；函数的最小正周期，所以函数的最小正周期是，故C正确；函数的对称轴满足，所以，则函数图象关于直线对称，故D正确.故选：ACD.6．已知函数，曲线的一个对称中心为，一条对称轴为，则的最小值为.【答案】9【详解】因为为的一个对称中心，为的一条对称轴，，得，，，代入①得，，当，时，.故答案为：9.7．已知函数对任意实数x都有成立，且，则实数b的值为．【答案】或【详解】因为函数对任意实数x都有成立，所以函数关于对称，所以或，代入，解得或.故答案为：或8．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则【答案】【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得，因为为偶函数，即为对称轴，所以，化简得，因为，所以.故答案为：9．函数的最大值为，最小值为，若，则．【答案】【详解】因为，设，则，设，则，所以是上的奇函数，最大值为，最小值为，所以，由，得，故答案为：10．若函数为偶函数，则.【答案】或【详解】，，为偶函数，，，或.故答案为：或.考点五：三角函数图象的单调性【精选例题】【例1】已知函数，则下列结论正确的是（

）A．最小正期是 B．的图象关于对称C．在上单调递减 D．是奇函数【答案】AB【详解】解：对于A．的最小正周期为，故A正确；对于B．当时，，此时取得最小值，故B正确；对于C．当时，，由正弦函数的单调性可得函数在不单调，故C错误；对于D．因为，，所以函数既不是奇函数也不是偶函数，故D错误．故选：AB．【例2】已知函数，下面结论错误的是（

）A．函数的最小正周期B．是的图象的一个对称中心C．函数在区间上是减函数D．函数在区间上是减函数【答案】D【详解】由题可知周期，A选项正确；令得，当时，，即函数的一个对称中心为，B选项正确；，时，，所以函数在单调递减，故C选项正确；时，，所以函数在不上单调，故D选项错误.故选：D【例3】函数的单调递增区间为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】设，即，，单调递增，取单调增的部分，所以可得：，即，解得：答案：A.【例4】已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：已知，则，因为在上是减函数，故；因为幂函数在上是增函数，故，故．故选：A.【例5】已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．的最大值为2C．的图象关于直线对称D．在上单调递减【答案】BD【详解】由，所以不是的周期，A错；由，所以的图象不关于直线对称，C错；由，而，所以，B对；由在上递减，且，结合二次函数及复合函数的单调性知：在上单调递减，D对.故选：BD【跟踪训练】1．下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】对于A：因为在上单调递增，所以，故A正确；对于B：，，又在上单调递减，所以，所以，故B正确；对于C：因为在上单调递减，所以，故C错误；对于D：，，又，即，，即，所以，故D正确；故选：ABD2.已知点是函数的图象的一个对称中心，则（

）A．是奇函数B．，C．若在区间上有且仅有条对称轴，则D．若在区间上单调递减，则或【答案】BC【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心，所以，且①，B选项正确.则，所以，由于是奇数，所以是偶函数，A选项错误.C选项，，将代入得：，整理得，由于在区间上有且仅有条对称轴，所以，解得，由于，所以，对应，所以C选项正确.D选项，在区间上单调递减，，将代入得：，整理得，则，解得，而，所以或，时，，符合单调性，时，，不符合单调性，所以舍去所以，所以D选项错误.故选：BC3．已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（

