北京市西城区2020年高二《数学》上学期期末试题与参考答案

北京市西城区2020年高二《数学》上学期期末试题与参考答案一､选择题本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.已知椭圆的一个焦点为,则的值为A. B. C. D.答案：A解：由于，所以.2.已知数列满足,,则A. B. C. D.答案：B解：依题意.3.已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（）A.∀x≥1，x2≤1 B.∃x＜1，x2＞1 C.∀x＜1，x2＞1 D.∃x≥1，x2＞1答案：C解：命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p：∀x＜1，x2＞1；4.已知,若,则A. B. C. D.答案：D解：对于A选项，若，如，但是，即，所以A选项错误.对于B选项，若，如，但是，即，所以B选项错误.对于C选项，若，如，但是，即，所以C选项错误.对于D选项，若，则，则，所以.5.已知向量，且，那么（）A. B. C. D.答案：A解：根据题意，向量，2，，，，，且，则设，即，，，2，，则有，则，，则，，，故；6.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解：当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则“直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.7.已知向量,,,若共面,则等于A. B. C.或 D.或答案：B解：由于共面，所以存在，使得，即，所以，所以.8.德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一个函数,其中表示不超过的最大整数,比如.根据以上定义,当时,数列,,A.是等差数列,也是等比数列 B.是等差数列,不是等比数列C.是等比数列,不是等差数列 D.不是等差数列,也不是等比数列答案：D解：由于，所以，所以，即三个数为.而，，所以数列,,不是等差数列,也不是等比数列9.设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为.则实数m的取值范围为A. B. C. D.答案：B解：设的前项为，由于数列的前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为，所以，由（3）（4）得，所以即，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得，整理得.10.曲线.给出下列结论:①曲线关于原点对称;②曲线上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线只经过个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.② C.②③ D.③答案：C解：①，将代入曲线，得，与原方程不相等，所以曲线不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线，由于，所以，所以对于任意一个，只有唯一确定的和它对应.函数是单调递减函数.当时，有唯一确定的；当时，有唯一确定的.所以曲线过点，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于.当时，，所以.当时，，所以.当时，，且，所以.综上所述，曲线上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线过点，这是两个整点.由可得，当且时，若为整数，必定不是某个整数的三次方根，所以曲线只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.二､填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.11.设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为__________.答案：解：依题意，而到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为.故答案为：12.不等式的解集为________答案：解：因为所以，即不等式的解集为.13.能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.答案：（答案不唯一）解：分析：举出一个反例即可．详解：当时，不成立，即可填．14.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．答案：2解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此15.某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加万元.若该渔船预计使用年,其总花费(含购买费用)为________万元;当______时,该渔船年平均花费最低(含购买费用).答案：①.②.解：每年的费用是首项为，公差为的等差数列，所以总费用.平均费用为，当且仅当时，等号成立，也即时，该渔船年平均花费最低.16.若表示从左到右依次排列的9盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作;(2)灯在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的,要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要_____次操作;如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要_____次操作.答案：①.3②.21解：（1）如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要的操作如下，设为开灯，0为关灯：初始状态，操作如下，共次.（2）①关闭前个灯最少需要的操作如下，设为开灯，0为关灯：初始状态，操作如下：，共次.②此时前盏灯的状态如下：，操作次，变为，打开.③将步骤①倒过来做一遍，打开前个灯，共次操作.综上所述，如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要次操作三､解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的公比为,且,,成等差数列.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设的前项和为,且,求的值.答案：(Ⅰ).(Ⅱ)的值是.解：(Ⅰ)因为为公比为的等比数列,所以,,,依题意得,即,整理得,解得.所以数列的通项公式为.(Ⅱ)依题意,.所以,整理得,解得所以的值是.18.已知函数,.(Ⅰ)若,求的取值范围;(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围;(Ⅲ)求关于的不等式的解集.答案：(Ⅰ)或.(Ⅱ).(Ⅲ)见解析解：(Ⅰ)由得,整理得,解得或.(Ⅱ)对恒成立,则,所以,整理得,解得.(Ⅲ)解,得,①当时,即时,或;②当时,即时,或;③当时,即时,.综上,当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为.19.已知椭圆的右焦点为,离心率为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点为椭圆的上顶点,点在椭圆上且位于第一象限,且,求的面积.答案：(Ⅰ)(Ⅱ)解：(Ⅰ)依题意,,解得,,所以椭圆的方程为.(Ⅱ)设点,因为点在椭圆上,所以…①,因为,所以,得…②,由①②消去得,,解得(舍),,代入方程②得,所以,所以,又,所以的面积20.如图,四棱锥中,平面,,.,,,是的中点.(Ⅰ)证明:⊥平面;(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;(Ⅲ)若,在线段上是否存在一点,使得⊥.若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.答案：(Ⅰ)见解析(Ⅱ).(Ⅲ)不存在，见解析解：(Ⅰ)证明:因为平面,,所以平面.又因为平面,所以.在中,,是的中点,所以.又因为,所以平面.(Ⅱ)解:因为平面,所以,.又因,所以如图建立空间直角坐标系.则,,,,,,,.设平面的法向量为.则即令,则,,于是.因平面,所以.又,所以平面.又因为,所以取平面的法向量为.所以,即,解得.又因为,所以.(Ⅲ)结论:不存在.理由如下:证明:设.当时,.,.由知,,,.这与矛盾.所以,在线段上不存在点,使得.21.已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．答案：（1）抛物线C的方程为，准线方程为；（2）存在直线或．解：（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得,所以，即准线方程为.（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.联立得，消去得.由,解得.所以且.由韦达定理得,.直线的方程为,又,所以,所以,因为,所以直线与直线的斜率相等又,所以.整理得,即,化简得,,即.所以,整理得,解得.经检验,符合题意.所以存在这样的直线,直线的方程为或．22.若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得，,求p的所有可能值.答案：(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ).解：(Ⅰ)证明:因为数列为等差数列,所以对任意两个正整数,有,所以.所以数列为“和谐数列”.(Ⅱ)证明:因为