2021年高等数学下册试题题库及参考答案

高等数学下册试题库一、选取题（每题4分，共20分）1.已知A(1,0,2)，B(1,2,1)是空间两点，向量模是：（A）A）B）C）6D）9解={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=.2.设a={1,-1,3}，b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：（B）A）{-1,1,5}.B）{-1,-1,5}.C）{1,-1,5}.D）{-1,-1,6}.解(1)c=3a-2b=3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3.设a={1,-1,3}，b={2，1，-2}，求用原则基i，j，k表达向量c=a-b；（A）A）-i-2j+5kB）-i-j+3kC）-i-j+5kD）-2i-j+5k解c={-1,-2,5}=-i-2j+5k.4.求两平面和夹角是：（C）A）B）C）D）解由公式（6-21）有，因而，所求夹角．5.求平行于轴，且过点和平面方程．是：（D）A）2x+3y=5=0B）x-y+1=0C）x+y+1=0D）．解由于平面平行于轴，因而可设这平面方程为由于平面过、两点，因此有解得，以此代入所设方程并约去，便得到所求平面方程6．微分方程阶数是(D)。A．3B．4C．5D．27．微分方程通解中应含独立常数个数为(A)。A．3B．5C．4D．28．下列函数中，哪个是微分方程解(B)。A．B．C．D．9．微分方程一种特解是(B)。A．B．C．D．10．函数是下列哪个微分方程解(C)。A．B．C．D．11．是方程(A)，其中，为任意常数。A．通解B．特解C．是方程所有解D．上述都不对12．满足特解是(B)。A．B．C．D．13．微分方程一种特解具备形式(C)。A．B．C．D．14．下列微分方程中，(A)是二阶常系数齐次线性微分方程。A．B．C．D．15．微分方程满足初始条件特解为(A)。A．B．C．D．16．在下列函数中，可以是微分方程解函数是(C)。A．B．C．D．17．过点且切线斜率为曲线方程应满足关系是(C)。A．B．C．，D．，18．下列微分方程中，可分离变量是(B)。A．B．(,,是常数)C．D．19．方程通解是(C)。A．B．C．D．20．微分方程满足特解是(A)。A．B．C．D．21．微分方程通解是(B)。A．B．C．D．22．微分方程解为(B)。A．B．C．D．23．下列函数中，为微分方程通解是(B)。A．B．C．D．24．微分方程通解为(A)。A．B．C．D．25．微分方程通解是(D)。A．B．C．D．26．通解为(C)。A．B．C．D．27．按照微分方程通解定义，通解是(A)。A．B．C．D．一、单项选取题2．设函数在点处持续是函数在该点可偏导（D)(A)充分而不必要条件；(B)必要而不充分条件;(C)必要并且充分条件；(D)既不必要也不充分条件.3．函数在点处偏导数存在是函数在该点可微分(B).(A)充分而不必要条件；(B)必要而不充分条件;(C)必要并且充分条件；(D)既不必要也不充分条件.4．对于二元函数，下列结论对的是().C若，则必有且有;若在处和都存在，则在点处可微;若在处和存在且持续，则在点处可微;若和都存在，则..6.向量，则（A）(A)3(B)(C)(D)25．已知三点M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2），则=（C）(A)-1；(B)1；(C)0；(D)2；6．已知三点M（0，1，1），A（2，2，1），B（2，1，3），则=（B）(A) (B);(C)；(D)-2;7．设为园域，化积分为二次积分对的办法是_________.DA.B.C.D.8．设，变化积分顺序，则BA.B.C.D.二次积分可以写成___________.DA.B.C.D.10．设是由曲面及所围成空间区域，在柱面坐标系下将三重积分表达为三次积分，CA．B.C．D．11．设为面内直线段，其方程为，则（C）（A）（B）（C）0（D）12．设为面内直线段，其方程为，则（C）（A）（B）（C）0（D）13．设有级数,则是级数收敛（D）(A)充分条件；(B)充分必要条件；(C)既不充分也不必要条件；(D)必要条件;14．幂级数收径半径R=（D）(A)3(B)0(C)2(D)115．幂级数收敛半径（A）(A)1(B)0(C)2(D)316．若幂级数收敛半径为，则收敛半径为（A）(A)(B)(C)(D)无法求得17.若，则级数()DA.收敛且和为
