新版高中数学人教A版必修2习题第四章圆与方程4.2.1

4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系课时过关·能力提升基础巩固1.直线x3y+6=0与圆(x1)2+(y3)2=4的位置关系是()A.相交且过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心解析:因为圆心(1,3)到直线x3y+6=0的距离d=|1-3+6|答案:B2.直线xy4=0与圆x2+y22x2y2=0的位置关系是()A.相交但不过圆心 B.相切C.相交且过圆心 D.相离解析:圆的方程可化为(x1)2+(y1)2=4,则圆心到直线的距离d=|1-1-4所以直线与圆相离.答案:D3.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为()A.0或2 B.2C.2 D.无解解析:由圆心(0,0)到直线x+y+m=0的距离为半径得|m|2=m答案:B4.若A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=()A.1 B.2 C.3 D.2答案:D5.若直线xy+1=0与圆(xa)2+y2=2有公共点,则实数a满足的条件是()A.0≤|a1|≤2 B.|a+1|≥2C.0≤|a+1|≤2 D.|a1|≥2解析:因为直线xy+1=0与圆(xa)2+y2=2有公共点,所以圆心到直线的距离d=|a-0+1|从而可得0≤|a+1|≤2.答案:C6.若圆x2+y22x+4y20=0截直线5x12y+c=0所得的弦长为8,则c的值是()A.10 B.10或68 C.5或34 D.68解析:由题意得圆心C(1,2),半径r=5,圆心C到直线5x12y+c=0的距离d=|29+c|13.又r2=d2所以25=(29+c)2132+16,答案:B7.直线l:3x4y5=0被圆x2+y2=5所截得的弦长为.

解析:由题意得弦心距d=1,半径r=5,所以弦长为2r2-d答案:48.已知直线5x+12y+m=0(m>0)与圆x22x+y2=0相交,则m的取值范围是.

解析:由题意得圆心坐标为(1,0),半径r=1,则圆心到直线的距离d=|5+m|52+1答案:(0,8)9.若P(2,1)为圆C:(x1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是.

解析:圆心C(1,0),半径r=5,由于PC⊥AB,又kPC=-1-02-1所以直线AB的方程是y+1=x2,即xy3=0.答案:xy3=010.已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x3y=0上,且在直线l2:xy=0上截得的弦长为27,求圆C的方程.解:因为圆心C在直线l1:x3y=0上,所以可设圆心为C(3t,t).又因为圆C与y轴相切,所以圆的半径为|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形,可得|3t-t|22+(7)2=|3t|所以圆心为(3,1)或(3,1),半径为3.故所求圆的方程为(x3)2+(y1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.能力提升1.平移直线xy+1=0,使其与圆(x2)2+(y1)2=1相切,则平移的最短距离为()A.21 B.22 C.2 D.2+1解析:圆心C(2,1)到直线的距离d=|2-1+1|12+(-答案:A2.已知直线axby+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形()A.是锐角三角形 B.是直角三角形C.是钝角三角形 D.不存在解析:圆心O(0,0)到直线的距离d=|c|则a2+b2=c2,即该三角形是直角三角形.答案:B★3.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()A.x+y2=0 B.x+y+1=0C.x+y1=0 D.x+y+2=0解析:由已知可设所求直线为y=x+b,即x+yb=0,则由直线与圆相切得|b|2所以b=±2.又因为直线y=x+b与圆相切于第一象限,所以b=2(b=2舍去).故所求直线方程为x+y2=0.答案:A4.经过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y24x=0所截得的弦长为.

解析:直线方程是y=3x,即3xy=0,圆心C(2,0),半径r=2,则圆心到直线3xy=0的距离d=|23-0|3+1=3,所以所截得的弦长为答案:25.经过点(3,4)且与圆(x1)2+(y1)2=25相切的直线方程为.

解析:由已知可得点(3,4)在圆(x1)2+(y1)2=25上,所以过圆心(1,1)与点(3,4)的直线与切线垂直.又因为过圆心(1,1)与点(3,4)的直线斜率为4-1-3-1所以切线方程为y4=43(x+3),即4x3y+24=0答案:4x3y+24=06.已知圆心在x轴上,半径为2的圆C位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆C的方程是.

解析:如图,由图示知圆心坐标为(2,0),半径为2.故圆C的方程为(x+2)2+y2=2.答案:(x+2)2+y2=27.已知圆经过点A(2,1),圆心在直线2x+y=0上且与直线xy1=0相切,求圆的方程.解:设圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2(r>0).因为圆心在直线2x+y=0上,所以b=2a,即圆心为(a,2a).又因为圆与直线xy1=0相切,且过点(2,1),所以|a+2a-1|2=r,(2a)2+(1+即(3a1)2=2[(2a)2+(1+2a)2],解得a=1或a=9,所以a=1,b=2,r=2或a=9,b=18,r=132.故所求圆的方程为(x1)2+(y+2)2=2或(x9)2+(y+18)2=338.★8.已知圆C:(x1)2+(y2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y7m4=0(m∈R).(1)证明:直线l恒过一个定点A,并求出点A的坐标;(2)证明:不论m取何值,直线l与圆C都相交于两个不同的点;(3)求直线l被圆C截得的线段的最短长度及此时直线l的方程.(1)证明将直线l的方程化为m(2x+y7)+(x+y4)=0,由2x+y即直线l恒过一个定点A(3,1).(2)证明因为|AC|=(3-所以点A(3,1)在圆内,所以不论m取