高考数二轮复习专题训练：数系的扩充与复数的引入

PAGEPAGE12013版高考数学二轮复习专题训练：数系的扩充与复数的引入本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为()A．2 B． C．6 D．【答案】D2．在复平面内，复数对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B3．已知复数z=，则=()A．0 B． C． D．【答案】A4．若,是虚数单位,且,则在复平面内,复数所对应的点在()A．第一象限 B．第二象限

C.第三象限 D．第四象限【答案】C5．复数的实部与虚部的和为1，则实数a的值为()A．1 B．2 C．l D．2【答案】A6．已知复数，，则等于()A．8 B． C． D．【答案】C7．复数=()A． B． C． D．【答案】C8．若、、都是复数，则“”是“”的()A．充要条件 B．既非充分条件又非必要条件C．充分而非必要条件 D．必要而非充分条件【答案】C9．已知为纯虚数，则的值为()A．1 B．－1 C． D．【答案】A10．()A．2－2i B．2+2i C．－2 D．2【答案】D11．在复平面内复数、对应的点分别为、，若复数对应的点为线段的中点，则的值为()A． B． C． D．【答案】C12．复平面内,若复数(其中为虚数单位)所对应的点在第二象限,则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知复数w满足(为虚数单位），则＝____________【答案】14．如果，且，则的最大值为【答案】15．下列命题（为虚数单位）中①已知，则a＝b是为纯虚数的充要条件；②当z是非零实数时，恒成立；③复数的实部和虚部都是－2；④如果，则实数a的取值范围是；⑤复数，则其中正确的命题的序号是。(注：把你认为正确的命题的序号都填上）。【答案】②③④16．定义运算=ad-bc,则符合=4+2i的复数z的值为____________.【答案】z=3-I三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知复数z=1－sinθ+icosθ(eq\f(π,2)<θ<π)，求z的共轭复数的辐角主值．【答案】z=1+cos(eq\f(π,2)+θ)+isin(eq\f(π,2)+θ)=2cos2eq\f(\f(π,2)+θ,2)+2isineq\f(\f(π,2)+θ,2)coseq\f(\f(π,2)+θ,2)=2coseq\f(\f(π,2)+θ,2)(coseq\f(\f(π,2)+θ,2)+isineq\f(\f(π,2)+θ,2))．当eq\f(π,2)<θ<π时，=－2coseq\f(\f(π,2)+θ,2)(－coseq\f(\f(π,2)+θ,2)+isineq\f(\f(π,2)+θ,2))=－2cos(eq\f(π,4)+eq\f(θ,2))(cos(eq\f(3π,4)－eq\f(θ,2))+isin(eq\f(3π,4)－eq\f(θ,2)))．∴辐角主值为eq\f(3π,4)－eq\f(θ,2)．18．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.【答案】法一：设z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i.法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i.∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，于是|z|＝eq\r(2－|z|2＋82)，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2.∴|z|＝17.代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.19．已知复数，且在复平面中对应的点分别为A,B,C,求的面积.【答案】得，，所以A(1,1),B(0,2),C(1,-3),.20．已知，其中，且为纯虚数．(1）求的对应点的轨迹；(2）求的最大值和最小值．【答案】（1）设，则，为纯虚数，即的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去两点；(2）由的轨迹可知，，，圆心对应，半径为3，的最大值为：，的最小值为：．21．已知复数（）满足：，且在复平面上的对应点的轨迹经过点(1）求的轨迹；(2）若过点，倾斜角为的直线交轨迹于两点，求的面积。【答案】（Ⅰ）根据题目条件，设轨迹的方程为：，将代入方程，得