B.收敛但和不一定为
C.发散D.也许收敛也也许发散18.若为正项级数，则()A.若，则收敛B.若收敛，则收敛BC.若，则也收敛D.若发散，则19.设幂级数在点处收敛，则该级数在点处()AA.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定 20.级数，则该级数()BA.是发散级数B.是绝对收敛级数C.是条件收敛级数D.也许收敛也也许发散二、填空题（每题4分，共20分）1.a∙b=（公式）答案∣a∣∙∣b∣cos()2.a=(ax，ay，az)，b=(bx，by，zbz)则a·b=（计算）答案axbx+ayby+azbz3.答案4.答案5.平面点法式方程是答案6.设，其定义域为()7.设，则()8.在点处可微分是在该点持续条件，在点处持续是在该点可微分条件.(充分，必要)9.在点偏导数及存在是在该点可微分条件.(必要)10.在横线上填上方程名称①方程名称是答案可分离变量微分方程；②方程名称是答案可分离变量微分方程；③方程名称是答案齐次方程；④方程名称是答案一阶线性微分方程；⑤方程名称是答案二阶常系数齐次线性微分方程.11.在空间直角坐标系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a，b，c)关于(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点各个对称点坐标.[解]：M(a，b，c)关于xOy平面对称点坐标为(a，b，－c)，M(a，b，c)关于yOz平面对称点坐标为(－a，b，c)，M(a，b，c)关于xOz平面对称点坐标为(a,－b，c)，M(a，b，c)关于x轴平面对称点坐标为(a,－b,－c)，M(a，b，c)关于y轴对称点坐标为(－a，b,－c)，M(a，b，c)关于z轴对称点坐标为(－a,－b，c).类似考虑P(2,－3，－1)即可.12.要使下列各式成立，矢量应满足什么条件？（1）（2）（3）（4）（5）[解]：（1）所在直线垂直时有；（2）同向时有（3）且反向时有（4）反向时有（5）同向，且时有13.下列情形中矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同始点；（2）把平行于某一平面一切单位矢量归结到共同始点；（3）把平行于某始终线一切矢量归结到共同始点；（4）把平行于某始终线一切单位矢量归结到共同始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2两点二、填空题1．设，则___1___.2．设，则=____0______.3．二重积分变量从直角坐标变换为极坐标公式是4．三重积分变量从直角坐标变换为柱面坐标公式是5．柱面坐标下体积元素6．设积分区域，且，则3。7．设由曲线所围成，则8．设积分区域为，9．设在[0，1]上持续，如果，则=_____9________.10．设为连接(1，0)与(0，1)两点直线段，则.11．设为连接(1，0)与(0，1)两点直线段，则012．等比级数当时，等比级数收敛.13．当____时，级数是收敛.14．当_________时,级数是绝对收敛.15．若，则，16．若，则17．设，则18．设，则19.积分值等于，设为园域，若，则221.设，其中，则三、是非题（每题4分，共20分）1.初等函数定义域是其自然定义域真子集.(ⅹ)2..(ⅹ)3..(ⅹ)4.对于任意实数，恒有成立.(ⅹ)5.是指数函数.(ⅹ)6.函数定义域是.(ⅹ)7..(√)8.如果对于任意实数，恒有，那么为常函数.(√)9.存在既为等差数列，又为等比数列数列.(√)10.指数函数是基本初等函数.(√)11..(√)12.函数为基本初等函数.(√)13..(ⅹ)14.是基本初等函数.(ⅹ)15.与是等价无穷小量.(ⅹ)16.与为等价无穷小量.(ⅹ)17.若函数在区间上单调递增，那么对于任意，恒有.(ⅹ)18.存在既为奇函数又为偶函数函数.(ⅹ)19.当奇函数在原点处有定义时，一定成立.(√)20.若偶函数持续，那么函数为奇函数.(√)21.若奇函数持续，那么函数为偶函数.(√)22.偶函数与奇函数乘积为奇函数.(√)23.奇函数与奇函数乘积为偶函数.(√)24.若函数为奇函数，那么一定成立.(√)25.若函数为偶函数，那么一定成立.(ⅹ)26..(ⅹ)27..(ⅹ)28..(ⅹ)29..(ⅹ)30.