）A．是奇函数B．的图象关于直线对称C．在上单调递增D．不等式的解集为【答案】AB【详解】A选项，，由于的定义域为R，且，故为奇函数，A正确；B选项，，故的图象关于直线对称，B正确；C选项，时，，其中在上不单调，故在上不单调，故C错误；D选项，，则，则，故，D错误.故选：AB4．已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为.【答案】【详解】由对恒成立知，，得到或，因为，所以或，当时，，此时，，，不合题意，舍，当时，，此时，，，符合题意，所以，所以由得，所以的单调递增区间是.故答案为：5．已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为2B．点是函数图象的一个对称中心C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称D．函数在区间上单调递增【答案】BC【详解】，故最小正周期为，A错误；，点是一个对称中心，B正确；向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；，单调递减，D错误.故选：BC.6．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最大值为2 B．函数的最小值为C．函数在上单调递减 D．函数在内有且只有一个零点【答案】BCD【详解】，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得最大值，为，当时，函数取得最小值，为，所以的最大值为，最小值为，故A错误，B正确；当时，单调递减，且，此时单调递增，所以函数在上单调递减，C正确；当时，先增后减且，易知在内有且仅有一个零点，且，数形结合可知在内有唯一根，即函数在内有且只有一个零点，D正确.故选：BCD.考点六：三角函数中范围问题【精选例题】【例1】已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数．当时，令，则，若在有且仅有3个零点和3条对称轴，则在有且仅有3个零点和3条对称轴，则，解得.故选：A．【例2】已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】若方程，则，即或，当时，，则的可能取值为，因为原方程在区间上恰有3个实根，所以，解得，即的取值范围是，故选：A.【例3】已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为，故可得，由，故可得，令，可得，则或或或，，因为在上有且仅有三个解，，解得．故选：D.【例4】已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，且，所以，由题意可得或，解得或，因为，所以或者，故选：D【例5】已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由在上单调，，故，而，则，又，如下图依次讨论对应为点四种情况，若，则，满足；若，则，满足；由，若，则，满足；若，则，不满足，其它情况均不符合；综上，B不可能，A、C、D可能.故选：B【例6】已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，正确的是（

）．A．的取值范围是B．的最小正周期可能是2C．在区间上可能恰有4个零点D．在区间上可能单调递增【答案】AC【详解】由，令，则，因为函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有四个整数符合，由，得，则，即，所以，故A正确；若函数的最小正周期为，则，故B错误；当时，，又，当时，有三个不同的零点；当，有四个不同的零点，则在区间上可能恰有4个零点,故C正确；当时，，因为，所以，而，所以在区间上不单调递增，故D错误，故选：AC.【跟踪训练】1．已知，，下列结论正确的是（

）A．若使成立的，则B．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则C．若在上恰有6个极值点，则的取值范围为D．存在，使得在上单调递减【答案】BC【详解】对于A，若，则，则，故A错误；对于B，将的图象向左平移个单位长度后得到，若所得图象关于轴对称，则，得，，所以，故B正确；对于C，由，得，若在上恰有6个极值点，则，解得，故C正确；对于D，由，得，因为，所以在上不可能单调递减，故D错误．故选：BC．2．已知函数，其中，且恒成立，在上单调，则的取值范围是.【答案】【详解】由题意知，，则，即，解得.由，，得，即，若函数在上单调递增，则，即，，解得，则不等式组无解；若函数在上单调递减，则，即，，解得，则，所以实数的取值范围为.故答案为：3．已知函数，的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为.【答案】【详解】因为的图象关于直线对称，所以，，解得，，因为在上单调，所以，即，解得，当时，，当时，，所以当时，单调递减，故的最大值为.故答案为：.4．若函数（）在区间上单调递增，则的取值范围.【答案】【详解】由，得，取，得，又由在区间上单调递增，则,即，又，所以的取值范围为.故答案为：.5.记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为_________.【详解】由于，故，且，故，，故的最小值为3.考点七：三角函数图象的平移问题解题思路：异名三角函数的平移：跟同名三角函数的平移基本上相同，区别在于需要根据诱导公式将其变为同名三角函数的平移问题，再按同名三角函数平移平移思路进行平移.【精选例题】【例1】为了得到函数的图象，可将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】D【详解】由已知，设将函数向左平移个单位，得，所以，解得，即将函数向左平移个单位长度可得，故选：D.【例2】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【详解】将函数向左平移个单位得：故选：B【例3】将函数,图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平行移动个单位长度，则得到的图象的解析式为.【答案】【详解】，图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得函数，再将图象上的点向左平移个单位，得函数.故答案为：【例4】把函数的图象向左平移个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，则的最小值是.【答案】.【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到.要使函数为奇函数，只需，所以.因为，所以当时，最小.故答案为：.【跟踪训练】1．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（

