5.3.3古典概型（原卷版）

5.3.3古典概型TOC\o"13"\h\z\u题型1古典概型的判断 3题型2古典概型的概率 4题型3有放回、无放回的概率模型的求法 5◆类型1无放回 5◆类型2有放回 6◆类型3有无放回 7题型4根据古典概型的概率求参数问题 8知识点一.古典概型的概念1.定义：一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等（简称为等可能性）则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.2.古典概型的判断标准：一个随机试验是否能归结为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性与等可能性．因此，并不是所有的试验都能归结为古典概型．下列三类试验都不是古典概型∶样本点个数有限，但非等可能；样本点个数无限，但等可能样本点个数无限，但非等可能.知识点二.古典概型的概率公式1.公式：古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到∶假设样本空间含有n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，因此由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为1n包含有m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P（C）=mn注意：(1)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率.(2)计算古典概型概率的关键是求样本点总个数n和所求事件包含的样本点个数m.这种计算方式避免了大量重复试验，通过分析样本点的个数就可以计算随机事件发生的概率，而且得到的概率是精确值.说明∶注意一个样本点是某一次试验出现的结果，不是几次试验的结果，即保证m，n均为等可能样本点的个数.2.从集合的角度理解古典概型的概率计算公式用集合的观点来考察事件C的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件C与样本点的关系，有利于理解公式P（C）=mn把一次试验中等可能出现的n个样本点组成一个集合I，其中每一个样本点就是I中的一个元素，把含m个样本点的事件C看作含有m个元素的集合，则集合C是集合I的一个子集，故有P（C）=mn知识点三.较复杂的古典概型问题设事件A，B是Ω中的两个事件，如图所示，设样本空间Ω的样本点总数为n，事件A，B包含的样本点的个数分别为m1，m2，事件A∩B包含的样本点数为m，易知A∪B中包含的样本点数为m1+m2m,注意：1.P（A）=事件A包含的样本点的个数Ω2.P（AB）=AB中包含的样本点的个数Ω中包含的样本点的个数3.P（A＋B）==A+B中包含的样本点的个数Ω中包含的样本点的个数=注意：设A，B是Ω的两个事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB），这就是概率的一般加法公式，该公式也适合A，B为互斥事件的情况，因为P（AB）=0。题型1古典概型的判断【方法总结】古典概型的判断1.有限性∶判断试验的样本空间包含的样本点是否是有限个，若样本点无限个，即不可数，则不是古典概型.2.等可能性∶考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则不是古典概型.只有同时具备了上述两个特征，才是古典概型.【例题1】（2023下·新疆·高一校考期末）下列实验中，是古典概型的有（

）A．某人射击中靶或不中靶B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C．四名同学用抽签法选一人参加会议D．从区间1,10上任取一个实数，求取到1的概率【变式11】1．（2022·高一课时练习）下列试验是古典概型的是（

）A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽【变式11】2．（多选）（2023上·高一课时练习）下列试验不是古典概型的是（

）A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次掷出正面为止【变式11】3．（多选）（2022上·高一课时练习）下列是古典概型的有（

）A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B．同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【变式11】4．（2022上·高一课时练习）下列关于古典概型的说法正确的是（

）①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)=kA．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④题型2古典概型的概率【方法总结】应用公式计算概率的步骤（1）判断试验是否是古典概型；（2）求出试验的样本空间包含的样本点总数n；（3）求出事件A所包含的样本点个数m；（4）代入公式∶P（A）=mn【例题2】（2023上·云南昆明·高一校考期中）袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中1个红球、1个黄球、2个蓝球．从中任取2个小球，则这两个小球的颜色不同的概率为（

）A．13 B．23 C．1【变式21】1．（2020下·北京通州·高一统考期末）甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是（

）A．16 B．13 C．1【变式21】2．（2023下·广东广州·高一统考期末）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（

