新教材数学人教A版学案4-4-2第2课时对数函数的图象和性质（二）

第2课时对数函数的图象和性质(二)必备知识·探新知基础知识知识点1对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．知识点2对数型复合函数的值域对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝logau的单调性求解．基础自测1．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(C)A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(0，1) D．(1，＋∞)[解析]由对数函数的单调知识易知0<a<1.2．已知函数f(x)＝2logeq\s\do9(\f(1,2))x的值域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域是(A)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2))) B．[－1，1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(2),2)))∪[eq\r(2)，＋∞)[解析]由－1≤2logeq\s\do9(\f(1,2))x≤1，得－1≤－2log2x≤1.解得eq\f(\r(2),2)≤x≤eq\r(2).3．(2020·大连市高一期末测试)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间是(A)A．(－∞，－1) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)[解析]令x2－2x－3>0，∴(x－3)(x＋1)>0，∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令u＝x2－2x－3，函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3在(－∞，－1)∪(3，＋∞)上的递减区间．故选A．4．已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(A)A．(eq\f(1,2)，＋∞) B．(－∞，eq\f(1,2))C．(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)) D．(0，eq\f(1,2))[解析]因为函数y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，所以原不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x>0，,x＋1>0，,3x>x＋1，))解得x>eq\f(1,2).5．函数f(x)＝logax(0<a<1)在[a2，a]上的最大值是(C)A．0 B．1C．2 D．a[解析]∵0<a<1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.关键能力·攻重难题型探究题型一对数型复合函数的单调性例1讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．[分析]求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．[解析]由3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1或x<－eq\f(1,3)}．当a>1时，若x>1，∵y＝logau为增函数，又u＝3x2－2x－1为增函数，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．若x<－eq\f(1,3)，∵u＝3x2－2x－1为减函数，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．当0<a<1时，y＝logau为减函数，若x>1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，若x<－eq\f(1,3)，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．[归纳提升]1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).函数单调性y＝f(μ)增函数增函数减函数减函数μ＝g(x)增函数减函数增函数减函数y＝f[g(x)]增函数减函数减函数增函数【对点练习】❶(2020·河北沧州市高一期末测试)函数f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2－3x－10)的单调递增区间为(A)A．(－∞，－2) B．(－∞，eq\f(3,2))C．(－2，eq\f(3,2)) D．(5，＋∞)[解析]由题意，得x2－3x－10>0，∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.令u＝x2－3x－10，函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，故选A．题型二对数型复合函数的值域例2求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(3＋2x－x2)．[解析](1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.∵u>0，∴0<u≤4.又y＝logeq\s\do9(\f(1,2))u在(0，＋∞)上是减函数，∴logeq\s\do9(\f(1,2))u≥logeq\s\do9(\f(1,2))4＝－2，∴y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．[归纳提升]1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．2．对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．【对点练习】❷函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(A)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．题型三对数型复合函数的奇偶性例3(2020·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．[分析](1)函数奇偶性判断的方法是什么？(2)对数的运算法则是什么？[解析](1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0,1－x>0))，∴－1<x<1.∴函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1，1)关于原点对称．∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．[归纳提升](1)对数函数本身不具有奇偶性，但与有些函数复合后，就具有了奇偶性，如y＝log2|x|就是偶函数．这类函数奇偶性可利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断．(2)判断函数奇偶性，有时需将函数式化简或利用定义的等价形式判断，如f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔eq\f(f（－x）,f（x）)＝±1(f(x)≠0)，其中f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝0多用于对数型函数奇偶性的判断，eq\f(f（－x）,f（x）)＝±1多用于指数型函数奇偶性的判断．【对点练习】❸函数f(x)＝lgeq\f(1,\r(x2＋1)＋x)是(A)A．奇函数 B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数[解析]函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝lgeq\f(1,\r(x2＋1)－x)＝lgeq\f(\r(x2＋1)＋x,（\r(x2＋1)－x）（\r(x2＋1)＋x）)＝lg(eq\r(x2＋1)＋x)＝lg(eq\f(1,\r(x2＋1)＋x))－1＝－lgeq\f(1,\r(x2＋1)＋x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．误区警示忽视对数函数的定义域例4若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0，1]上是减函数，则a的取值范围是(B)A．(0，1) B．(1，2)C．(0，2) D．(1，＋∞)[错解]错解一：因为函数f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，根据对数函数在0<a<1时单调递减，知选A．错解二：令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，从而得a>1，故选D．[错因分析]在求解时，已经掌握了利用复合函数单调性“同增异减”法则进行解答，但是忽视了对数函数的定义域问题，考虑问题不全面，犯了知识性和能力性的双重错误．[正解]令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0，1]上恒大于零，当x∈[0，1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1.综上可得1<a<2，故选B．[方法点拨]对数型函数是考查定义域问题的重点函数．因此，在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，可能会使所求参数范围扩大致误．如本例中，u＝2－ax在x∈[0，1]时一定要保证u>0才有意义，请学生重点关注．学科素养综合应用所学知识分析解决问题的能力例5已知f(x)＝lneq\f(1－mx,x－1)是奇函数．(1)求m；(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．[分析](1)题目给定的关键条件是f(x)是奇函数，一般考虑用f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0(当0、－1在定义域中时)等，它是从反面考查函数奇偶性的判定．[解析](1)f(－x)＝lneq\f(1＋mx,－x－1)＝lneq\f(－1－mx,1＋x)，－f(x)＝－lneq\f(1－mx,x－1)＝lneq\f(x－1,1－mx).∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即lneq\f(－1－mx,1＋x)＝lneq\f(－1＋x,1－mx)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m＝1，,1＝－m，))∴m＝－1.(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．证明：由(1)知f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1)＝ln(1＋eq\f(2,x－1))．任取x1，x2满足1＜x1＜x2，∵(1＋eq\f(2,x1－1))－(1＋eq\f(2,x2－1))＝eq\f(2,x1－1)－eq\f(2,x2－1)＝eq\f(2（x2－x1）,（x1－1）（x2－1）).由1＜x1＜x2知，x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0，∴(1＋eq\f(2,x1－1))－(1＋eq\f(2,x2－1))＞0，即1＋eq\f(2,x1－1)＞1＋eq\f(2,x2－1)＞0，又y＝lnx为增函数，∴ln(1＋eq\f(2,x1－1))＞ln(1＋eq\f(2,x2－1))，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数．[归纳提升](1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．(2)用定义证明形如y＝logaf(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．课堂检测·固双基1．(2021·江苏宿迁市高一期末测试)函数f(x)＝lg(3x－1)＋eq\r(1－x)的定义域为(C)A．(0，＋∞) B．(－∞，1]C．(0，1] D．[0，1][解析]由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1>0,1－x≥0))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x>1,x≤1))，∴0<x≤1，故选C．2．(2020·贵州遵义市高一期末测试)设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a、b、c的大小关系是(C)A．a<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．c<a<b[解析]a＝20.3>20＝1，b＝0.32∈(0，1)，c＝log20.3<log21＝0，∴c<b<a.3．已知函数f(x)＝log2eq\f(a－x,1＋x)为奇函数，则实数a的值为1．[解析]f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝log2eq\f(a＋x,1－x)＋log2eq\f(a－x,1＋x)＝log2eq\f(a2－x2,1－x2)＝0.即eq\f(a2－x2,1－x2)＝1，所以a2＝1，a＝±1，当a＝－1时，eq\