2022-2023学年广东省汕头市澄海区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

2022-2023学年广东省汕头市澄海区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列图案中，是中心对称图形的是（）

2.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现，摸出

红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）

A.4B.5C.8D.12

3.一元二次方程/一版一1=0根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个实数根D.没有实数根

4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=（%-1A+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所

得的抛物线为（）

A.y=(%—2/—2B.y=(%—2)2+4C.y=x2+1D.y=x2—1

5.如图，若抛物线y=x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,则抛物线与x

轴的另一个交点坐标为（）

A.(1,0)

B.(2,0)

C.(3,0)

D.(4,0)

6.已知2是关于x的方程炉+mx-3m=。的一个根，则这个方程的另一个根为（)

A.—6B.6-3D.3

7.如图，已知O。是△48。的外接圆，A3是O。的直径，C。是O。的弦，若

乙BCD=35。，贝亚4BD等于（）

A.35°

B.45°

C.55°

D.65°

8.如图，在RtAABC中，ZC=90",/.BAC=30°,BC=3,ABC

绕点A逆时针旋转90。得到连接BB',贝UBB'的长为（）

A.6

B.10

C.372

D.672

9.如图，在△4BC中，Z.B=40°,将AaBC绕着点A顺时针旋转后，得到△口

4B'C',点C'在BC上，且AB7/BC,贝此。的度数为（）

A.80°

C.60°

D.40°

10.如图，将半径为1,圆心角为120。的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点。

的对应点。落在弧AB上，点B的对应点为C,连接BC,则图中C。、BC和弧3。围

成的封闭图形面积是（）

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.一元二次方程一％=o的根为.

12.把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为____度时，旋转后

的五角星能与自身重合.

13.已知抛物线的顶点坐标是(2,-3),且与y轴的交点坐标为(0,5),则该抛物线的解析式为

14.如图，圆形铁片与直角三角尺和直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆

心为。，三角尺的直角顶点C落在直尺的5aw处，铁片与直尺的唯一公共点A

落在直尺的9cm处，则圆形铁片的半径是cm.

15.如图，在Rt△48c中，4c=90°,AC=8cm,BC=6cm,现有动点尸

从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点。从点C出发，沿线段向点

B方向运动，如果点P的速度是Icm/s,点。的速度是2c6/s.P、Q两点同

时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动.设运动时间为f

秒.当t=s时，平分AABC的面积.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题8分)

用配方法解方程：2/-2x-1=0.

17.(本小题8分)

已知抛物线y=x2—(m—l)x+2m—3.

(1)当zn=。时，请判断并说明点(3,10)是否在该抛物线上；

(2)当爪=3时，求该抛物线的对称轴及顶点坐标.

18.(本小题8分)

有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗

均匀.

(1)随机抽取一张卡片，求抽到数字是偶数的概率；

(2)随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两次抽到数

字的和为奇数的概率.

19.(本小题9分)

某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干

又长出同样数目的小分支.若主干、支干和小分支的总数是91,求这种植物每个支干长出的小分支个数是

多少？

20.(本小题9分)

如图，在A/IBC中，AB=BC,将AABC绕顶点B逆时针旋转a到△a/Q的位置，A8与4的相交于点

D,AC与&G、分别交于点E、F.

(1)求证：ArD=CF-,

(2)当NC=a时，判断四边形&BCE的形状，并说明理由.

21.(本小题9分)

某种产品的成本是每件10元，试销售阶段每件产品的销售价双元)与日销售量y(件)之间的关系如下表所

示.已知y是龙的一次函数.

%/元152030・・・

y/件252010・・・

(1)若每日的销售利润是176元，求每件产品的销售价；

(2)要使每日获得最大销售利润，每件产品的销售价应定为多少？此时每日的销售利润是多少？

22.(本小题12分)

如图，已知以心△ABC的直角边AC为直径作。。交斜边于点E,连接E。并延长交的延长线于点

D,连接AD,点尸为的中点，连接EF.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若O。的半径为6,CD=8,求A3的长.

23.(本小题12分)

如图：已知直线/：丫=一2%+2与苫轴、y轴分别相交于A、8两点，抛物线y=-/+6%+c经过点8,

(1)求该抛物线的解析式；

(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设点M的横坐标为形，四

边形。的面积为S,求S与机的函数表达式，并求出S的最大值；

(3)若点尸在平面内，点Q在直线AB上，平面内是否存在点尸使得以O,B,P,。为顶点的四边形是菱

形.若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A中图形不是中心对称图形，故不符合题意；

8中图形是中心对称图形，故符合题意；

C中图形不是中心对称图形，故不符合题意；

。中图形不是中心对称图形，故不符合题意；

故选：B.

