2023年山东省济南市历城区中考数学二模试卷

第1页〔共1页〕2023年山东省济南市历城区中考数学二模试卷一、选择题〔本大题共12个小题，每题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1．〔4分〕在2，0，﹣2，，﹣这五个数中最小的数是〔〕A．0 B．﹣2 C． D．﹣2．〔4分〕“中国制造2025〞，是我国政府实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，到2025年中国迈入制造强国行列．在百度中输入“中国制造2023〞，搜索到相关结果约4980000个，将数字4980000用科学记数法表示为〔〕A．498×104 B．4.98×104 C．4.98×106 D．5×1063．〔4分〕如图，直线l1∥l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2等于〔〕A．56° B．36° C．44° D．46°4．〔4分〕以下代数运算正确的选项是〔〕A．x•x6=x6 B．〔x2〕3=x6 C．〔x+2〕2=x2+4 D．〔2x〕3=2x35．〔4分〕如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是〔〕A． B． C． D．6．〔4分〕如图图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是〔〕A． B． C． D．7．〔4分〕对于一组统计数据3，3，6，5，3．以下说法错误的选项是〔〕A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是68．〔4分〕如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．假设线段AB上有一个点P〔a，b〕，那么点P在A′B′上的对应点P′的坐标为〔〕A．〔a﹣2，b+3〕 B．〔a﹣2，b﹣3〕 C．〔a+2，b+3〕 D．〔a+2，b﹣3〕9．〔4分〕化简〔1﹣〕÷的结果是〔〕A．〔x+1〕2 B．〔x﹣1〕2 C． D．10．〔4分〕如图，菱形ABCD的周长为16，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，假设∠ADC=120°，那么OE的长为〔〕A． B．1 C． D．211．〔4分〕如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过A，B两点．假设点A的坐标为〔n，1〕，那么k的值为〔〕A． B． C． D．12．〔4分〕如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到以下推断：①该正六边形的边长为1；②当t=3时，机器人一定位于点O；③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点E；其中正确的有〔〕A．①④ B．①③ C．①②③ D．②③④二、填空题：〔本大题共6个小题，每题4分，共24分．〕13．〔4分〕把3a2﹣12分解因式为．14．〔4分〕假设3xnym与x4﹣nyn﹣1是同类项，那么m+n=．15．〔4分〕一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是．16．〔4分〕如图，点D〔0，3〕，O〔0，0〕，C〔4，0〕，B在⊙A上，BD是⊙A的一条弦．那么sin∠OBD=．17．〔4分〕如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．假设G是CD的中点，那么BC的长是．18．〔4分〕把多块大小不同的30°直角三角板如以下列图，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为〔0，1〕，∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，那么点B2023的坐标为．三、解答题：〔本大题共7个小题，共78分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕19．〔6分〕计算：〔﹣〕﹣2+||﹣〔π﹣3.14〕0﹣tan60°+．20．〔6分〕解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．〔6分〕：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，假设点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF．22．〔8分〕为响应习总书记“足球进校园〞的号召，某学校2023年在某商场购置甲、乙两种不同足球，购置甲种足球共花费2000元，购置乙种足球共花费1400元，购置甲种足球数量是购置乙种足球数量的2倍，且购置一个乙种足球比购置一个甲种足球多花20元．〔1〕求购置一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；〔2〕按照实际需要每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，购置的足球能够配备多少个班级？23．〔8分〕某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取局部男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．〔1〕根据给出的信息，补全两幅统计图；〔2〕该校九年级有600名男生，请估计成绩到达良好及以上等级的有多少名？〔3〕某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？24．〔10分〕如图，直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．〔1〕求证：∠PTA=∠B；〔2〕假设PT=TB=3，求图中阴影局部的面积．25．〔10分〕直线l经过A〔6，0〕和B〔0，12〕两点，且与直线y=x交于点C，点P〔m，0〕在x轴上运动．〔1〕求直线l的解析式；〔2〕过点P作l的平行线交直线y=x于点D，当m=3时，求△PCD的面积；〔3〕是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由．26．