山东省济宁市2024届高三下学期高考模拟考试数学试题含答案

济宁市2024年高考模拟考试数学试题2024.03注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为，且，，则（）A.14 B.16 C.18 D.204.展开式中的系数为（）A. B. C.30 D.605.已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（）A.4 B.6 C.8 D.106.已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.7.设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（）A. B.0 C.1 D.28.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限的交点为，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好B.已知随机变量服从二项分布，若，，则C.已知随机变量服从正态分布，若，则D已知随机事件，满足，，则10.已知函数，则下列说法中正确是（）A.若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则B.若，则函数在上的值域为C.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为D.若函数在上恰有一个零点，则11.如图，在棱长为2的正方体中，是棱BC的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.若是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为C.若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为D.若CN与平面所成的角为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合，，若，则实数的取值范围是______．13.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为______．14.已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．求角的大小．16.袋中装有大小相同4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．（1）求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；（2）若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．17.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，过点的平面分别与棱，，相交于，，点，其中，分别为棱，的中点．（1）求的值；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18.已知椭圆，直线与椭圆交于A、B两点，为坐标原点，且，，垂足为点．（1）求点的轨迹方程；（2）求面积的取值范围．19已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；（3）设，，数列的前项和为．证明：．济宁市2024年高考模拟考试数学试题2024.03注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将抛物线的方程化为标准方程，由此可求得该抛物线的焦点坐标.【详解】抛物线的标准方程为，则，可得，因此，抛物线焦点坐标为.故选：B.2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数.【详解】因为，所以，所以.

故选：B3.已知等差数列的前项和为，且，，则（）A.14 B.16 C.18 D.20【答案】D【解析】【分析】根据题意求出首项与公差，再根据等差数列前项和公式即可得解.【详解】设数列的公差为，由，，得，解得，所以.故选：D.4.的展开式中的系数为（）A. B. C.30 D.60【答案】B【解析】【分析】求得中含有的项，即可求得的系数.【详解】，则展开式中含有的项为，故的展开式中的系数为.故选：B.5.已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，从而得到直线恒过圆心，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】圆即，圆心为，半径，又直线，令，则，即直线恒过点，即直线恒过圆心，又直线与圆相交于，两点，所以，所以.故选：C6.已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可.【详解】因为，由正弦定理可得：，即，，又，，故；由，解得；由余弦定理，结合，可得，即，解得，当且仅当时取得等号；故的面积，当且仅当时取得等号.即的面积的最大值为.故选：A.7.设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由为奇函数得到函数的对称中心，由为偶函数得到函数的对称轴，进一步求得函数的周期，然后将与转化到已知区间求解即可.【详解】因为函数定义域为，为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，且，因为为偶函数，所以，所以函数关于直线轴对称，又因为，所以函数的周期为，因为当时，，所以，，所以.故选：C.8.已知双曲线左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限的交点为，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，为锐角，依题意可得，，再由，得到，又，利用勾股定理得到方程，即可求出，从而求出，最后求出离心率即可．【详解】设，为锐角，因为，，所以，，，，又，，，，，，，（负值舍去），，，，双曲线的离心率．故选：D．【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好B.已知随机变量服从二项分布，若，，则C.已知随机变量服从正态分布，若，则D.已知随机事件，满足，，则【答案】BC【解析】【分析】根据决定系数的性质、二项分布的期望和方程的计算公式、正态分布的性质以及条件概率的计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越差，故A错误；对B：随机变量服从二项分布，若，，则，解得，故B正确；对C：随机变量服从正态分布，若，则，故，C正确；对D：，，则，又，故，D错误.故选：BC.10.已知函数，则下列说法中正确的是（）A.若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则B.若，则函数在上的值域为C.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为D.若函数在上恰有一个零点，则【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的值域可判断B选项；利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项.【详解】对于A选项，若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则函数的最小正周期为，则，所以，，此时，，合乎题意，A对；对于B选项，若，则，当时，则，所以，，故当时，则函数在上的值域为，B错；对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数，所以，，解得，因为，当时，取最小值，C对；对于D选项，因为，当时，，因为函数在上恰有一个零点，则，解得，D对.