中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图

形叫做中心对称图形.据此逐项判断即可.

本题考查中心对称图形，理解中心对称图形，找准对称中心是解答的关键.

2.【答案】C

【解析】解：由题意，摸出红球的概率为0.4,

•••袋子中红球的个数最有可能是20x0.4=8(个).

故选：C.

通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，说明摸出红球的概率为0.4,由此结合概率公式进行

计算求解即可.

本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动

的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个

事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键.

3.【答案】B

【解析】解:由题意，/=Z)2—4xlx(-1)=+4,

显然，由非负性可知4=匕2+4>0,

原方程有两个不相等的实数根，

故选：B.

首先列出根的判别式的表达式，然后判断代数式的符号即可得出结论.

本题考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的表达式，以及不同情况下对应根的情况是解题关

键.

4.【答案】A

【解析】解：将抛物线y=(久-1)2+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，

所得到的解析式为：y=(X-1一1产+1-3,

即为：y=(%—2)2—2,

故选：A.

根据函数的平移规律“上加下减，左加右减”进行求解即可.

本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解本题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线x=1,

•.•抛物线与x轴的一个交点坐标为(-1,0),

••・抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),

故选：C.

根据图象的对称性求解即可.

本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题，会利用抛物线的对称性求解是解答的关键.

6.【答案】A

【解析】解：把久=2代入方程/+mx-3m=。中，

得出：22+2m-3m=0,

解得：m=4,

二关于x的方程为：%2+4%-12=0,

*,,%1=2,%2=—6,

.•.这个方程的另一个根为-6,

故选：A.

把x=2代入方程/+m久一3m=0中，得出2?+2m—3nl=0,解得m=4,再解一元二次方程即可.

此题考查了一元二次方程的根，得出原方程是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解:••・是。。的直径，乙BCD=35。，

AAADB=90°,ABAD=Z-BCD=35°,

4ABD=90°-^BAD=90°-35°=55°,

故选：C.

根据圆周角定理得到NADB=90。，/.BAD=^BCD=35°,再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可.

本题考查圆周角定理、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握圆周角定理是解答的关键.

8.【答案】D

【解析】解：•••在Rt△力BC中，ZC=90°,A.BAC=30°,BC=3,

AB=2BC—6,

由旋转的性质可知，AyIBB'为等腰直角三角形，

BB'=lAB=6/2.

故选：D.

首先在ANBC中可结合“30。所对的直角边等于斜边的一半”求出A8,再结合旋转的性质可知△ABB'为等

腰直角三角形，从而求解即可.

本题考查直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质，掌握直角三角形中的“斜中

半”定理，熟练运用旋转的性质是解题关键.

9.【答案】9

【解析】解：由旋转的性质：AC=AC,zC=乙ACE,=NB=40°,

•.•点C'在上，

zC=/.AC'C,

•••4B'C'C=2ZC,

•:AB'I〔BC,Z-B'=40°,

NB'C'C=180°-40°=140°,

即：2“=140。，

ZC=70°,

故选：B.

首先根据旋转的性质确定NB'=NB=40。，LC=LAC'B',以及NC=N4C'C,乙B'C'C=24C,再结合平行

线的性质得NB'C'C=140。，即可求解.

本题考查旋转的性质，平行线的性质等，熟练运用旋转的性质推出=4C=4AC'B',以及NC=

^AC'C,是解答本题的关键.

10.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查旋转变换，扇形的面积公式，等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，属于中考常考题型.连接。。.首先证明。，D,C共线，可得图中8、BC和弧2。围成的封闭图形面

积=S40BC1S扇形ODB,由此计算即可.

【解答】

解：如图，连接0D.

由旋转可得：。4=。。=4。，

・•・△/。。是等边三角形，

Z.ADO=Z.AOD=60°,

•・•Z.ADC=Z.AOB=120°,

・••Z.ADO+A.ADC=180°,

・・・。，D,C共线，

•・.OB=1,4DOB=60°,乙OCB=30°,

•••BC=V-3>

二图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积=SXOBC_S扇的仙=/X1x—空%=¥—3

故选8.