〔12分〕如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA〔或它们的延长线〕于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图①小芳同学得出的结论是DE=DF．〔1〕继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图②，小芳的结论是否成立？假设成立，加以证明；假设不成立，请说明理由．〔2〕再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图③，请写出DE与DF的数量关系，并加以证明．〔3〕连接EF，假设△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？27．〔12分〕如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A〔﹣1，0〕和点B，与y轴交于点C〔0，3〕．〔1〕求该二次函数的表达式；〔2〕过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；〔3〕在〔2〕的条件下，请解答以下问题：①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．

2023年山东省济南市历城区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12个小题，每题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1．〔4分〕在2，0，﹣2，，﹣这五个数中最小的数是〔〕A．0 B．﹣2 C． D．﹣【分析】实数大小比较的法那么：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣2＜﹣＜0＜＜2，∴2，0，﹣2，，﹣中，最小的数是﹣2．应选：B．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．〔4分〕“中国制造2025〞，是我国政府实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，到2025年中国迈入制造强国行列．在百度中输入“中国制造2023〞，搜索到相关结果约4980000个，将数字4980000用科学记数法表示为〔〕A．498×104 B．4.98×104 C．4.98×106 D．5×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：4980000=4.98×106，应选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．〔4分〕如图，直线l1∥l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2等于〔〕A．56° B．36° C．44° D．46°【分析】依据l1∥l2，即可得到∠1=∠3=44°，再根据l3⊥l4，可得∠2=90°﹣44°=46°．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1=∠3=44°，又∵l3⊥l4，∴∠2=90°﹣44°=46°，应选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．4．〔4分〕以下代数运算正确的选项是〔〕A．x•x6=x6 B．〔x2〕3=x6 C．〔x+2〕2=x2+4 D．〔2x〕3=2x3【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式的运算，然后选择正确选项．【解答】解：A、x•x6=x7，原式计算错误，故本选项错误；B、〔x2〕3=x6，原式计算正确，故本选项正确；C、〔x+2〕2=x2+4x+4，原式计算错误，故本选项错误；D、〔2x〕3=8x3，原式计算错误，故本选项错误．应选：B．【点评】此题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式等知识，解答此题的关键是掌握各知识点的运算法那么．5．〔4分〕如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是〔〕A． B． C． D．【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解；从左面看下面一个正方形，上面一个正方形，应选：A．【点评】此题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．6．〔4分〕如图图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是〔〕A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；应选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．7．〔4分〕对于一组统计数据3，3，6，5，3．以下说法错误的选项是〔〕A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是6【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，利用平均数和方差的定义可分别求出．【解答】解：A、这组数据中3都出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3，此选项正确；B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；C、S2=[〔3﹣4〕2+〔3﹣4〕2+〔6﹣4〕2+〔5﹣4〕2+〔3﹣4〕2]=1.6，故此选项正确；D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是3，故中位数为3，故此选项错误；应选：D．【点评】此题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与方差的定义．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．8．〔4分〕如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．假设线段AB上有一个点P〔a，b〕，那么点P在A′B′上的对应点P′的坐标为〔〕A．〔a﹣2，b+3〕 B．〔a﹣2，b﹣3〕 C．〔a+2，b+3〕 D．