单调函数一定存在最大值与最小值.(ⅹ)31.单调函数一定存在反函数.(√)32.互为反函数两个函数图像关于直线对称.(√)33.若定义域为函数存在反函数，那么在区间上单调.(√)34..(√)35.对于任意，恒有.(√)36.函数三要素为：定义域，相应法则与值域.(√)37.若函数在其定义域内处处有切线，那么该函数在其定义域内处处可导.(ⅹ)38.空集是任意初等函数定义域真子集.(ⅹ)39.为初等函数.(ⅹ)40.对于任意，恒有.(ⅹ)41.左右导数处处存在函数，一定处处可导.(ⅹ)下列题（1．×；2．×；3．√；4．×；5．√）1．任意微分方程均有通解。(×)2．微分方程通解中包括了它所有解。(×)3．函数是微分方程解。(√)4．函数是微分方程解。(×)5．微分方程通解是(为任意常数)。(√)下列是非题（1．×；2．√；3．√；4．×；5．×）1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。()2．若，都是特解，且与线性无关，则通解可表为。()3．函数是微分方程解。()4．曲线在点处切线斜率等于该点横坐标平方，则曲线所满足微分方程是(是任意常数)。()5．微分方程，满足初始条件特解为。()是非题（1．×；2．√；）1．只要给出阶线性微分方程个特解，就能写出其通解。2．已知二阶线性齐次方程一种非零解，即可四、计算证明题（每题10分，共40分）1、判断积数收敛性解：由比值法，级数发散2．解：两边同除以，得：即3．解：两边同除以，得令则即得到，即此外也是方程解。4．解：得到即此外也是方程解。5．求方程通解.解：所给方程特性方程为所求通解为.6.求.解7．求方程通解.解所给方程特性方程为其根为因此原方程通解为8.证明极限不存在8)由于,因此极限不存在9.证明极限不存在9)设y2=kx，不等于定值，极限不存在10.计算，其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成闭区域.解：画出区域D.可把D当作是X--型区域：1x2，1yx.于是.注积分还可以写成11．=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1特解。解：=2xdx两边积分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex此外y=0也是原方程解，c=0时，y=0原方程通解为y=cex,x=0y=1时c=1特解为y=e.12.ydx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1特解。解：ydx=-(x+1)dydy=-dx两边积分：-=-ln|x+1|+ln|c|y=此外y=0,x=-1也是原方程解x=0,y=1时c=e特解：y=13.解：，=1.则因此此方程是恰当方程。凑微分，得：14．解：，.则.因此此方程为恰当方程。凑微分，得15.求.解：.16.求z=x23xyy2在点(1，2)处偏导数.解，.，.17.设z=x3y23xy3xy1，求、、和解，;，18.验证函数满足方程.证由于，因此，，，.因而.19.计算函数z=x2y+y2全微分.解由于，，因此dz=2xydx+(x2+2y)dy.20.函数z=3x2+4y2在点(0，0)处有极小值.当(x，y)=(0，0)时，z=0，而当(x，y)(0，0)时，z0.因而z=0是函数极小值.21.函数在点(0，0)处有极大值.当(x，y)=(0，0)时，z=0，而当(x，y)(0，0)时，z0.因而z=0是函数极大值.22.已知三角形ABC顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、C(2,4,7),求三角形ABC面积.解依照向量积定义,可知三角形ABC面积.由于=(2,2,2),=(1,2,4),因而=4i-6j+2k.于是.23.设有点A(1，2，3)和B(2，-1，4)，求线段AB垂直平分面方程.解由题意懂得，所求平面就是与A和B等距离点几何轨迹.设M(x，y，z)为所求平面上任一点，则有|AM|=|BM|，即.等式两边平方，然后化简得2x-6y+2z-7=0.这就是所求平面上点坐标所满足方程，而不在此平面上点坐标都不满足这个方程，因此这个方程就是所求平面方程.24.求过点(2，-3，0)且以n=(1，-2，3)为法线向量平面方程.解依照平面点法式方程，得所求平面方程为(x-2)-2(y+3)+3z=0，即x-2