11.【答案】%1=0,叼=等

【解析】解：因式分解得：x(V~2x—1)=0,

/.%=0或—1=0,

=0，%2=

故答案为：K1=0,%2=圣

直接运用因式分解法求解即可.

本题考查解一元二次方程，掌握并灵活选择适当的求解方法是解题关键.

12.【答案】72

【解析】解:该图形被平分成五部分，旋转72。的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为72。.

故答案为：72.

五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72。，并且圆具有旋转不变性，因而旋

转72。的整数倍，就可以与自身重合.

本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形

叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.

13.【答案】y=2x2-8x+5

【解析】解：由题意，设该抛物线解析式为y=a(x-2)2-3(a丰0),

将(0,5)代入得:5=矶0-2)2—3,

解得：a=2,

y=2(%—2)2—3=2x2—8x+5,

故答案为：y=2x2-8%+5.

根据已知信息直接设该抛物线的顶点式y=a(x-2产-3(a#0),然后代入(0,5),求解即可.

本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，一般包括三类：①一般式3/=a/+法+。((1彳())；②顶

点式y=a(x-八)2+々缶K0),其中顶点坐标为(h,k)；③交点式y=a(x-久i)Q-％2)(aK0)，其中无「

%2为抛物线与X轴交点的横坐标，灵活结合题意选择适当的二次函数表达式进行求解是解题关键.

14.【答案】4

【解析】解：由题意得，/。力C=^ACB=LOBC=90°,

四边形AO8C是矩形，

•••OA=OB,

四边形AOBC是正方形，

OB=AC=9—5=4(cm),

即圆形铁片的半径是4cM.

故答案为：4.

根据题意和切线的性质证明四边形AO8C是正方形，得到。B=4C,只要求出AC即可求解.

本题考查圆的切线的性质、矩形的判定、正方形的判定与性质，理解题意，熟练掌握圆的切线的性质以及

证明四边形A08C是正方形是解答的关键.

15.【答案】2

【解析】解：根据题意，AP=tcm,CQ=2tcm,

,•1BC=6cm,AC=8cm,

■.PC=(8—t)cm,点。到B点的时间为6+2=3(s),点P到C点的时间为8+1=8(s),

••・P、。两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动.

0<t<3,

•••PQ平分△ABC的面积,

1111

•0PCQ/S4ABC，即的Q-PC=:义和54。,

111

-x2tx(8-t)=-x-x6x8,

整理得产一81+12=0,

解得七=2,t2=6(舍去),

・•・当”2时，尸。平分△ABC的面积.

故答案为：2.

先表示出PC=(8—t)cm,CQ=2tcm,根据尸。平分△ABC的面积得到/的方程求解即可.

本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键，注意时间的取值范

围.

16.【答案】解：2%2—2%—1=0,

21c

X—X—-=0,

2—X=1-,

久一久

2+©)2=1+(1)2,

,1x23

【解析】利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答.

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键.

17.【答案】解:(1)不在，

当m=0时，y=*2+x—3,

当％=3时，y=9+3-3=9^10,

.•.点(3,10)不在该抛物线上；

(2)当m=3时，y=x2—2x+3=(x—l)2+2,

•••该抛物线的对称轴为直线久=1,顶点坐标为(1,2).

【解析】(1)将巾=0,久=3代入抛物线的解析式中，求得y值，若和点的纵坐标相等，就说点在抛物线

上，否则不在；

（2）将抛物线的解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求解即可.

本题考查二次函数的图象和性质，理解二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解答的

关键.

18.【答案】解：（1）随机抽取一张卡片共有4种情况，其中抽到数字为偶数的有2和4两种情况，

・•・抽到数字是偶数的概率P毛=:；

（2）列树状图为：

•234

/T\/Nzt\

234134124123

由树状图可知，所有等可能的情况共有12种，其中两次抽到的数字和为奇数的有8种情况，

两次抽到数字的和为奇数的概率P=^=|.

【解析】（1）根据概率公式直接解答；

（2）列出树状图，找到所有可能的结果数，再找到两次抽到的数字和为奇数的结果数，即可求出其概率.

本题考查直接根据概率公式求解，以及列表法或树状图法求事件的概率，正确列表或画出树状图是关键.

19.【答案】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x,

根据题意，可得l+x+/=91,

整理得%2+%—90=0,

解得勺=9,%2=-10（不合题意，舍去），

答：这种植物每个支干长出的小分支个数是9.