〔a+2，b﹣3〕【分析】根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，然后再确定a、b的值，进而可得答案．【解答】解：由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，那么P〔a﹣2，b+3〕应选：A．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．9．〔4分〕化简〔1﹣〕÷的结果是〔〕A．〔x+1〕2 B．〔x﹣1〕2 C． D．【分析】先对括号内的式子通分，然后再将除法转化为乘法即可解答此题．【解答】解：〔1﹣〕÷===〔x﹣1〕2，应选：B．【点评】此题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．10．〔4分〕如图，菱形ABCD的周长为16，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，假设∠ADC=120°，那么OE的长为〔〕A． B．1 C． D．2【分析】首先证明△ADB是等边三角形，再证明OE=OA即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=4，∵∠ADC=120°，CD∥AB，∴∠DAB=60°，∴∠OAE=∠DAB=30°，∴OE=OA，∵OA=AB•cos30°=2，∴OE=，应选：C．【点评】此题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握根本知识，属于中考常考题型．11．〔4分〕如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过A，B两点．假设点A的坐标为〔n，1〕，那么k的值为〔〕A． B． C． D．【分析】过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，通过证△AOC≌△ABD可得：OC=AD=1，AC=BD=n，可得B点坐标，根据反比例函数上点的坐标特征可求n的值，即求出k．【解答】解如图：过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D∵∠BAO=90°∴∠OAC+∠BAD=90°且∠BAD+∠ABD=90°∴∠ABD=∠CAO且∠D=∠ACO=90°，AO=AB∴△ACO≌△DAB∴AD=CO，BD=AC∵A〔n，1〕〔n＞0〕∴OC=AD=1，AC=BD=n．∴B〔1+n，1﹣n〕∵反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过A，B两点∴n×1=〔1+n〕〔1﹣n〕∴n=∴k=1×n=应选：A．【点评】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定，关键是用方程的思想解决问题．12．〔4分〕如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到以下推断：①该正六边形的边长为1；②当t=3时，机器人一定位于点O；③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点E；其中正确的有〔〕A．①④ B．①③ C．①②③ D．②③④【分析】根据图象起始位置猜想点B或F为起点，那么可以判断①正确，④错误．结合图象判断3≤t≤4图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．【解答】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F或B点，那么正六边形边长为1．故①正确；观察图象t在3﹣4之间时，图象具有对称性那么可知，机器人在OB或OF上，那么当t=3时，机器人距离点A距离为1个单位长度，机器人一定位于点O，故②正确；所有点中，只有点D到A距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F点或B点出发，当从B出发时，不经过点E，故④错误．应选：C．【点评】此题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势．二、填空题：〔本大题共6个小题，每题4分，共24分．〕13．〔4分〕把3a2﹣12分解因式为3〔a+2〕〔a﹣2〕．【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：3a2﹣12=3〔a2﹣4〕=3〔a+2〕〔a﹣2〕．故答案为：3〔a+2〕〔a﹣2〕．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．14．〔4分〕假设3xnym与x4﹣nyn﹣1是同类项，那么m+n=3．【分析】根据同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m、n的值，代入即可得出代数式的值．【解答】解：∵3xnym与x4﹣nyn﹣1是同类项，∴n=4﹣n，m=n﹣1，解得：m=1，n=2，故m+n=3．故答案为：3．【点评】此题考查了同类项的知识，掌握同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是解答此类题目的关键．15．〔4分〕一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是．【分析】直接利用概率公式计算．【解答】解：投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率==．故答案为．【点评】此题考查了概率公式：随机事件A的概率P〔A〕=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．16．〔4分〕如图，点D〔0，3〕，O〔0，0〕，C〔4，0〕，B在⊙A上，BD是⊙A的一条弦．那么sin∠OBD=．【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D〔0，3〕，C〔4，0〕，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD．【解答】解：∵D〔0，3〕，C〔4，0〕，∴OD=3，OC=4，∴CD=5，连接CD，∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故答案为：．【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义，是根底知识要熟练掌握．