）A．在有放回简单随机抽样方式下，PB．在不放回简单随机抽样方式下，PC．在按性别等比例分层抽样方式下，PD．在按性别等比例分层抽样方式下，P【变式21】3．（2024上·辽宁朝阳·高一统考期末）从2,4,5,7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是.【变式21】4．（2023上·浙江·高一阶段练习）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算x-4，则其结果恰为2的概率是．题型3有放回、无放回的概率模型的求法◆类型1无放回【例题31】（2023下·江苏南京·高一南京市江宁高级中学校联考期末）从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为（

）A．13 B．316 C．5【变式31】1．（2020下·天津滨海新·高一校考期末）袋中有大小相同，质地均匀的2个红球和3个黄球，从中无放回的先后取两个球，取到红球的概率为（

）A．110 B．12 C．7【变式31】2．（2023下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红色球、2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率为.【变式31】3．（2020下·辽宁阜新·高一校考阶段练习）某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对x,y（1）写出这个试验的所有结果；（2）求“第一次取出的小球上的标号为2”的概率.【变式31】4．（2021下·河北张家口·高一统考期末）已知袋子内装有大小质地完全相同的小球，其中2个红球，m个黄球，1个白球，若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为15（1）求m的值；（2）若从中不放回地随机取出两个小球，求只有一个黄球的概率.◆类型2有放回【例题32】（2022·高一课时练习）现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入一个盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“1”，一张为“2”的概率是（

）A．23 B．13 C．2【变式32】1．（2023下·天津河西·高一统考期末）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6.(1)若从袋中随机抽取1个球，求取出的球编号为质数的概率；(2)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(3)若一次从袋中随机抽取3个球，求取出的球最大编号为4的概率.【变式32】2．（2021上·四川·高一校联考开学考试）学校为庆祝建党100周年，举行了班级合唱比赛，歌曲有：《中国梦，我们的梦》，《国家》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．(1)《中国梦，我们的梦》被（1）班班长抽中的概率是______．(2)试用树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出（1）班和（2）班抽中不同歌曲的概率．【变式32】3．（2022下·河南濮阳·高一统考期末）一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”，分别计算PA，PB，【变式32】4．（2021下·河南·高一校联考阶段练习）个袋子中装有5个形状､大小完全相同的球，其中红球1个､白球3个､黑球1个，现在从袋子中抽取球，每次随机取出一个，抽取这些球的时候，无法看到球的颜色．（1）现从袋子中无放回地取球两次，求取出的球一个红色一个白色的概率；（2）现在有放回地取球两次，规定取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，取出一个黑球记-1分，求取出两球后得分之和为3分的概率．◆类型3有无放回【例题33】（2023下·天津西青·高一统考期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（

）A．14，12 B．12，16 C．14，【变式33】1．（2023下·广东广州·高一统考期末）在一个盒子中有5个大小质地完全相同的球，其中蓝球、红球各2个，黄球1个，从中随机摸出2个球.(1)若采用有放回简单随机抽样，求恰好摸到一个红球的概率；(2)若采用无放回简单随机抽样，求取出的球颜色相同的概率.【变式33】2．（2023·高一课时练习）从一个装有2黄2绿的袋子里，(1)有放回的摸球两次,两次摸到的都是绿球的概率是多少？(2)不放回的摸球两次,两次摸到的都是绿球的概率是多少？【变式33】3．（2022·高一课时练习）班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下两种方案可供选择：方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品．(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点；(2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．【变式33】4.（2023下·北京通州·高一统考期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个．(1)从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；(2)从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；(3)若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．题型4根据古典概型的概率求参数问题【例题4】（2023下·重庆·高一统考期末）在一个不透明的袋中有4个红球和n个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为89，则n=A．1 B．2 C．3 D．4【变式41】1（2022下·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第四中学校考期末）从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n=A．28 B．14 C．10 D．8【变式41】2．（2022下·北京朝阳·高一统考期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从