故选：ACD.11.如图，在棱长为2的正方体中，是棱BC的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.若是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为C.若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为D.若CN与平面所成的角为，则【答案】AD【解析】【分析】对于A,根据线面平行可知，点到平面的距离为定值，继而可判定；对于B,根据题意画出截面图，计算即可；对于C，作出图形，根据题意建立方程组，解出即可；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得的表达式，进一步计算求范围即可.【详解】对于A,连接,因为,平面,平面,所以平面,又点是棱上的动点（含端点），所以点到平面的距离为定值，设为，则，为定值，故A正确；对于B,如图，四边形为过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形，因为平面平面,且平面平面,且平面平面,根据面面平行的判断定理知，，又因为为中点，所以为四等分点，则四边形的周长为：,故B错误；对于C,如图所示，连接,取的中点为,连接，设外接圆圆心为,外接球球心为,连接,则,在中，设其外接圆半径，由正弦定理知，，所以，即，依题易得,故,弦所对的圆周角相等，故四点共圆，则,设外接球半径为,过作,交于,则在中，,即,①在中，,即,②联立①②，解得,故外接球的表面积为,故C错误；对于D，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，则,则,设平面的法向量，则，令，则，故，则,,当时，，当时，，当且仅当时等号成立，又，综上可知，，故D正确，故选：AD.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合，，若，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】求解一元二次不等式解得集合，再根据集合的包含关系，列出不等式求解即可.【详解】集合，又，且，故可得，即，解得.故答案为：.13.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为______．【答案】11【解析】【分析】列举出所有的得分情况，再结合中位数的概念求答案即可.【详解】由题意得小明同学第一题得6分；第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、4分和6分；第二题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、2分和3分；由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8种情况，所以中位数为，故答案为：11.14.已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】原式转化为判断的交点问题，分和两种情况讨论结合指对函数对称性，导数的几何意义进而得解.【详解】令得，即，令，当时，即时，若两函数有且仅有一交点，由指数函数和对数函数特征可判断此交点必定落在这条直线上，且该点为两函数的公切点，设切点为，则，则有，即，解得，由得，，所以，解得，即，，即，；当时，即时，由指数函数和对数函数特征可判断与要有公切点，此切点必定落在这条直线上，设切点，，则有，即，解得，由得，所以，解得，即，，即，；由指数函数和对数函数特征可知：当时，与有3个交点；当时，与有1个交点；故时，即时，时，与有一交点.故答案为：【点睛】关键点点睛：当指对函数底数在时，图象难以表示出来，对于后续处理难度较大，题干信息相对较少，解题时能挖掘出指对函数的对称性，由导数的几何意义确定斜率值是解题关键，重点考查了分类讨论思想，函数与导数综合解决零点问题，值得深入研究！四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．求角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，结合正弦型函数单调性进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合正弦定理、两角差的正弦公式进行求解即可.【小问1详解】，令，，得，，，所以的单调递增区间为；【小问2详解】由（1）知，，又，∴，所以，由正弦定理及，得，，，∴，整理得，，又，∴，所以角B的大小为16.袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．（1）求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；（2）若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解；（2）X的可能取值为2，3，4，5，算出对应的概率即可得分布列以及数学期望.【小问1详解】设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A，记第i次（，2，3）摸到红球为事件，则事件，显然、、彼此互斥，由互斥事件概率的加法公式：因为每次摸到红球后放回，所以，，，所以，.【小问2详解】依题意，X的可能取值为2，3，4，5，，，，，所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为：X2345P.17.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，过点的平面分别与棱，，相交于，，点，其中，分别为棱，的中点．（1）求的值；（2）求平面与平面夹角余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【小问1详解】方法一：取BC中点Q，连接PQ交BG于点S，连接QD，SF．∵四边形为正方形，为中点，∴//，，故四边形为平行四边形，∴//；又∵平面，平面，∴//平面，∵平面，平面平面，∴//，∴；又∵为棱的中点，，∴点为△的重心；∴，故．方法二：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系：则，，，，，，所以，，，，设，，平面的一个法向量为所以，，即，解得，令，解得，故；又，平面，所以，解得，所以．【小问2详解】以A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系：则，，，，，，，所以，，，，，；设平面的一个法向量为，所以，即，解得令，则；另设平面的一个法向量为，由（1）知，∴，所以，即，解得，令，则设平面与平面夹角为，所以．即平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆，直线与椭圆交于A、B两点，为坐标原点，且，，垂足为点．（1）求点的轨迹方程；（2）求面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分直线l斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合韦达定理以及向量垂直的坐标表示即可求得P的轨迹方程；（2）分直线l斜率不存在和存在两种情况进行讨论，求出弦长的取值范围，结合面积公式即可求得答案.【小问1详解】①当直线l斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线l在y轴右侧，直线OA的方程为，由，解得，，所以，，所以，直线AB的方程为，此时．同理，当直线l在y轴左侧时，．②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，，，由消去y整理得，，∴，且，，又∵，∴即：，