17．〔4分〕如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．假设G是CD的中点，那么BC的长是7．【分析】根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角〞证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，∴CG=DG=×8=4，在△DEG和△CFG中，，∴△DEG≌△CFG〔ASA〕，∴DE=CF，EG=FG，设DE=x，那么BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，在Rt△DEG中，EG==，∴EF=2，∵FH垂直平分BE，∴BF=EF，∴4+2x=2，解得x=3，∴AD=AE+DE=4+3=7，∴BC=AD=7．故答案为：7．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．18．〔4分〕把多块大小不同的30°直角三角板如以下列图，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为〔0，1〕，∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，那么点B2023的坐标为〔〔〕2023，0〕．【分析】根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B2023的坐标．【解答】解：由题意可得，OB=OA•tan60°=1×=，OB1=OB•tan60°==〔〕2=3，OB2=OB1•tan60°=〔〕3，…∵2023÷4=504…2，∴点B2023的坐标为〔〔〕2023，0〕[也可以为〔31009，0〕]，故答案为：〔〔〕2023，0〕〕．【点评】此题考查规律型：点的坐标，解答此题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．三、解答题：〔本大题共7个小题，共78分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕19．〔6分〕计算：〔﹣〕﹣2+||﹣〔π﹣3.14〕0﹣tan60°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简进而得出答案．【解答】解：原式=4+﹣﹣1﹣+2=3+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．〔6分〕解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣2x＜6，得：x＞﹣3，解不等式3〔x﹣2〕≤x﹣4，得：x≤1，将不等式解集表示在数轴如下：那么不等式组的解集为﹣3＜x≤1【点评】此题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是根底，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〞的原那么是解答此题的关键．21．〔6分〕：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，假设点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF．【分析】由矩形的性质得出OA=OC=OB=OD，证出OE=OF，由SAS证明△OBE≌△OCF，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∵点E是AO的中点，点F是OD的中点∴OE=OA，OF=OD，∴OE=OF，在△OBE和△OCF中，，∴△OBE≌△OCF〔SAS〕，∴BE=CF．【点评】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．22．〔8分〕为响应习总书记“足球进校园〞的号召，某学校2023年在某商场购置甲、乙两种不同足球，购置甲种足球共花费2000元，购置乙种足球共花费1400元，购置甲种足球数量是购置乙种足球数量的2倍，且购置一个乙种足球比购置一个甲种足球多花20元．〔1〕求购置一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；〔2〕按照实际需要每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，购置的足球能够配备多少个班级？【分析】〔1〕设购置一个甲种足球需x元，那么购置一个乙种足球需〔x+20〕元，根据购置甲种足球数量是购置乙种足球数量的2倍列出方程解答即可；〔2〕求出该校购置甲种足球与乙种足球的数量，再根据每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，即可求出购置的足球能够配备的班级个数．【解答】解：〔1〕设购置一个甲种足球需x元，那么购置一个乙种足球需〔x+20〕元，可得：=2×，解得：x=50，经检验x=50是原方程的解，答：购置一个甲种足球需50元，那么购置一个乙种足球需70元；〔2〕由〔1〕可知该校购置甲种足球==40个，购置乙种足球20个，∵每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，∴购置的足球能够配备20个班级．【点评】此题考查分式方程的应用，分析题意，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．23．〔8分〕某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取局部男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．〔1〕根据给出的信息，补全两幅统计图；〔2〕该校九年级有600名男生，请估计成绩到达良好及以上等级的有多少名？〔3〕某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？