）A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【答案】A【详解】，将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到，故选：.2．要得到函数的图象，需（

）A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）C．将函数图象上所有点向左平移个单位．D．将函数图象上所有点向左平移个单位【答案】D【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A错误；将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，故B错误；将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误；D.将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确.故选：D.3．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的值可以是.【答案】（答案不唯一，只需满足即可）【详解】因为，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数，所以，，解得.故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）4.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则A.B.C.D.【详解】函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以.考点八：三角函数图象加绝对值问题解题思路：①分析奇偶性，周期性；②.去绝对值，写成分段函数；③画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值.【精选例题】【例1】关于函数有下列四个结论：①的图象关于原点对称；②在区间上单调递增；③的一个周期为；④在是有四个零点；其中所有正确结论的编号是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】A【详解】解：对于①，函数的定义域为R，且，所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故①正确；对于②，当时，，，所以，又因为在上单调递增，所以在上单调递增，故②正确；对于③，因为，所以不是函数的周期，故③不正确；对于④，在时，令，即，解得，共3个零点，故④不正确；综上得正确命题的编号为：①②，故选：A.【例2】已知函数，下列说法正确的有（

）A．为最大值为3 B．在上单调递增C．为周期函数 D．方程在上有三个实根【答案】CD【详解】对于A选项，由平方关系知时，，时，，所以，所以，A选项错误；对于B选项，，，则，故函数在上不是增函数，B选项错误；对于C选项，，故函数为周期函数，C选项正确；对于D选项，由，解得或或，所以，方程在上有三个实根，D选项正确．故选：CD．【例3】关于函数的叙述正确的是（

）A．是偶函数 B．在区间单调递減C．在有4个零点 D．是的一个周期【答案】ABD【详解】A.因为的定义域为，又，∴是偶函数，故A正确；B.当时，，在单调递减，故B正确；C.当时，令，得或，又在上为偶函数，∴在上的根为，0，，有3个零点，故C错误；D.，则是的一个周期，故D正确．故选：ABD.【跟踪训练】1．关于函数，下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为 B．的最大值为2C．在上单调递减 D．是的一条对称轴【答案】AD【详解】因为，所以，所以的最小正周期为，故A正确．当时取最大值，且最大值为，故B错误．当时，，所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增，故C错误．因为，所以是的一条对称轴，故D正确.故选：AD2．关于函数，下述结论正确的是（

）A．是偶函数 B．在区间单调递减C．在有5个零点 D．的最大值为【答案】ABD【详解】由函数，则，故函数是偶函数，故A选项正确；当，，所以函数在区间单调递减，故B选项正确；因为，所以，令

，，当时，，当时，有两个零点；当时，；因为函数为偶函数，所以在有3个零点，故C选项错误；因为，故的最大值为，故D选项正确.故选：ABD3.已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，①；②点是的一个对称中心；③直线是函数的一条对称轴；④函数的单调递增区间是.其中正确的（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④解析：因为函数的最小正周期为，所以，所以①正确；函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当时，对称轴方程为，故②不正确，③正确；令，解得，所以的单调递增区间是，故④正确.故选：D.考点九：三角函数图象的综合运用【精选例题】【例1】下面关于函数的叙述中，正确的是（

）①的最小正周期为；②的对称中心为；③的单调增区间为

④的对称轴为A．①③ B．②③④ C．②④ D．①③④【答案】D【详解】，①，函数的最小正周期，①正确；的定义域关于原点对称且为偶函数，的对称轴为∴②错误，④正确；当