【解析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x,根据主干、支干和小分支的总数是91,即可得出关

于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

20.【答案】（1）证明：•••AB=BC,

•••Z.A=Z.C,

•.•将△ABC绕顶点B逆时针旋转戊到4a/G的位置，

Z.ABAr=Z.CBC1=a,Z.A=N&=Z.C,AB=ArB=BC,

在△&。3和4CFB中，

Z-DBA1=乙FBC

ArB=BC,

.Z-A1—Z-C

.*.△A±DB=ACFB{ASA),

•，.ArD=CF；

(2)解：•・,zC=a,

Z-A=Z-Ar=zQ—a—Z-CBCr,

ArE//BC,

(C=乙AED-a—乙4「

・••CE11A、B,

・•・四边形&BCE是平行四边形，

A^B=BC,

••・四边形Z/CE是菱形.

【解析】(1)先由等腰三角形的性质得到乙4=NC,再根据旋转性质得到乙4B4="BCI=a,乙4=

N/I=ZT,AB=ArB=BC,证明△AiDB之△CF8即可证得结论；

(2)利用平行线的判定与性质证明久力/BC,CE〃//得到四边形&BCE是平行四边形，再由菱形的判定可

得结论.

本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与

性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

21.【答案】解：(1)设一次函数的关系式为y=々％+5,

则fl5k+。=25

JL20fc+b=20

一次函数的关系式为y=—久+40,

根据题意，得(％-10)(-％+40)=176,即产一50比+576=0,

解得：%!=32,x2=18,

答：若每日的销售利润是176元，每件产品的销售价为32元或18元;

(2)设所获利润为W元，根据题意，

得加=(x-10)(-%+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225,

-1<0,

.•.当x=25时，W最大,最大值为225.

答：要使每日获得最大销售利润，每件产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润是225元.

【解析】(1)根据题意和待定系数法可得到y与x的关系式，再根据销售利润=单件利润x销售量列方程求

解即可；

(2)设所获利润为W元，根据销售利润=单件利润x销售量得到W与尤的函数关系式，利用二次函数的性质

求解即可.

本题考查二次函数的应用，涉及一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式

和方程，会利用二次函数的性质求解是解答的关键.

22.【答案】⑴证明：连接尸0,则由题意可知。尸为RM48C的中位线，

.­.0F//AB,

••,江是O。的直径，

•••CE1AE,

••・OF1CE,

由垂径定理知，0尸所在直线垂直平分CE,

FC=FE,0E=0C,

Z.FEC=Z.FCE,乙0EC=C0CE,

•・•乙ACB=90°,

即：Z0CE+ZFCE=90°,

・•.Z.OEC+Z.FEC=90°,

即：Z.FEO=90°,

又OE是半径，

・•.EF是。。的切线；

(2)解：・・・O。的半径为6,CD=8,乙ACB=90°,

・•.△OCD为直角三角形，0c=OE-6,CD—8,

OD=VOC2+CD2=10,ED=OD+OE=10+6=16,

由(1)知，△EFD为直角三角形，且FC=FE,

设FC=FE=x,贝UFO=FC+CD=x+8,

.•.由勾股定理得，EF2+ED2=FD2,

即：x2+162=(x+8)2,

解得：x=12,

即：FC=FE=12,

•・•点尸为BC的中点，

BC=2FC=24,

AC=20C=12,

.•.在Rt△力BC中，AB=yjBC2+AC2=1275.

【解析】(1)连接尸。，可根据三角形中位线的性质判断。F〃/IB,然后根据直径所对的圆周角是直角，可

得CE1AE,进而知OF1CE,然后根据垂径定理可得4FEC=乙FCE,乙OEC=乙OCE,再通过RtAABC

可知NOCE+NFCE=90°,因此可证EE为。。的切线；

(2)根据题意可先在RtZkOCD中求出。。，然后在RtAEFD中求出尸C,最终在Rt△4BC中求解A8即可.

本题考查切线的判定与性质，圆的基本性质，勾股定理，解三角形等，掌握切线的证明方法，熟练运用圆

中的基本性质是解题的关键.

23.【答案】解：(1)当x=0时，y=-2x。+2=2,

.••点8的坐标为B(0,2),

将B(0,2),C(2,0)代入抛物线解析式可得：｛1;：2b+c=0'

解得：1

•••该抛物线的解析式为：y=—/+乂+2；

(2)存在；

连接。