【分析】〔1〕先利用良好等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出合格等级的人数，然后分别计算出合格等级人数所占的百分比和优秀等级人数所占的百分比后补全两个统计图；〔2〕用600乘以良好与优秀两个等级的百分比的和可估计成绩到达良好及以上等级的人数；〔3〕画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：〔1〕调查的总人数为16÷40%=40〔人〕，所以合格等级的人数为40﹣12﹣16﹣2=10〔人〕，合格等级人数所占的百分比=×100%=25%；优秀等级人数所占的百分比=×100%=30%；统计图为：〔2〕600×〔30%+40%〕=420，所以估计成绩到达良好及以上等级的有420名；〔3〕画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为3，=所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率==．【点评】此题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．24．〔10分〕如图，直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．〔1〕求证：∠PTA=∠B；〔2〕假设PT=TB=3，求图中阴影局部的面积．【分析】〔1〕利用切线的性质得∠OTP=90°，即∠2+∠PTA=90°，再利用圆周角定理得到∠ATB=90°，那么∠2+∠1=90°，然后利用等量代换得到∠PTA=∠B；〔2〕利用TP=TB得到∠P=∠B，而∠POT=2∠B，所以∠POT=2∠P，那么利用∠OTP=90°可计算出∠P=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OT=，△AOT为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和图中阴影局部的面积=S扇形AOT﹣S△AOT进行计算．【解答】〔1〕证明：∵直线PT与⊙O相切于点T，∴OT⊥PT，∴∠OTP=90°，即∠2+∠PTA=90°，∵AB为直径，∴∠ATB=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠PTA=∠1，∵OB=OT，∴∠1=∠B，∴∠PTA=∠B；〔2〕解：∵TP=TB，∴∠P=∠B，∵∠POT=∠B+∠1=2∠B，∴∠POT=2∠P，而∠OTP=90°，∴∠P=30°，∠POT=60°，∴OT=TP=，△AOT为等边三角形，∴图中阴影局部的面积=S扇形AOT﹣S△AOT=﹣•〔〕2=π﹣．【点评】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．假设出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积公式．25．〔10分〕直线l经过A〔6，0〕和B〔0，12〕两点，且与直线y=x交于点C，点P〔m，0〕在x轴上运动．〔1〕求直线l的解析式；〔2〕过点P作l的平行线交直线y=x于点D，当m=3时，求△PCD的面积；〔3〕是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【分析】〔1〕由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得直线l的解析式；〔2〕联立直线l和直线y=x，可求得C点坐标，由条件可求得直线PD的解析式，同理可求得D点坐标，那么可分别求得△POD和△POC的面积，那么可求得△PCD的面积；〔3〕由P、A、C的坐标，可分别表示出PA、PC和AC的长，由等腰三角形的性质可得到关于m的方程，那么可求得m的值，那么可求得P的坐标．【解答】解：〔1〕设直线l解析式为y=kx+b，把A、B两点坐标代入可得，解得，∴直线l解析式为y=﹣2x+12；〔2〕解方程组，可得，∴C点坐标为〔4，4〕，设PD解析式为y=﹣2x+n，把P〔3，0〕代入可得0=﹣6+n，解得n=6，∴直线PD解析式为y=﹣2x+6，解方程组，可得，∴D点坐标为〔2，2〕，∴S△POD=×3×2=3，S△POC=×3×4=6，∴S△PCD=S△POC﹣S△POD=6﹣3=3；〔3〕∵A〔6，0〕，C〔4，4〕，P〔m，0〕，∴PA2=〔m﹣6〕2=m2﹣12m+36，PC2=〔m﹣4〕2+42=m2﹣8m+32，AC2=〔6﹣4〕2+42=20，当△PAC为等腰三角形时，那么有PA=PC、PA=AC或PC=AC三种情况，①当PA=PC时，那么PA2=PC2，即m2﹣12m+36=m2﹣8m+32，解得m=1，此时P点坐标为〔1，0〕；②当PA=AC时，那么PA2=AC2，即m2﹣12m+36=20，解得m=6+2或m=6﹣2，此时P点坐标为〔6+2，0〕或〔6﹣2，0〕；③当PC=AC时，那么PC2=AC2，即m2﹣8m+32=20，解得m=2或m=6，当m=6时，P与A重合，舍去，此时P点坐标为〔2，0〕；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为〔1，0〕或〔6+2，0〕或〔6﹣2，0〕或〔2，0〕．【点评】此题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、等腰三角形的性质、勾股定理、分类讨论思想及方程思想等知识．在〔1〕中注意待定系数法的应用，在〔2〕中求得C、D的坐标是解题的关键，在〔3〕中用P点坐标分别表示出PA、PC的长是解题的关键，注意分情况讨论．此题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．26．〔12分〕如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA〔或它们的延长线〕于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图①小芳同学得出的结论是DE=DF．〔1〕继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图②，小芳的结论是否成立？假设成立，加以证明；假设不成立，请说明理由．〔2〕再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图③，请写出DE与DF的数量关系，并加以证明．〔3〕连接EF，假设△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？【分析】〔1〕由菱形的性质得到△ABD是等边三角形，再证明△ADF≌△BDE即可；〔2〕由菱形的性质得到△ABD是等边三角形，再证明△ADF≌△BDE即可；〔3〕利用全等三角形的面积相等，再直接计算面积．【解答】〔1〕DF=DE．证明：如图2，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE，在△ADF与△BDE中，，∴